初中数学 微拓展 北师大版八年级下册第五章回顾与思考

拓展习题
类型一：条件变形法
1．已知：311=-y x ，求y
xy x y xy x -+--22的值．
类型二：公式变形法
2．已知：0142
=+-x x ，求2
21x x +
的值．
类型三：设K 法
3．已知：4:3:2::=z y x ，求z y x z
y x ++++23432的值．
类型四:一一对应法 4．已知：
)
3)(2(532-+=-++x x x x B x A ，求A 、B 的值．
类型五：倒数法 5．已知：
x x −x+1
=7，求
x 2
x +x +1
的值.
类型六：平方法
6．已知：x 2−6xy +y 2=0,求 x−y x+y
的值.
类型七：分式方程解得情况 （一）无解
7．（1）若关于x 的方程
x 1m 1
3x 22x
+-=+
--无解，则m =_________ （2）关于x 的分式方程1x−2
−
a 3−x
=
2x −5x+6
总无解，则a 的值为
_________. （二）有增根
8. （1）当m =_________时，关于x 的方程
x
x−3
=2+
m
x−3
有增根.
（2）若方程
2
x−2
+
mx x 2−4
=
3
x+2
有增根，则m =_________
类型八：换元法解分式方程 9．阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：
x−1x −
4x x−1
=0.
解：设y =
x−1x
，则原方程化为：y −4y
=0，
方程两边同时乘以y 得：y 2−4=0， 解得：y =±2，
经检验：y =±2都是方程y −4
y =0的解，
∴当y =2时，
x−1x =2，解得：x=-1， 当y =-2时，
x−1
x
=−2，解得：x=1
3
，
经检验：x =-1或x =13
都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x =-1或x=1
3.
上述这种解分式方程的方法称为换元法。

问题：（1）若在方程x−14x
−
x x−1
=0中，设y =
x−1x
，则原方程可化为：
____________； （2）若在方程
x−1x+1
−
4x+4x−1
=0中，设y =
x−1x+1
，则原方程可化为：
______________;
（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2
−
3x−1
−1=0.
参考答案：
1．由31
1=-y x 可知xy ≠0,两边都乘以xy ，得y -x=3xy ，所以x -y=-3xy.
原式=
−3xy−2xy −3xy+2xy
=5.
2．由0142=+-x x 可知x ≠0,两边都除以x ，得x −4+1x
=0,所以x +
1x
=4，x 2
+
1x 2
=(x +1
x
）2
−2=42−2=14.
3．由4:3:2::=z y x ，k ≠0，设x=2k,y=3k,z=4k .原式=4k+9k+16k 6k+6k+4k
=
2916
.
4．左侧=
A (x−3)+B(x+2)(x+2)(x−3)
=
(A+B )x−3A+2B (x+2)(x−3)
，左侧=右侧，所以A+B =5，
-3A+2B =0，解得A =2，B =3. 5．由
x x −x+1
=7，所以x ≠0,所以
x 2−x+1
x
=17
，即x +1x
=8
7
，所以
x 4+x 2+1
x =x 2
+1+
1x
=(x +1x )2−2+1=(87)2
−1=15
49。

所以原式=49
15
.
6．由已知得x 2+y 2=6xy ,所以(x−y x+y
)2=
x 2−2xy+y 2
x 2+2xy+y 2
=
6xy−2xy 6xy+2xy
=1
2
，所以原
式=±√2
2.
7．（1）【答案】-2 【解答】由
x 1m 1
3x 22x
+-=+
--得x +1=3（x -2）-m +1， m =2x -6，而方程x 1m 1
3x 22x
+-=+
--无解，故x =2，∴m =-2 【分析】分式方程无解是因为去分母过程中同乘零。

所以x =2，原方程去分母得x +1=3（x -2）-(m -1)把x =2代入可得m =-2. （2）【答案】-1，2.
【解答】去分母得：3-x -a （x -2）=-2,即（a +1）x =2a +5，当a =-1时，显然方程无解; 当a ≠-1时，x =
2a+5a+1
，若x =2时，a 不存在;若x =3时，a =2，
综上，a 的值为-1，2.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论a的值，使分式方程无解即可.
8．（1）【答案】3
【解答】方程两边都乘（x-3），得x=2（x-3）+m，∵原方程有增根，∴最简公分母x-3=0，
解得x=3，把x=3代入，得3=0+m，解得m=3.
【分析】由于增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以将分式两边都乘（x-3）化为整式方程，
再把增根x=3代入求解即可.
（2）【答案】6或—4
【解答】方程两边都乘以（x+2）（x-2）得，2（x+2）+mx=3（x-2），∵分式方程有增根，∴（x+2）（x-2）=0，x+2=0或x-2=0，解得x=-2或x=2，
①当x=-2时，2（-2+2）+（-2）m=3（-2-2），解得m=6，
②当x=2时，2（2+2）+2m=3（2-2），解得m=-4，
综上所述，m的值为6或-4.
【分析】方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2) 把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值,然后代入进行计算即可得解.
9．【解答】
解：（1）将y=x−1
x 代入原方程，则原方程化为y
4
−1
y
=0；
（2）将y=x−1
x+1代入方程，则原方程可化为y−4
y
=0；
（3）原方程化为：x−1
x+2−x+2
x−1
=0，设y=x−1
x+2
，则原方程化为：y−1
y
=0，
方程两边同时乘以y得：y2−1=0
解得：y=±1，
经检验：y=±1都是方程y−1
y
=0的解。

当y=1时，x−1
x+2
=1，该方程无解；
当y=-1时，x−1
x+2=−1，解得：x=−1
2
；
经检验：x=−1
2
是原分式方程的解，
综上原分式方程的解为x=−1
2
.
【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可；
（3）利用换元法解分式方程，设y=x−1
x+2，将原方程化为y−1
y
=0，
求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可.。