2019年北京汇文中学新高一新生入学分班考试数学试题-含详细解析

2019年北京汇文中学新高一新生入学分班考试

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正

方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是()

A. B.

C. D.

2.如图，正比例函数y1=mx，一次函数y2=ax+b和反比例函数y3=k

的图象在同一直角坐标系中，

x

若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是()

A. x<−1

B. −0.51

C. 0

D. x<−1或0

3.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2−2x−3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于

点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O′A′B′，且点O′，A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为()

D. y=x+2

A. y=x

B. y=x+1

C. y=x+1

2

4.已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()

A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2

B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1

C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2

D. 若y1=y2，则x1=x2

5.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：

①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，

正确的有()

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

6.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=

60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为

()

A. 1

B. √2

C. √3

D. 2

7.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁

匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度ℎ(cm)与注水时间t(min)的函数图象大致为图中的()

A. B.

C. D.

8.如图，在平面直角坐标系中，函数y=4

x (x>0)与y=x−1的图象交于点P(a,b)，则代数式1

a

−1

b

的

值为() A. −1

2

B. 1

2

C. −1

4

D. 1

4

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9.对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=√a+b

√a−b ，如：3⊕2=√3+2

√3−2

=

√5，那么12⊕4=______．

10.如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边

形的边数为______．

11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ab>0；②a+b−1=0；③a>1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1，

另一个根为−1

a

．

其中正确结论的序号是______．

12.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．

13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=______．

14.如图，∠MON=30°，在OM上截取OA1=√3.过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆

心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于______．

15.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A

落在点A′处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA′，EA′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．

16.设A，B，C，D是反比例函数y=k

图象上的任意四点，现有以下结论：

x

①四边形ABCD可以是平行四边形；

②四边形ABCD可以是菱形；

③四边形ABCD不可能是矩形；

④四边形ABCD不可能是正方形．

其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)

17.如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成

一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为______m.

18.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中

间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想

化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线

BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到

BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小

值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共64分）

19.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒

10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有

小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

20.如图，在▱ABCD中，∠D=60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并

延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB=EB．

(1)求证：EC是⊙O的切线；

⏜的长(结果保留π)．

(2)若AD=2√3，求AM