基本不等式优秀教学设计

基本不等式

【第二课时】

【授课类型】

新授课

【教学目标】

1．知识与技能：进一步掌握基本不等式2

a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题

22a b +≤

，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】

2

a b +≤的应用 【教学难点】

2

a b +≤求最大值、最小值。 【教学过程】

1．课题导入 （1）重要不等式：

如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

（2）基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a

我们称b a b a ,2

为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b

a a

b b a ≥+≥+2222和

成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数。

2．讲授新课

例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用

篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，

菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。

由

2x y +≥ 可得

x y +≥ 2()40x y +≥。等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m 。

（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜2

1，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤212

2236236()28

x x +-= 当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 M²

解法二：设矩形菜园的长为x m 。，宽为y m ，则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xy m 2。由

18922

x y +≤==，可得 81xy ≤ 当且仅当x=y ，即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2

归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M

为定值，则ab ≤42

M ，等号当且仅当a ＝b 时成立。

2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立。

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m ，如果池底每1M ²的造价为150元，池壁每1M²的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得 )1600(720240000x x l ++=

2976004027202400001600

2720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥x

x

当.2976000有最小值,时40即,1600l x x x ==

因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案。

3．随堂练习

（1）已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小？最小值是多少？

4．课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：

（1）函数的解析式中，各项均为正数；

（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； （3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。