(通用版)2017届高三数学二轮复习第一部分重点保分题专题检测(十六)直线与圆理

专题检测（十六） 直线与圆（高考题型全能练）

一、选择题

1．(2016·福建厦门联考)“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

2．(2016·全国甲卷)圆x 2

＋y 2

－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )

A ．－43

B ．－34

C. 3 D ．2

3．(2016·山西运城二模)已知圆(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )

A ．3x ＋y －5＝0

B ．x －2y ＝0

C ．x －2y ＋4＝0

D ．2x ＋y －3＝0

4．圆心在曲线y ＝2

x

(x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )

A ．(x －2)2＋(y －1)2

＝25 B ．(x －2)2

＋(y －1)2

＝5 C ．(x －1)2

＋(y －2)2

＝25 D ．(x －1)2

＋(y －2)2

＝5

5．(2016·福州模拟)已知圆O ：x 2

＋y 2

＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )

A ．(－32，32)

B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)

C ．(－22，22)

D ．[－32，3 2 ]

6．(2016·河北五校联考)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：

x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )

A ．2 6

B ．4 C. 6 D ．2 二、填空题

7．(2016·山西五校联考)过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2

＋(y －3)2

＝7所截得的弦长为________．

8．已知f (x )＝x 3

＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2) 处的切线与圆(x －2)2

＋(y ＋4)2

＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．

9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2

＋（y －b ）2

可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋

x 2＋2x ＋10的最小值为________．

三、解答题

10．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2

＋(y －3)2

＝1交于M ，N 两点．

(1)求k 的取值范围； (2)若

＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.

11．已知点P (2，2)，圆C ：x 2

＋y 2

－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．

(1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．

12．(2016·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．

(1)求圆C 的方程；

(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

答 案

一、选择题

1．解析：选B 点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |

32＋42

＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.

2．解析：选A 因为圆x 2

＋y 2

－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1

＝1，解得a ＝－43.

3．解析：选D 直线x －2y ＋3＝0的斜率为1

2，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所

在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.

4．解析：选D 设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a >0)，则半径r ＝2a ＋2

a ＋15

≥

2

2a ×2

a

＋1

5

＝5，

当且仅当2a ＝2

a

，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1，2)，所

以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2

＝5.

5．解析：选A 由圆的方程可知圆心为O (0，0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <2＋1＝3，即d ＝

|－a |12

＋1

2

＝|a |

2

<3，解得a ∈(－32，32)，故选A.

6．解析：选B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为

d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1，3)，则d

＝1＋32

＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B.

二、填空题

7．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，∵圆心(0，3)到l 的距离为d ＝1，∴所求弦长＝2R 2

－d 2

＝27－1＝2 6.

答案：2 6

8．解析：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2

＋a ，∴f (x )的图象在点P (1， －2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋1

2

＝5⇒a ＝－52，∴b ＝1

4，∴3a ＋2b ＝－7. 答案：－7