2021年高三上学期月考 数学试题(文科)

2021年高三上学期月考 数学试题（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2. 设，则函数的最小值是（ ）

A. 2

B.

C.

D. 3

3. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（ ）

A. 2

B. 1

C.

D. 4. 设为等比数列的前项和，，则（ ） A.－11 B. －8 C. 5 D. 11 5. 已知，若不等式恒成立，则的最大值等于（ ）

A. 10

B. 9

C. 8

D. 7 6. 若正项数列满足，则的通项（ ）

A. B. C. D. 7. 给出如下四个命题：

①若，则； ②若，则； ③若，则；

④若，且，则；

其中正确的命题是（ ）

A. ①，②

B. ①，④

C. ②，③

D. ③，④

8. 等差数列和的前项的和分别为和，对一切自然数都有，则 （ ）

A. B. C. D.

9. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A.

B.

C.

D.

10. 已知函数，若()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

==⎪⎭⎫ ⎝⎛=21log ,3log ,2ln 132f c f b f a ，则的大小关系是

（ ） A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11. 设实数满足则的最大值是 。

12. 数列中，已知，则数列的通项公式为 。

13. 已知等差数列的前项和为，则数列的通项公式 。当 时取得最大值

14. 直三棱柱中，，若各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 。 15. 已知函数。项数为27的等差数列满足，且公差。若，则当 时。 16. 设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数是使得不等式成立的所有中的最大值，则 ，数列的通项公式 。

三、解答题（本大题共5个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. 已知集合{

}(

){

}

02lg ,12

222

>+-=>=-a ax x x B x A x x

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）求；求实数的取值范围。 18. 设是数列的前项和，。

（1）求的通项；

（2）设，求数列的前项和。

19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱P D ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。

（1）证明：PA ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD 。 20. 已知函数，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若的最小值为1，求的取值范围。 21. 设函数的定义域为R ，当时，，且对任意的实数，有。

（1）求，判断并证明函数的单调性； （2）数列满足，且 ①求的通项公式；

②当时，不等式

)1log (log 35

121111221+->++++++x x a a a a a n n n 对不小于2的正整数恒成立，求的取值范围。

【试题答案】 一、选择题

二、填空题

11. 12. 13. 14. 15. 14 16.

三、解答题 17. （Ⅰ）；（Ⅱ）[0，1] 18. 解：（1）时，，

整理得，，

∴数列是以2为公差的等差数列，其首项为。

⎪

⎩⎪

⎨⎧≥---==-=∴-=⇒-+=∴2,)

32)(12(2

1,1122,121)1(2112

1n n n n S S a n S n S n n n n （2）由（1）知，⎪⎭

⎫

⎝⎛+--=+-=+=12112121)12)(12(112n n n n n S b n n ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+--++-+-+-=∴)121121()7151()5131()311(21n n T n

。

19. 证明：（1）连结AC 交BD 于O ，连结EO 。

∵底面ABCD 是正方形， ∴点O 是AC 的中点。 又∵E 是PC 的中点 ∴在中，E O 为中位线 ∴PA ∥E O 。 3分 而EO 平面EDB ，PA 平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB 。

6分

（2）由P D ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC 。 ∵底面ABCD 是正方形， ∴DC ⊥BC ，

∴BC ⊥平面PDC ，而DE 平面PDC ，

∴BC ⊥DE 。① 8分

PD ＝DC ，E 是PC 的中点，

∴是等腰三角形，DE ⊥PC 。②

10分

由①和②得DE ⊥平面PBC 。 而PB 平面PBC ，

∴DE ⊥PB 。 12分

又EF ⊥PB 且DEEF ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD 。 20. 解：（Ⅰ），

， 。

①当时，在区间上，的单调增区间为。 ②当时，

由解得，由解得，

的单调减区间为，单调增区间为。

（Ⅱ）当，由（Ⅰ）①知，的最小值为； 当时，由（Ⅰ）②知，在处取得最小值 ，

综上可知，若得最小值为1，则a 的取值范围是。 21. 解：（1），在R 上为减函数（解法略）

（2）①)2()

2(1

)(,1)0(11n n n a f a f a f f a +=--===+，由单调性，故为等差数列

②，则

1

21

3411411111

2

21

2+-+++=

-

+

+++n n n a a a n n n 是递增数列 当时，

，即x x x x a a a a log log 11log log 11<⇒<+-++

而，故的取值范围是32603 7F5B 罛 31179 79CB 秋21802 552A 唪*i37068 90CC 郌34305 8601 蘁29031 7167 照40024 9C58 鱘27607 6BD7 毗25906 6532 攲P(33496

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