浙江省苍南县“姜立夫杯”2014年高二数学上学期竞赛试题
苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)
苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数y ＝x 2x －1 (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是（ ）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0] 或[2,＋∞) （C ）(－∞,0]（D ）(－∞,1－2]或[2,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b 3x ＋c •ln(x ＋x 2＋1）＋4 (a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（ ） （A ）－5（B ）－3（C ）3（D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a 的值等于（ ）（A ）2或－ 2（B ）1或－1（C ）1或－2（D ）－1或25、已知coa αcos β2cos(α－β2)＋coa βcosα2cos (β－α2)＝1，则cos α＋cos β的值等于（ ）（A ）1（B ）12（C ） 2（D ）226、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋3，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为 （ ） （A ）2＋ 3 （B ）2－ 3 （C ）3－2 （D ）－2－ 3二、填空题（每小题9分，共54分） 7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 . 8、已知函数y ＝a －xx ―a ―1的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝ .9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解析式是f(x) ＝ .11、函数f(x)＝2x 2－3x ＋4＋x 2－2x 的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有 个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y＝sinx＋asin2xcosx..（1）当sinx＝1时，求y的值；（2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围.（18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n a 41 a 42 a 43 … a 4n … … … … …a n1 a n2 a n3 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a 24＝1, a 42＝18, a 43＝316，求S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn .15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米／时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B 原函数即为y ＝ (x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝ (x －1) ＋ 1x －1 ＋ 2，由对勾函数的增减性立知选B .2、B 原方程即为⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x＝x －2006，考查两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x 和y ＝x －2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B .3、C 容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog 310 ＝ lg lg10lg3 ＝ －lg lg3lg10 ＝ －lglg3，故有f(lglog 310)＋ f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3. 选C4、C 函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝ －π8对称，则f(－π8)应取得函数的最大值或最小值。
2016年苍南县“姜立夫杯”高二数学竞赛
2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知集合2{|3100},{|121}A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-．当A B =∅时，实数m 的取值范围是（ ）． A ．24m << B ．2m <或4m > C ．142m -<< D ．12m <-或4m > 2．函数()f x 对于任意实数x 满足：()()13f x f x +=-，若()02f =，则()2016f =（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2- 3．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，有||||OA OB k BC AC --≥，则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25235S a =，453325S a =，则6543Sa 的值是（ ） A ．125 B ．85 C ．45 D ．35 5．已知1sin cos 63π⎛⎫α+-α= ⎪⎝⎭，则2sin cos 6π⎛⎫αα+= ⎪⎝⎭（ ） A ．518-B. 518C. 79-D. 796．已知三个不同的平面,,αβγ和两条不重合的直线,m n ，有下列4个命题： ①m n m n ααβ=，，则②m m n n ⊥α⊂βα⊥β，，，则 ③α⊥βγ⊥βαγ，，则 ④m m αβ=⊥γα⊥γ，，则其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设,x y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，若02ax by ≤+≤恒成立，则22a b +的最大值是（ ）A ．1B ．89 C ．209D ．4 8．已知函数()22030x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，，的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围为（ ） A ．17(,2)8-- B ．17,28⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．171,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．171,16⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．若正实数,a b 满足284log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是▲10．已知点P 是直线:40l kx y ++=()0k >上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则实数k 的值为 ▲ ．11．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，DA 与平面ABC 所成的角为45，则二面角A DB C --的平面角的余弦值为▲ ．12.已知函数()2sin f x x =ω()0ω>其中常数，若存在12,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭π，204x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，π，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ▲ ．13．已知()2()2x f x m n x nx =-⋅++，若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则m n +的取值范围为 ▲ ．14．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+ （1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。
2014苍南县姜立夫杯数学竞赛
苍教研函[2014] 309号
关于公布2014年苍南县“姜立夫杯”
高中数学竞赛结果的通知
各高级中学：
2014年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛于12月14日在苍南中学举行，全县共有1001名高一、高二学生参加竞赛，竞赛结果已经揭晓，吴姝瑶等258名学生分获不同组别的一、二、三等奖。
现将获奖名单予以公布。
附件：获奖学生和指导师名单
二○一四年十二月十六日
附件：获奖学生和指导师名单
1．一类高中组
1．1高一段：
一等奖（8名）
二等奖（10名）
三等奖（21名）
1．2高二段：
一等奖（7名）
二等奖（11名）
三等奖（23名）
2．二类高中组
2．1高一段：
一等奖（9名）
二等奖（18名）
三等奖（26名）
2．2高二段：
一等奖（8名）
二等奖（15名）
三等奖（30名）
3．三类高中组
3．1高一段：
一等奖（7名）
二等奖（11名）
三等奖（19名）
3．2高二段：
一等奖（6名）
二等奖（10名）
三等奖（19名）。
高二数学上学期竞赛试题3
卜人入州八九几市潮王学校苍南县“姜立夫杯〞2021年高二数学上学期竞赛试题考生本卷须知：1本卷一共有17道题目,全卷总分值是100分,考试时间是是120分钟.3本卷所有试题都必须用蓝色或者黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上答题无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，总分值是32分，每一小题有且仅有一个正确之答案〕1．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，假设A B R =，那么a 的取值范围为〔▲〕 A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2．直线)(2sin cos :R y x l ∈=⋅+⋅ααα，圆0sin 2cos 2:22=⋅+⋅++y x y x C θθ)(R ∈θ，那么直线l 与圆C 的位置关系是〔▲〕A ．相交B ．相切C ．相离D ．与θα,的取值有关3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,那么以下一定成立的是〔▲〕A.假设30a >,那么20150a <B.假设40a >,那么20140a <C.假设30a >,那么20150S >D.假设40a >.那么20140S >4．函数axa x f --=5)1()(()12a a >≠且在[]2,1上为单调递减函数，那么实数a 的取值范围是〔▲〕A ．),2(+∞B ．)2,1(C ．]25,2( D ．(1,5)5．在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i ji j a A A A A i j i j =⋅=≠，那么i j a 不同取值的个数为〔▲〕A ．6B ．5C ．3D ．26．在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，那么ABC 的形状是〔▲〕 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能7．设a ,b R ∈，关于,x y 的不等式||||1x y +<和22ax by +≥无公一共解，那么22+a b 最大值是〔▲〕 A ．3B ．5C ．7D ．98．如图，某商业中心O 有通往正向和北偏︒30向的两条街道，某公园P 位于商业中心北偏东θ角⎪⎭⎫⎝⎛=<<33tan ,20θπθ，且与商业中心O 的间隔为21公里处，现要经过公园P 修一条笔直小路分别与两条交汇于B ，A 两处,当商业中心O 到B ，A 两处的间隔之和最小值为〔▲〕 A ．7公里B ．8公里C ．9公里D ．10公里二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题6分，总分值是36分.〕9．假设55cos sin =+θθ，]π,0[∈θ，那么=θtan ______▲_____ 10．等比数列{}n a 中，245S S =,那么5351a a a a +-=▲.11．假设正数,a b 满足2362log 1log log ()a b a b +=+=+，那么11a b+的值是___▲___12．求“方程34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解〞有如下解题思路：设34()55xxf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程623(2)(2)xx x x +=+++的解集为 ▲．13．ABC ∆的三边长为,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，那么ba的取值范围是▲． 14．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数。
2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷
2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1、已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y yy B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（ ）A. 5B. 4C. 25D. 10 2、命题P ：6πα≠， 命题q ：1sin 2α≠，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件3、如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（ ）A. A C BD '⊥B. 90BA C'∠=C. CA '与平面A BD '所成的角为30D. 四面体A BCD '-的体积为134、多面体ABCD A BC D -的直观图，正视图，俯视图，侧视图如下所示． ） A ．31112a B ．312a C ．334a D ．356aABCD正视图侧视图5、设()11xf x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2012f x =（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x-6、设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +有（ ）A. 最小值为15 B.最大值为15 D.7、已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a c b >>二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）９、已知点(2,)P t 在不等式组40,30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为____________．10、如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 .11、已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，x ，则x 的取值范围为 .12、在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____________________. 13、对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=， 数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 14、设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时，1()2f x x =，则1()2x f x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭＝ 。
2014-2015高二上竞赛试题含答案
2014-2015高二上学期数学竞赛试题（时间： 120分钟 满分：150分）出卷人：陈木茂、陈加丰一、填空题：共15小题，每小题5分，共75分．把答案填在横线上．1、()242x x x f -+=函数在[]21，上的值域是 ． 2(1tan 45)(1tan 46)...(1tan89)______---=、.()2201231nn n x xa a x a x ++=+++ 、设，则242n a a a +++ 的值为__________.4、已知(),,14,112111n n n n n n a a a a a a a >-+==+++且,*N n ∈=n a 则 .5、已知,0,>b a 且，2=ab 则2222b aa b +++的最小值是 . 6、设(),562+-=x x x f 若实数y x ,满足()()⎩⎨⎧≤≤≥-,51,0x y f x f则xyy x u 22+=的取值范围是 .7、若,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx 使(),14sin 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-πx x 则=x .8、若方程π<<=+x c x b x a 0sin cos 在上有两根βα和，则()=+βαs i n .9、已知实数x,y 满足方程22(2)(1)149x y --+≤， 则y x -2的最大值为______,最小值为_______.min 12310,,,1,______.23y zx y z R x x y z +∈++=++=、若则（）.11、若不等式61114...135357252729m x x m x x-<+++<+-∙∙∙∙∙∙ 对任意(1,3)x ∈恒成立，则①正数m 的取值范围为__________， ②正整数m 的最值为_______.12、函数f(x)是定义在R 上的函数，它的图像既关于直线x=5对称，又关于直线x=7对称，且在[5,7]内单调，则f(x)的最小正周期为______.13、已知点)02(，P ，正方形ABCD 内接于圆22:2O x y +=， ,M N 分别为,AB BC 中点，当正方形绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为 .14、记号[x]表示不超过x 的最大整数（如[-π]=-4，[3]=3），则方程29[3]2104x x ---=的解集为_______. 15、已知互不相等的三个实数c b a 、、成等比数列，且b c a a b c log log log 、、构成公差为d 的等差数列，则d = ．二、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（满分10分）比较,53322341++++=x x x x y 15425232++-=x x x y 的大小.17、（满分10分）某屋子有很多张桌子，若3个人一桌，则多2个人；若5个人一桌，则多4个人；若7个人一桌，则多6个人；若9个人一桌，则多8个人；若11个人一桌，则刚好坐满，不多不少；请问这个屋子总共有多少人？写出必要的过程。
2014年高中数学联赛试题及其解答
加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。 （Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
高二数学上学期竞赛试题
卜人入州八九几市潮王学校高二数学上学期竞赛试题考生本卷须知：1本卷一共有17道题目,全卷总分值是100分,考试时间是是120分钟.3本卷所有试题都必须用蓝色或者黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上答题无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，总分值是32分，每一小题有且仅有一个正确之答案〕 1．集合{|1}A x x =>，{|}B x x m =<，且A B R =，那么m 的值可以是A.1-B.0C.1D.22.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，那么ϕ的一个可能取值为 A.34π B.4π C.0D.4π-3．公差不为0的等差数列{n a }的前21项的和等于前8项的和．假设80k a a ＋＝，那么k ＝ A ．20B ．21 C ．22 D ．234．A ．假设直线l 不平行于平面α，那么α内不存在直线平行于直线lB ．假设直线l 不垂直于平面α，那么α内不存在直线垂直于直线lC ．假设平面α不平行于平面β，那么β内不存在直线平行于平面αD ．假设平面α不垂直于平面β，那么β内不存在直线垂直于平面α5．正三棱锥的底面边长是a ，侧棱与底面所成的角是60︒，过底面的一边作一截面使其与底面成30︒的二面角，那么此截面的面积是A ．24a B ．238a C ．23a D ．28a 6．圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，俯视图侧视图正视图P为x轴上的动点，那么PM PN+的最小值为A．4-B1C．6-7．正三角形ABC的边长为1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点，且ABAPλ=，()ACAQλ-=1，R∈λ，那么CPBQ⋅的最大值为A.23B.23- C.83D.83-8．函数()[]f x x x=-,其中[]x表示不超过实数x关于x的方程()f x kx k=+有三个不同的实根,那么实数k的取值范围是A．111[1,)(,]243--B．111(1,][,)243--C．111[,)(,1]342--D．111(,][,1)342--二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题6分，总分值是36分.〕9．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，那么该几何体的体积是▲。
最新-2018年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题答
2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案二、填空题9、(1,1)- 10、2004 11 12 13、0x =14、10a -<< 三、解答题15、解：设l 方程为1(1)y m x -=--，则1(1,0)P m +，(0,1)Q m +-----------------1分 从而可得直线PR 和QS 的方程分别为120m x y m+--=和22(1)0x y m -++=--------2分 又||PRQS，11|221|32||m m RS +++++∴== 又22|||PR QS +==-----------------------------------------------------------------------5分 所以四边形PRSQ 的面积为：2123212PRSQ m S +++==21191()5480m m ++--------------------------------8分 219118(2)54805≥+-=。
所以四边形PRSQ 面积的最小值为185--------------------------------------------------------------10分16、解：设椭圆的离心率为e ，则1||MF e d=，即1||MF de =，--------------------------1分 又12||||2MF MF a +=，所以2||2MF a de =-，---------------------------------------3分由题意可得212||||MF d MF =，所以22(2)d e d a de =-，故22a d e e=+，------5分 由d 不小于左顶点到左准线的距离且不大于右顶点到左准线的距离，即2222222112a a a a a e e ca d a e c c a a ae e c⎧≥-⎪⎪+-≤≤+⇒⇒≤<⎨⎪≤+⎪+⎩-----------------------------9分 11e ≤<时，符合条件的点M 存在， 当01e <<时，点M 不存在。
苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期 数学竞赛试卷(含答案)
苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷满分100分,时间120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（ ） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5， 其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（ ）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（ ）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（ ）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->．其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是 切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（ ） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e 为平面单位向量且|a ·e |+|b ·e |的最大值为7，则下列结论成立的是（ ）A ．|a +b |=|a -b | B.b ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-= 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点， 其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.214. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a ykx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点 其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-, 求k的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1) 125CM CN ⋅=-得3cos ,5MCN ∠=- ……2分……2分 1=22k =或 ……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d ,S ==……2分当CMN ∆面积取最大时d ……2=4a = ……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.解析：（1）当a>0时，()222max 1[1,21],|()|21f x x ax a f x a =++∈+=+ ……2分当a<0时, ()222max 4-4-1[,1],|()|max ||,144a a f x x ax f x ⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0a a -≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a ……1分（2）()()()20f a b a b a a b b +=++++=得22230a ab b b +++= ……1分2=b -8b ∆必为完全平方数 ……1分2222=b -8b=,()16m N m ∆∈-=令m 得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b m b m b m b m b m --=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b 的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分 （用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分）（2）284414422221+=+≤+=+n nn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n …1分。
最新-2018年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题 精
2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高 二 试 题命题人：薛祖坚一、选择题（每小题5分，共40分）1、动点P 在抛物线26y x =-上运动,定点(0,1)A ，线段PA 中点的轨迹方程是( )．A 、2(21)12y x +=-B 、2(21)12y x +=C 、2(21)12y x -=-D 、2(21)12y x -=2、实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y x x y ω≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩，则有( )A 、113ω-≤≤B 、1123ω-≤≤C 、12ω≥-D 、112ω-≤<3、直线y x m =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅= ，则m 的值等于( )A 、1B 、－1C 、2D 、－24、在圆22(3)(5)2x y -+-=的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有（ ）A 、4条B 、5条C 、6条D 、8条 5、方程(1)(1)1(0)x y x +-=≠表示的曲线关于（ ）对称.A 、y x =B 、2y x =+C 、y x =-D 、(1,1)-6、平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。
那么满足不等式22(||1)(||1)2x y -+-<的整点(,)x y 的个数为( )个.A 、16B 、17C 、18D 、257、已知()(2005)(2006)f x x x =-+的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ） A 、(0,1) B 、(0,2) C、 D、 8、设,,x y z 都是正数，则2222xy yzx y z +++的最大值为（ ）A 、1B 、2 C、2 D、59、不论,a b 为何值，直线0ax by a b +-+=过定点______________________. 10、若函数()f x 满足()()(),f a b f a f b +=且(1)1f =,则(2)(3)(2005)(1)(2)(2004)f f f f f f +++的值等于__________________.11、若P 是双曲线2213x y -=的右支上的动点，F 是双曲线的右焦点，已知(3,1)A ，则||||PA PF +的最小值是_____________________________. 12、正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =+，则该数列的通项公式n a =__________ 13、方程221(1)cos2202x x x x--++--=的解为____________________. 14、如果关于x 的不等式|||||1|x a x x -<++的解集为一切实数，那么实数a 的取值范围是_____________________答题卷一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、_________________ 10、__________________ 11、____________________12、________________ 13、__________________ 14、____________________15、已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与,x y 轴分别交于点,P Q ，过,P Q 作直线20x y +=的垂线，垂足为,R S . 求四边形PRSQ 面积的最小值。
浙江省苍南县“姜立夫杯”2018年高二数学上学期竞赛试题.doc
浙江省苍南县“姜立夫杯”2021年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（ ） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5， 其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（ ）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（ ）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（ ）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->． 其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是 切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（ ） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e 为平面单位向量且|a ·e |+|b ·e |的最大值为7，则下列结论成立的是（ ）A ．|a +b |=|a -b | B.b ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-= 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲ 13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点，其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a（2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++2021年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________ 10.________________ 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点， 其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17.已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n2021年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.212.[0,4) 13.2 14. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点 其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1)125CM CN⋅=-得3cos,5MCN∠=-……2分……2分1=22k=或……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d,S==……2分当CMN∆面积取最大时d (2)=4a=……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b=++.(1) 0a≠且1b=,求()y f x=在区间0,a⎡⎤⎣⎦上的最大值；(2) 若,a b Z∈，且()a b f x+是的零点，求所有可能b的值.解析：（1）当a>0时，()222max1[1,21],|()|21f x x ax a f x a=++∈+=+……2分当a<0时, ()222max4-4-1[,1],|()|max||,144a af x x ax f x⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0aa-≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a……1分（2）()()()20f a b a b a a b b+=++++=得22230a ab b b+++=……1分2=b-8b∆必为完全平方数……1分2222=b-8b=,()16m N m∆∈-=令m得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b mb m b m b m b m--=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n}满足，++∈+==Nnaaaannn,144,812211（1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分 （用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分） （2）284414422221+=+≤+=+nnn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n …1分。
2010年苍南县姜立夫杯数学竞赛
2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效. 本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1．已知：b a ,为实数，则“a ＞b ”是“a 1＜b1”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件2．)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意R x ∈总有)()27(x f x f -=+，则)27(-f 的值为（ ）A ．0B ．7C ．27 D ．-27 3．022120cos 41cos 79cos 241cos 79cos ⋅⋅⋅-+的值为 （ ） A ．41 B ．31 C ．21 D ．434．经过点P （-1，1）引直线l 交两坐标轴于A 、B ，且∆AOB 的面积为3（O 为原点），若这样的直线l 共有n 条，则n= （ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和b 的线段，则b a +的最大值为（ ）A ．52B ．4C ．32D ．22 6．函数x x y 3247-+-=的值域为 （ ）A ．[1，2]B ．[0，2]C ．[1，3]D ． (]3,07．把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的概率为 （ ） A ．41 B ．21 C ．43 D ．54∆ABC的外接圆圆心D ，且DA+DC=λDB （R ∈λ），则满足条件的函数)(x f 有（ ）A ．6个B ．10个C ．12个D ．14个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上）9．已知：∆ABC 三个顶点的坐标为A （-2，1），B （6，1），C （-2，16），则∆ABC 的内切圆方程为 . 10．已知：69222++m是一个平方数，则正整数m = .11、设45)c o s1)(sin 1(=++θθ，k nm-=--)cos 1)(sin 1(θθ，其中n m k ,,都是正整数，n m ,互质，则n m k ++= .12．在直角坐标系中，如果两点A （b a ,），B （b a --,）在函数)(x f y =的图象上，那么[A ，B]为函数)(x f 的一组关于原点的中心对称点，（[A ，B]与[B ，A]看作一组），函数⎪⎩⎪⎨⎧+=),1(log ,2cos )(2010x x x g π关于原点的中心对称点的组数为 .13．如果集合A 、B 、C （其中可以有相同）的并集C B A U U ={1，2，3，4}，那么有序的三元集合组（A ，B ，C ）的个数为 . 14．设正项数列{n a }满足11112121=++⋅++++n n n n n n a a a a a a （*N n ∈），631=+a a ，321,,a a a 单调递增且成等比数列，n S 为{n a }的前n 项和，记[x ]为不超过x 的最大整数，则[2008S ]= .2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上） 9． 10． 11． 12． 13． 14．三、解答题（本大题共3小题，第15题、16题各10分，17题12分，满分32分，要求写出必要的解答过程） 15．已知：3)3(cos 32)3cos()3sin(2)(2--+--=πππx x x x f（1）求)(x f 的最大值及取得最大值时相应的x 的值.x ≤0 x ＞0（2）若函数a x f y -=)2(在区间[0，4π]上恰有两个零点1x ，2x ，求)tan(21x x +的值.16．在数列{n a }中，已知1a =2，n n n a a a 2)1(1=++ （1）求数列{n a }的通项公式.（2）记*))(1(N n a a b n n n ∈-⋅=，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证n T ＜3.17．已知：集合A={811610|),(22+--+y x y x y x ＜0}，B={y y x |),(≥8||+-t x } （1）若A ∩B ≠φ，求实数t 的取值范围.（2）设点P （8,t ）∈A ，集合A 、B 所表示的两个平面区域的边界相交于点M ，N ，求PNPM 11+的最小值.2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二卷答案一、选择题：DADD BAAC 二、填空题：9．9)4()1(22=-+-y x 10．10 11．27 12．1004 13．2401 14．5352 三、解答题：15解：（1）)32sin(2)(π-=x x f当2232πππ+=-k x ， 125ππ+=k x )(Z k ∈时 )(x f 的最大值为2…………………………………………………………5分（2）a x a x f y --=-=)34sin(2)2(π结合图像可知：πππ=-+-343421x xπ12521=+x x 32)tan(21+=+∴x x …………………………10分 16解：（1）由已知可得：n a ＞0 )11(21111-=-+nn a a11)21()11(11-⋅-=-n n a a 122-=∴n n n a …………………………6分（2）22121)12(2)1(2-+=-=-=n n nnn n n a a b ＜221-n ≤1121221--=-n n n （n ≥2） ++=∴21b b S n …n b +＜+++221212…121-+n 1213--=n ＜3…………12分17、解（1）集合A={22)8()5(|),(-+-y x y x ＜8}当射线8+-=t x y （x ≥t ）与圆8)8()5(22=-+-y x 相切时 可得1=t 或9，9=t （舍去）；当射线8+-=x t y （x ≤t ）与圆8)8()5(22=-+-y x 相切时t ∴的范围为1＜t ＜9……………………………………………………6分（2）如图：设集合A 所表示的圆与x 轴平行的直径为CD ，MP 的延长线与圆的另一个交点为N /则PN PM 11+≥PD PC PNPM PN PM ⋅=⋅=⋅222/ ≥2244==+CD PD PC 当5=t 时等号成立 PN PM 11+∴的最小值为22………………12分。
浙江省苍南县“姜立夫杯”2014年高二数学上学期竞赛试题
浙江省苍南县“姜立夫杯”2014年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（ ）（A ）周期为π2的奇函数 （B ）周期为π2的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数2．若M={(x ，y )| |tan y |+sin 2x =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）93． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )（A ）1个 （B ）2个 （C ）50个 （D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 （ ） （A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 18 5．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 ( )（A ）三角形 （B ）正方形（C ）非正方形的菱形 （D ）非正方形的长方形6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则46--+x y x 的取值范围是 ( )（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,07．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234=S S S S Sλ+++，则λ一定满足( )（A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ<5.58. 设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足第4题22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（ ）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是 ．10. 若直线b x y +=被圆122=+y x 所截得的弦长不小于1，则b 的取值范围是 ．11.已知ABC ∆中，AB AC ⊥u u u r u u u r ，||2AB AC -=u u u r u u u r，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=u u u u r u u u r u u u r ，则||AM u u u u r的取值范围是 ．12．如图，在三棱锥S —ABC 中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3， M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，则三棱锥S —ABC 的外 接球的体积为 .13. 定义在R 上的函数f （x ）满足),(21)3(,1)1()(,0)0(x f xf x f x f f ==-+=且当1021≤<≤x x 时，有)()(21x f x f ≤，则)20141(f 的值为__ __. 14．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2 4
★解析：设底面对角线 AC，BD 交于点 O，过点 C 作直线 MN 的垂线，交 MN 于点 H。 由于 PO 是底面的垂线，故 PO⊥CH，又 AC⊥CH，所以 CH⊥平面 POC，故 CH⊥PC。 因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段，又 CH
2 2 CN ，故异面直线 MN 与 PC 之间的距 2 4
2 ( x 2) ，故 AB 与 x 轴的交点 R 是定点（2，0） 。 …………8 分 b
b 2 b 2 与 ，由 PO AB 知， 1 ，故 a 2 。 ………4 分 a b a b
b b ，直线 PR 的斜率 k 2 。设 OPR ，则 为 2 4 b b 1 ( )( ) 2 2 1 k1k 2 | PQ | 1 2 4 | 8 b 2 8b 2 2 锐角，且 | || b b | QR | tan k1 k 2 2|b| 2|b| 2 4
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2
PQ QR
的最小值。
★解析： （1）设 P 点的坐标为 ( a, b)(b 0) ，易知 a 0 。记两切点 A ， B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ，
( x 2 , y 2 ) ，则 PA ， PB 的方程分别为 yy1 2( x x1 ) yy 2 2( x x 2 )
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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R 恒成立，求 b cosc 的值． a
16．已知函数 f (x) x2 a x 1 ， a 为常数． （ 1）当 a 2 时，求函数 f ( x) 在 [0,2] 上的最小值和最大值； （ 2）若函数 f ( x) 在 [0, ) 上单调递增，求实数 a 的取值范围．
-3-
17．设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 an 是 Sn 和 2 的等差中项．
M、 N分别为棱 SC、 BC的中点，并且 AM MN，则三棱锥 S— ABC的外
接球的体积为
.
13. 定义在 R 上的函数 f （x）满足 f (0)
0, f ( x)
f (1 x)
x 1, f ( )
1 f ( x), 且当
32
0 x1
x2 1 时，有 f (x1)
f ( x2) ，则
f ( 1 ) 的值为 __ 2014
4 本卷解答一律不准使用计算器 .
一、 选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分，每小题有且仅有一个正确的答案）
1. 函数 f ( x) 3 sin(2x ) 是（
）
（ A）周期为 2 的奇函数
（ B）周期为 2 的偶函数
（ C）周期为 的奇函数
（ D）周期为 的偶函数
2．若 M={( x，y)| |tan y|+sin 2 x=0} ，N={( x，y)| x2+y2≤ 2} ，则 M∩ N的元素个数是 （
__.
14．若三个非零且互不相等的实数
a 、 b 、 c 满足 1
1
2
，则称
a 、 b 、 c 是调和的；若
ab c
满足 a c 2b ，则称 a 、 b 、 c 是等差的。已知集合 M x x 2014，x Z ，集
合 P 是集合 M 的三元子集，即 P a ，b，c M 。若集合 P 中元素 a 、 b 、 c 既是调
和的，又是等差的，则称集合 P 为“好集”。则不同的“好集”的个数为
．
2014 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题有且仅有一个正确的答案）
-2-
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，满分 36 分 . 请将正确的答案填在横线上）
）
（A） 4
（ B） 5
（ C） 8
（ D）9
3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在
100 个小伙子中，如
果某人不亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子，那么， 100 个小伙子中的棒小伙子最多可
能有 ( )
（A） 1 个
（B） 2 个
（ C） 50 个
（ D） 100 个
4．有若干个棱长为 1 的小正方体搭成一个几何体， 这个几何体的正视图和侧视
三、 解答题（本大题共 3 小题，第 15、 16 题各 10 分 , 第 17 题 12 分 , 满分 32 分 . 要求写出必 要的解答过程）
15、设函数 f ( x) sin x 3 cos x 1 ，
（ I ）求函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值与最小值； 2
（ II ）若实数 a, b, c 使得 af ( x) bf (x c) 1 对任意 x
是 11. 已知
．
uuur ABC 中， AB
uuur uuur AC ， | AB
uuur AC | 2 ，点 M 是线段 BC （含端点）上的一点，且
uuuur uuur uuur
uuuur
AM ( AB AC ) 1，则 | AM | 的取值范围是
．
12．如图，在三棱锥 S— ABC中，若底面 ABC是正三角形，侧棱长 SA=SB=SC= 3 ，
（1）求数列 an 的通项公式；
-4-
（2）当 1 i j n （ i , j , n 均为正整数）时，求 ai 和 a j 的所有可能的乘积 ai a j 之和 Tn ；
浙江省苍南县“姜立夫杯” 2014 年高二数学上学期竞赛试题
考生注意事项：
1 本卷共有 17 道题目 , 全卷满分 100 分 , 考试时间 120 分钟 .
2 答题前 , 务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号
.
3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写
, 在试题卷上作答无效 .
（ D）非正方形的长方形
y－2≤0，
6．已知 x， y 满足 x＋3≥0， 则 x y 6 的取值范围是 ( )
x－ y－1≤0，
x4
（A）
20 2,
7
13 （ B） 1,
7
3 （ C） 0,
7
6 （ D） 0,
7
第4题
7．设四面体四个面的面积分别为
S1，S2，S3，S4，它们的最大值为 S，记 = S1 S2 S3 S4 ， S
）
（ A） 1 4
（ B） 1 2
（ C）2
（ D）4
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，满分 36 分 . ）
9．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出
k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异
面直线，则 k 的最大值是
．
10. 若 直 线 y x b 被 圆 x 2 y2 1 所 截 得 的 弦 长 不 小 于 1 ， 则 b 的 取 值 范 围
图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的
体积是
（
）
（A） 6
（ B） 14
（ C）16
（D） 18
| x+y| | x－ y|
5．在平面直角坐标系中，方程
2a + 2b =1 ( a， b 是不相等的两个正数 ) 所
代表
的曲线是 ( )
（ A）三角形
（ B）正方形
（ C）非正方形的菱形
9.________________________
10._____________________________
11._______________________
12._____________________________
13._______________________
14._____________________________
则 λ 一定满足 ( ) （A） 2<λ≤ 4
（ B） 3<λ<4 （ C） 2.5< λ≤t;5.5
8. 设函数 f ( x)
2x , x 0 ，若对任意给定的
log2 x, x 0
y (2, ) ，都存在唯一的 x R ，满足
-1-
f ( f ( x)) 2 a2 y2 ay ，则正实数 a 的最小值是（