平面向量的数量积及其应用

[解析 ]
(1)|4
a
－
b
|2
＝
16
a
2＋
b
2－
8
a
·b ＝
16
×
1
＋
4
－
8
×
1
×
2
×
cos
π 3＝
12.
∴|4
a
－
b|
＝
2
3.
1
1
(2) ∵e1·e2 ＝ 2，∴|e1 ||e2|cos e1 ， e2 ＝ 2 ，∴ e1 ， e2 ＝ 60 °.又∵b·e1＝ b·e2 ＝ 1＞ 0，∴ b，e1 ＝
2
7
25
1 2 29
29
BA
·BC
＋
| 3
BC
|2＝ 12 ×4 － 18× 2 × 1 × 2＋ 3＝ 18.
[ 答案 ]
(1)D
(2) 18
[易错提醒 ]
(1) 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时， 一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还 是互补． (2) 两向量 a， b 的数量积 a·b 与代数中 a， b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的 “ ·”．
(2) ∵(2 a－ 3b)⊥c，∴(2 a－3 b)·c＝ 0.∵a＝ (k,3) ， b＝ (1,4) ，c＝ (2,1) ，∴2 a－3 b＝ (2 k－ 3，－ 6) ． ∴(2 k－ 3，－ 6) ·(2,1) ＝0 ，即 (2 k－3) × 2 － 6＝ 0.∴k＝ 3.[答案 ] (1)D (2)C
突破点 (二 ) 平面向量数量积的应用
平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、
a⊥b|、 a·b|与 |a||b|的关系
平面向量的垂直问题
1. 利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 2 ．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
[例 2]
(1)(2017
·衡水模拟
)已知
|a|＝ 1， |b|＝ 2， a
与
b 的夹角为
π 3 ，那么
|4a－ b|＝ (
)
A．2
B．6 C．2 3
D． 12
(2) 已知 e1， e2 是平面单位向量，且
1 e1·e2＝2.若平面向量 b 满足 b·e1＝ b·e2＝ 1，则 |b|＝ ________.
2
(2) 取 BA ， BC 为一组基底， 则 AE ＝ BE － BA ＝ 3 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BA
5
7
2
7
7
25
＋ BC ＋ 12 BA ＝－ 12 BA ＋ BC ，∴ AE ·AF ＝ 3 BC － BA ·－ 12 BA ＋ BC ＝ 12 | BA |2－ 18
06 —平面向量的数量积及其应用
突破点 (一) 平面向量的数量积 1 ．向量的夹角； 2．平面向量的数量积； 3．平面向量数量积的运算律
1. 利用坐标计算数量积的步骤
平面向量数量积的运算
第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；
第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2 ．根据定义计算数量积的两种思路 (1) 若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，
0 即可．
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[例 1] (1) △ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足 AB ＝ 2a， AC ＝ 2a＋ b，则下列结
论正确的是 ( )
A ．|b|＝ 1
B ．a⊥b C． a·b＝ 1
D． (4 a＋ b)⊥BC
(2) 已知向量 a＝ (k,3) ， b＝ (1,4) ， c＝ (2,1) ，且 (2 a－ 3 b) ⊥c，则实数 k＝ ( )
[易错提醒 ]
x1y2－x2y1＝ 0 与 x1 x2＋ y1 y2＝ 0 不同，前者是两向量 a＝ (x1 ，y1 )， b＝ (x2，y2)共线的充要条件，后者
是它们垂直的充要条件．
平面向量模的相关问题
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1) a2＝ a·a＝|a|2； (2)| a±b|＝ a±b 2＝ a2±2 a·b＋ b2.
9 A ．－ 2
B．0
C．3
15 D.
2
[解析 ] (1) 在△ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝ 2 a＋ b－ 2a＝ b，得 |b|＝ 2，A 错误．又 AB ＝ 2a 且 | AB |
＝ 2，所以 |a|＝1 ，所以 a·b＝ |a||b|cos 120 °＝－ 1，B ，C 错误．所以 (4 a＋ b)·BC ＝ (4 a＋ b)·b＝4 a·b＋ |b|2 ＝ 4× (－ 1) ＋ 4 ＝0 ，所以 (4 a＋ b)⊥BC ， D 正确，故选 D.
()
7
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3
5
A ．－ 2
B ．－ 2
C. 2
D. 2
(2) 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB ∥DC ， AB＝2 ， BC ＝ 1，∠ABC ＝ 60°.点 E 和 F 分别在线段 BC 和
2
1
DC 上，且 BE ＝ 3 BC ， DF ＝ 6 DC ，则 AE ·AF 的值为 ________．
1 23
b， e2 ＝ 30 °.由 b·e1＝ 1，得 |b||e1|cos 30 °＝ 1 ，∴|b|＝
＝ 3
3
.[答案 ]
(1)C
2
23 (2)
3
[方法技巧 ]
求向量模的常用方法
(1) 若向量 a 是以坐标形式出现的，求向量 a 的模可直接利用公式 |a|＝ x2＋ y2. (2) 若向量 a， b 是以非坐标形式出现的，求向量 a 的模可应用公式 |a|2＝ a2＝a·a，或 |a±b|2＝(a±b)2＝ a2±2 a·b＋ b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2) 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，
然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例 ] (1) 设向量 a＝ (－ 1,2) ， b＝ (m,1) ，如果向量 a＋ 2b 与 2a－ b 平行，那么 a 与 b 的数量积等于
[解析 ] (1) a＋ 2 b＝(－ 1,2) ＋ 2( m, 1) ＝ (－ 1＋ 2 m,4) ，2 a－ b＝ 2( － 1,2) － (m,1) ＝( －2－ m,3) ，由题意得
1
1
1
5
3( －1＋ 2m)－ 4( － 2－ m)＝ 0 ，则 m＝－ 2，所以 b＝ － 2 ， 1 ，所以 a·b＝－ 1 × － 2 ＋ 2× 1＝ 2 .