二次根式的概念及性质

卓越教育VIP 个性化教案

学生姓名 王晓佛 年级 八 学科 数学 授课时间 2014.7.31 教师姓名 钟旭 课时 3 教学课题

二次根式的概念及性质

教学目标

1. 知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的

意义解答具体题目；

2. 了解最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式化成最简二次根式.

教学重、难点

二次根式a （a ≥0）的内涵；确定二次根式中字母的取值范围；a （a ≥0）是一个非负数；

2(a)=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）及其运用．

【教学过程】

一、复习引入

1、什么叫平方根？开平方？

2、平方根如何表示？

3、求下列各数的平方根： （1）24； （2）0.16； （3）

9

25. 4、求下列各数的正平方根： （1）225; （2）0.0001； （3）16

81

.

5、根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

2cm

a cm

S=2

(3)-b cm S =

32

2cm

直角三角形的斜边长是____________；正方形的边长是____________；等边三角形的边长是_________。 问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？

二、探索新知

1．二次根式的定义:

很明显5题中上述得数都是一些正数的算术平方根．像这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做二次根式。

因此，一般地，我们把形如 a (a ≥0)的代数式叫做二次根式. “

”称为二次根号．

2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零.

注意：① 二次根式都含有二次根号“

”；

② 在二次根式中，被开方数a 必须满足0a ≥，当0a <时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a 可以是数也可以是单项式、多项式、分式等代数式；

④ 二次根式a (a 0)≥ 是a 的算术平方根，所以a 0≥.

例1． 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、

1

x

、x （x>0）、0、42、-2、

2-、)0(

1

x y

+、x y +（x ≥0，y ≥0）．

★ 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“

”；第二，被开方数是正数或0．

：1a +是不是二次根式？1a +呢？

1a +这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；而2223x x ++

这类代

数式，应把2,3这些二次根式看作系数或常数项，整个代数式仍看作整式. 例2. 求下列二次根式中字母a 的取值范围：

（1）

1+a ； （2）

112a -； （3） 13a

--； （4） 2(3)a -.

★ 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于或等于零；

②分母中有字母时，要保证分母不为零.

例3. 已知x 满足20132014x x x -

+-= ，那么22013x - 的值为（ ）

A ．2012

B ．2013

C ．2014

D ．2015

3. 二次根式的性质:

(1)2

()(0);a a a =≥ 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.

(2)

2(0)(0)

a a a a a a ⎧≥==⎨

-≤⎩ 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

★ 注意：（1）二次根式的性质公式

（

）是逆用平方根的定义得出的结论. 上面的公式也

可以反过来应用：若，则，如：，

.

（2）

中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，

一定有意义；

（3）2

a 不是等于a ，而是等于a ，再根据a 的正、负来进行化简.

:22(

)与有区别吗？

a a （1）不同点：

与

表示的意义是不同的，

表示一个正数a 的算术平方根的平方，而

表示一个实数a 的平方的算术平方根；在

中

，而

中a 可以是正实数，0，负实数。但

与

都是非负数，即

，

。因而它的运算的结果是有差别的，

，而

.

（2）相同点：当被开方数都是非负数，即

时，

=

；

时，

无意义，而

.

例4. 已知2x < ，则2

44x x -+ 的结果是______________

例5.将根号外的a移到根号内，得 ( )

A. B. － C. － D.

4. 最简二次根式：

必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母；

⑶分母中不含根式.

例6. 在下列二次根式，中最简二次根式有______

例7. 已知，则化为最简二次根式是（）

A. B. C. D.

5.同类二次根式：

（1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。

注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同.

（2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变.

例8.最简二次根式与是同类二次根式，则x等于（）

A. 0

B.1

C.2

D. 3

例9.与（a>0，b>0）不是同类二次根式的是（）

A. B. C. D.

6. 二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（一化，二找，三合并）（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab=a·b（a≥0，b≥0）；b b

a a

（b≥0，a>0）．

（4）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：

①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。

②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。