初中数学 微拓展 北师大版八年级下册第五章回顾与思考

拓展习题

类型一：条件变形法

1．已知：311=-y x ，求y

xy x y xy x -+--22的值．

类型二：公式变形法

2．已知：0142

=+-x x ，求2

21x x +

的值．

类型三：设K 法

3．已知：4:3:2::=z y x ，求z y x z

y x ++++23432的值．

类型四:一一对应法 4．已知：

)

3)(2(532-+=-++x x x x B x A ，求A 、B 的值．

类型五：倒数法 5．已知：

x x −x+1

=7，求

x 2

x +x +1

的值.

类型六：平方法

6．已知：x 2−6xy +y 2=0,求 x−y x+y

的值.

类型七：分式方程解得情况 （一）无解

7．（1）若关于x 的方程

x 1m 1

3x 22x

+-=+

--无解，则m =_________ （2）关于x 的分式方程1x−2

−

a 3−x

=

2x −5x+6

总无解，则a 的值为

_________. （二）有增根

8. （1）当m =_________时，关于x 的方程

x

x−3

=2+

m

x−3

有增根.

（2）若方程

2

x−2

+

mx x 2−4

=

3

x+2

有增根，则m =_________

类型八：换元法解分式方程 9．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：

x−1x −

4x x−1

=0.

解：设y =

x−1x

，则原方程化为：y −4y

=0，

方程两边同时乘以y 得：y 2−4=0， 解得：y =±2，

经检验：y =±2都是方程y −4

y =0的解，

∴当y =2时，

x−1x =2，解得：x=-1， 当y =-2时，

x−1

x

=−2，解得：x=1

3

，

经检验：x =-1或x =13

都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x =-1或x=1

3.

上述这种解分式方程的方法称为换元法。 问题：（1）若在方程x−14x

−

x x−1

=0中，设y =

x−1x

，则原方程可化为：

____________； （2）若在方程

x−1x+1

−

4x+4x−1

=0中，设y =

x−1x+1

，则原方程可化为：

______________;

（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2

−

3x−1

−1=0.

参考答案：

1．由31

1=-y x 可知xy ≠0,两边都乘以xy ，得y -x=3xy ，所以x -y=-3xy.

原式=

−3xy−2xy −3xy+2xy

=5.

2．由0142=+-x x 可知x ≠0,两边都除以x ，得x −4+1x

=0,所以x +

1x

=4，x 2

+

1x 2

=(x +1

x

）2

−2=42−2=14.

3．由4:3:2::=z y x ，k ≠0，设x=2k,y=3k,z=4k .原式=4k+9k+16k 6k+6k+4k

=

2916

.

4．左侧=

A (x−3)+B(x+2)(x+2)(x−3)

=

(A+B )x−3A+2B (x+2)(x−3)

，左侧=右侧，所以A+B =5，

-3A+2B =0，解得A =2，B =3. 5．由

x x −x+1

=7，所以x ≠0,所以

x 2−x+1

x

=17

，即x +1x

=8

7

，所以

x 4+x 2+1

x =x 2

+1+

1x

=(x +1x )2−2+1=(87)2

−1=15

49

。所以原式=49

15

.

6．由已知得x 2+y 2=6xy ,所以(x−y x+y

)2=

x 2−2xy+y 2

x 2+2xy+y 2

=

6xy−2xy 6xy+2xy

=1

2

，所以原

式=±√2

2.

7．（1）【答案】-2 【解答】由

x 1m 1

3x 22x

+-=+

--得x +1=3（x -2）-m +1， m =2x -6，而方程x 1m 1

3x 22x

+-=+

--无解，故x =2，∴m =-2 【分析】分式方程无解是因为去分母过程中同乘零。所以x =2，原方程去分母得x +1=3（x -2）-(m -1)把x =2代入可得m =-2. （2）【答案】-1，2.

【解答】去分母得：3-x -a （x -2）=-2,即（a +1）x =2a +5，当a =-1时，显然方程无解; 当a ≠-1时，x =

2a+5a+1

，若x =2时，a 不存在;若x =3时，a =2，

综上，a 的值为-1，2.