高三数学第一轮复习单元测试--数列(最新整理)

18．（本小题满分 12 分） 设数列{an } 、{bn } 、{cn } 满足： bn an an2 ， cn an 2an1 3an2 （n=1，2，3，…）， 证明：{an } 为等差数列的充分必要条件是{cn } 为等差数列且 bn bn1 （n=1，2，3，…）
19．（本小题满分 12 分） 已知数列 a1 , a2 , , a30 ，其中 a1 , a2 , , a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a10 , a11 , , a20
则第 60 个整数对是_______________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）
数列{an}的前 n 项和记为 Sn， a1 1, an1 2Sn 1n 1
（1）求{an}的通项公式; （2）等差数列{bn}的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3 15 ，又 a1 b1, a2 b2 , a3 b3 成等比数列，求 Tn
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列， c 、 a 、 b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，
则a =
（）
A．4
B．2 C．－2
A．2002
（） B．2004
C．2006
D．2008
12．已知数列 an 对任意的 p，q N* 满足 apq ap aq ，且 a2 6 ，那么 a10 等于（ ）
A． 165
B． 33 C． 30 D． 21
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.
将 a2 5 代入，得 d 3 ，从而 a11 a12 a13 3a12 3a2 10d 3 5 30 105 .选 B．
7．A． 依题意，a1＋a200＝1，故选 A．
8．C．因数列an 为等比，则 an 2qn1 ，因数列 an 1 也是等比数列，则
(an1
1)2
(an
22．（本小题满分 14 分）
已知数列{
an
}中，
an
2
1 an1
（n≥2，
n
N
），
（1）若
a1
3 5
，数列{bn}
满足 bn
1（ an 1
n
N
），求证数列{
bn
}是等差数列；
（2）若
a1
3 5
，求数列{
an
}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）（理做文不做）若1 a1 2 ，试证明：1 an1 an 2 ．
的少，那么剩下的弹子有
（）
A．3
B．4
C．8
D．9
11．设数列{an}的前 n
项和为 Sn ，令 Tn
S1
S2
Sn n
，称 Tn 为数列 a1 ， a2 ，……， an
的“理想数”，
已知数列 a1 ， a2 ，……， a500 的“理想数”为 2004，那么数列 2， a1 ， a2 ，……， a500 的“理想数”为
（）
A． 2n1 2
B． 3n
C． 2n
D． 3n 1
9．设 f (n) 2 24 27 210 23n10 (n N ) ，则 f (n) 等于
（）
A． 2 (8n 1) 7
B． 2 (8n1 1) C． 2 (8n3 1) D． 2 (8n4 1)
7
7
7
10．弹子跳棋共有 60 棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能
4．在等差数列｛an｝中，若 aa+ab=12，SN 是数列｛an｝的前 n 项和，则 SN 的值为 （ ）
A．48
B．54
C．60
D．66
S3 1 S6
5．设
Sn
是等差数列｛an｝的前
n
项和，若 ＝ ，则 ＝ S6 3 S12
（）
3 A．10
1 B．3
1 C．8
1 D．9
6．设 an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2a3 80 ，则 a11 a12 a13
21．（本小题满分 12 分）
等差数列{an}中， a1 2 ，公差 d 是自然数，等比数列{bn}中， b1 a1, b2 a2 ． （Ⅰ）试找出一个 d 的值，使{bn}的所有项都是{an}中的项；再找出一个 d 的值，使{bn} 的项不都 是 {an } 中的项（不必证明）； （Ⅱ）判断 d 4 时，是否{bn}所有的项都是{an}中的项， 并证明你的结论； （Ⅲ）探索当且仅当 d 取怎样的自然数时，{bn}的所有项都是{an}中的项，并说明理由．
n－1 个，于是，借助1 2 3 n nn 1 估算，取 n=10，则第 55 个整数对为 11,1，注意横 2
坐标递增，纵坐标递减的特点，第 60 个整数对为 5,7
17．（1）由 an1 2Sn 1 可得 an 2Sn1 1n 2 ，两式相减得 an1 an 2an , an1 3an n 2
∵等差数列{bn}的各项为正，∴ d 0 ，∴ d 2
∴ Tn
3n
n n 1 2
2
n2
2n
18．1 必要性：设数列{an } 是公差为 d1 的等差数列，则：
bn1 bn (an1 an3 ) (an an2 ) = (an1 an ) (an3 an2 ) = d1 － d1 =0，
13．数列｛an｝中，若 a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项 an=
.
14． 设f (x) 4 x , 则f 1 f 2 f 3 f 10
.
4 x 2 11 11 11
11
15．在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间，某
商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正
∴ bn bn1 （n=1，2，3，…）成立；
又 cn1 cn (an1 an ) 2 (an2 an1 ) 3(an3 an2 ) =6 d1 （常数）（n=1，2，3，…）
∴数列{cn } 为等差数列.
2 充分性：设数列{cn }是公差为 d 2 的等差数列，且 bn bn1 （n=1，2，3，…），
D．－4
2．已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和 15，偶数项之和为 30，则其公差是 （ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
3．在等差数列an 中，已知 a1 2, a2 a3 13, 则 a4 a5 a6 等于 （ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
500
501
12．C．由已知 a4 ＝ a2 + a2 ＝ -12， a8 ＝ a4 + a4 ＝－24, a10 = a8 + a2 = -30，选 C．
13．由
an1
2an
3
an1
3
2(an
3)
，即
an1 3 an 3
=2，所以数列｛
an
＋3｝是以（
a1
+3）为首项，以
2
为公比的等比数列，故 an ＋3=（ a1 +3） 2n1 ， an = 2n1 －3.
三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，
就一个乒乓球；第 2、3、4、…堆最底层（第
一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一
层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，
第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则
f (3) ； f (n)
（答案用 n 表示）.
16．已知整数对排列如下 1,1,1,2,2,1,1,32,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,5,2,4,，
14．由 f 1 x f x 1，整体求和所求值为 5．
15． an1
an
n
1
an
a1
(a2
a1 )
(an
an1 )
n(n 1) 2
f
(n)
的规律由
f
(n)
f
(n 1)
an
n(n 1) (n 2
2) ，所以
f (1) 1
f (2) f (1) 22 2 2
f (3) f (2) 32 2 2
参考答案（2）
a c 2b,
1．D．依题意有
bc a2 , a 3b
c
10.
a b c
4, 2, 8.
2．C．
55aa11
20d 25d
15 30
d
3 ，故选
C．
3．B． ∵等差数列an 中 a1 2 ， a2 a3 13
∴公差 d 3 ．
∴ a4 a5 a6 3a1 3d 4d 5d ＝ 3a1 12d ＝42．
4．B． 因为 a4
a6
a1
a9
12 ，所以
S9
9(a1 2
a9 )
=54，故选
B．
5．A． 由等差数列的求和公式可得
S3 S6
3a1 3d 6a1 15d
1 3 ,可得a1
2d
且d
0
所以 S6
6a1 15d
27d
3
，故选 A．
S12 12a1 66d 90d 10
6．B． a1 a2 a3 15 3a2 15 a2 5 ， a1a2a3 80 a2 d a2 a2 d 80 ，
20．（本小题满分 12 分） 某市去年 11 份曾发生流感，据统计，11 月 1 日该市新的流感病毒感染者有 20 人，此后，每天的
新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制， 从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 30 人，到 11 月 30 日止，该市在这 30 日内感染 该病毒的患者总共 8670 人，问 11 月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.
（）
A． 120
B． 105
C． 90
D． 75
7．已知等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 OB a1OA a200 OC ，且 A、B、C 三点共线
（该直线不过原点 O），则 S200＝
A．100
B．101
（）
C．200
D．201
8．在等比数列an 中， a1 2 ，前 n 项和为 Sn ，若数列an 1 也是等比数列，则 Sn 等于
依 题 设 第 k 层 正 四 面 体 为 1 2 3 k kk 1 k 2 k ,则 前
2
2
1 12 22 L k 2 1 1 2 k kk 1k 2 60
2
2
6
，k 最大为 6，剩 4，选 B．
k层 共 有
11．A．认识信息，理解理想数的意义有，
2004 500a1 499a2 498a3 a500 , 501 2 500a1 499a2 498a3 a500 2002 ，选 A．
1)(an 2
1)
a2 n1
2an1
an an 2
an
an2
an
an2
2an1
an (1 q2 2q) 0 q 1
即 an 2 ，所以 Sn 2n ，故选择答案 C．
9．D． f（n）= 2[1 23(n1) ] 2 (8n4 1) ，选 D．
1 23
7
10．B． 正四面体的特征和题设构造过程，第 k 层为 k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.
是公差为 d 的等差数列； a20 , a21, , a30 是公差为 d 2 的等差数列（ d 0 ）.
（1）若 a20 40 ，求 d ； （2）试写出 a30 关于 d 的关系式，并求 a30 的取值范围； （3）续写已知数列，使得 a30 , a31, , a40 是公差为 d 3 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广 为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
f (n) f (n 1) n2 2 2
所以 f (n) 1 [(1 22 32 n2 ) (1 2 3 n)] 2
1 [ n(n 1)(2n 1) n(n 1)] n(n 1)(n 2)
2
6
2
6
16．观察整数对的特点，整数对和为 2 的 1 个，和为 3 的 2 个，和为 4 的 3 个，和为 5 的 4 个，和 n 为的
又 a2 2S1 1 3 ∴ a2 3a1 故{an}是首项为 1，公比为 3 得等比数列 ∴ an 3n1 .
（2）设{bn}的公差为 d，由 T3 15 得，可得 b1 b2 b3 15 ，可得 b2 5 ，
故可设 b1 5 d,b3 5 d
又 a1 1, a2 3, a3 9 由题意可得 5 d 15 d 9 5 32 解得 d1 2, d2 10