高中数学极限知识点教学内容
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。
人教版高中数学(理科)选修函数极限的运算法则教案
函数极限的运算法则教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o==→∞→lim ,01lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二 、新课讲授也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf oo x x x x →→= n x x n x x x f x f oo )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.三 典例剖析例1 求)3(lim 22x x x +→例2 求112lim 231++-→x x x x例3 求416lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限.例4 求133lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim *N k x C C kx x ∈==∞→∞→ 例5 求1342lim 232+--+∞→x x x x x 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。
高中数学数列极限教案
高中数学数列极限教案
教学内容：数列极限
教学目标：学生能够理解数列极限的概念，掌握求解数列极限的方法，并能够应用数列极限解决实际问题。
教学重点和难点：数列极限的定义和求解方法。
教学步骤：
一、引入问题（10分钟）
1. 介绍数列的概念，引出数列极限的概念。
2. 提出一个简单的数列极限问题，并引导学生讨论。
二、概念解释（15分钟）
1. 讲解数列极限的定义和性质。
2. 举例说明数列极限的计算方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 解决几个简单的数列极限计算问题。
2. 练习讨论中出现的疑惑和困惑。
四、拓展应用（15分钟）
1. 提出一些数列极限在实际问题中的应用。
2. 引导学生思考如何将数列极限应用到实际问题的解决中。
五、总结与课堂小结（10分钟）
1. 总结数列极限的概念、性质和求解方法。
2. 完成本节课的课堂小结。
教学方法：讲授结合练习，引导学生主动探究。
课后作业：完成课后练习题，巩固数列极限的计算方法。
教学反思：本节课主要以数列极限的概念和求解方法为主线，通过引入问题、概念解释、练习与讨论、拓展应用等环节，引导学生深入理解数列极限的概念和性质，提高学生的数
学解决问题的能力。
同时，注重引导学生思考和应用，帮助学生将数学知识与实际问题相结合，培养学生的数学思维能力和创新能力。
归纳极限知识点总结高中
归纳极限知识点总结高中一、极限的定义在介绍极限的相关知识之前，首先需要明确极限的定义。
在数学中，对于一个函数f(x)，当x的取值趋于某个数a时，如果函数f(x)的取值也趋于某个数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以通过数学公式来表示，即对于任意的正实数ε，存在对应的正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立。
二、极限存在与不存在的判定1. 无穷极限存在的条件当x的取值趋于正无穷或负无穷时，如果函数的取值有限且有确定的值L，那么函数在无穷处的极限存在，即lim(x→+∞)f(x)=L或lim(x→-∞)f(x)=L。
2. 极限不存在的情况当x趋于某个数a时，如果函数f(x)的极限不存在，可能有以下几种情况：a) 函数f(x)在a的邻域内没有定义；b) 函数f(x)在a的邻域内存在无穷大的值；c) 函数f(x)在a的邻域内振荡或者是分段函数的情况。
三、极限的性质1. 唯一性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在，并且是唯一的，那么就可以说函数f(x)在x趋于a时的极限存在。
如果函数在x趋于a时的极限不存在或者不唯一，那么就可以说函数在x趋于a时的极限不存在。
2. 夹逼定理对于一个函数f(x)和g(x)，如果它们在x趋于a时的极限存在且等于相同的值L，并且在x趋于a时，有h(x)≤f(x)≤g(x)，那么函数h(x)在x趋于a时的极限也存在且等于L。
3. 有界性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在且为L，那么对于任意的小于L的正数ε，存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)|<ε成立。
四、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量在微积分中，对于一个函数f(x)，如果在x趋于某个数a时，极限为零，那么我们就说函数f(x)是x趋于a时的无穷小量。
通常情况下，我们记作lim(x→a)f(x)=0。
高一函数极限知识点
高一函数极限知识点函数极限是高中数学中的重要概念之一，它不仅在数学中有重要的应用，而且在物理、经济等领域也发挥着重要的作用。
在高一阶段，我们首先需要了解函数极限的定义，然后学习一些相关的性质和计算方法。
接下来，我将对高一函数极限的知识点进行详细的介绍。
一、函数极限的定义函数极限的定义是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x无限接近某个实数a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，那么我们说f(x)在x趋于a的过程中极限为L，并记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
二、函数极限的性质1. 极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中存在极限L，那么这个极限是唯一的，即极限不存在多个值。
2. 四则运算法则：对于两个函数的和、差、积、商，如果它们都在各自的定义域内有极限，那么其极限也存在，并且满足相应的四则运算法则。
3. 复合函数的极限：如果函数f(x)在x趋于a的过程中有极限L，而函数g(x)在x趋于L的过程中有极限M，那么复合函数g(f(x))在x趋于a的过程中有极限M。
4. 夹逼定理：如果对于同一个自变量x在某个区间(a - δ, a + δ)内的三个函数f(x), g(x), h(x)，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)成立，并且当x趋于a时，f(x)和h(x)的极限都为L，那么函数g(x)在x趋于a的过程中的极限也为L。
三、函数极限的计算方法1. 直接代入法：当函数在某个点的取值未定义或不容易计算时，可以通过将自变量x的值直接代入函数中来计算极限。
2. 分解因式法：当函数式子中存在因式可以分解的情况时，可以将式子进行因式分解，然后逐项计算各个因子的极限，最后再利用四则运算法则计算整个函数的极限。
3. 凑零法：当函数式子中存在分式或根式，并且分子与分母之间有相同的因子时，可以通过凑零来化简式子，然后计算得到极限。
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明
高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明高中数学必修课教案：函数的极限与连续的推理与证明导言：函数是数学中一个重要的概念，它可以描述不同变量之间的关系。
在高中数学必修课程中，学生需要学习函数的极限与连续，这是进一步理解函数性质与应用的基础。
本教案将以极限与连续为核心内容，通过推理与证明的方式展示相关知识点。
通过本教案的学习，学生将掌握函数的极限定义、极限的运算规律以及连续函数的特性和证明方法。
一、函数的极限1. 极限的引入极限是描述函数在某一点附近的取值趋势的概念。
通过接近或逼近的方式，我们可以研究函数在某一点的表现。
2. 极限的定义函数f(x)在x=a处的极限为L，表示为lim[x→a] f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε。
3. 极限的性质（1）极限唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，则极限唯一。
（2）四则运算性质：设lim[x→a] f(x) = A，lim[x→a] g(x) = B，则(i) lim[x→a] [f(x)±g(x)] = A±B(ii) lim[x→a] [f(x)·g(x)] = A·B(iii) lim[x→a] [f(x)/g(x)] = A/B (其中B≠0)4.无穷小与无穷大（1）无穷小：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限是0，则称f(x)为x→a时的一个无穷小。
（2）无穷大：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限不存在或者无穷大，则称f(x)为x→a时的一个无穷大。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，表示为f(a)=lim[x→a] f(x)存在且等于f(a)。
2. 连续函数的性质（1）基本初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数在其定义域内都是连续函数。
高中数学极限入门教程
高中数学极限入门教程一、引言数学极限是高中数学的重要概念之一，也是后续学习微积分和数学分析等领域的基础。
本文旨在为高中生介绍数学极限的基本概念和基本性质，帮助读者初步理解和掌握这一概念。
二、数学极限的定义与基本概念1. 极限的定义对于数列或函数而言，当自变量趋近某个特定值时，如果相应的函数值或数列项逐渐逼近某个确定的数，那么我们称其极限存在，并用数学符号表示。
例如，当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限为L可以用符号表示为：lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限的基本概念- 左极限和右极限：当自变量趋近于某个特定的值a时，如果函数只从左侧逼近某个数L，那么称之为左极限；如果函数只从右侧逼近某个数L，那么称之为右极限。
- 无穷极限：当自变量趋近无穷大或无穷小时，函数的极限称之为无穷极限。
例如，当x趋近于正无穷时，函数f(x)的极限为L可以用符号表示为：lim(x→+∞)f(x)=L。
- 极限的存在性：极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限，即左极限=右极限=L。
三、极限的性质和运算法则1. 唯一性函数的极限如果存在，那么极限值唯一。
2. 有界性如果函数在某一点的极限存在，则它在该点附近有界。
3. 四则运算法则极限具有四则运算的性质。
对于已知的两个函数f(x)和g(x)，它们的极限存在时，有以下运算法则：- 两个函数的和的极限等于这两个函数极限之和。
- 两个函数的差的极限等于这两个函数极限之差。
- 两个函数的乘积的极限等于这两个函数极限之积。
- 两个函数的商的极限等于这两个函数极限之商（前提是分母函数的极限不等于0）。
四、求极限的基本方法1. 直接代入法当函数在某一点连续时，可以直接将自变量代入函数，并计算函数值即可得到极限。
2. 图示法对于一些较为复杂的函数，可以通过绘制图形来观察函数在某一点的极限。
3. 运算法则和基本极限值的运用可以利用极限的四则运算法则和基本极限值，将复杂的函数化简成可以直接求解的形式。
高数函数的极限知识点
高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。
2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。
2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。
3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。
三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。
高中常见极限知识点总结
高中常见极限知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数和数列的性质的基础。
在高中数学课程中，极限是一个重要的内容，学生需要深入理解和掌握它，因为它不仅是数学的基础，还在物理、工程、经济学等其他学科中有着广泛的应用。
本文将对高中常见的极限知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、极限的概念1. 定义：对于函数f(x)，当x趋于某一数a时，如果当x充分靠近a时，函数值f(x)无限接近于一个定值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限存在的条件：极限存在的条件是当x充分靠近a时，函数值能够无限接近于一个定值L。
也就是说，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x－a|＜δ时，都有|f(x)－L|＜ε成立。
3. 极限的表示：极限可以用符号lim表示，写成lim(x→a)f(x)=L，其中x→a表示x趋于a的过程，f(x)表示函数值，L表示极限的定值。
可以理解为，当x趋于a时，函数值f(x)趋于L。
二、极限的性质1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么这个极限是唯一的。
2. 有界性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)在x趋于a的邻域内有界。
3. 保序性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，且有f(x)≤g(x)，那么极限也有lim(x→a)f(x)≤lim(x→a)g(x)。
4. 乘法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)g(x)当x趋于a 的时候极限也存在，且有lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。
5. 加法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)+g(x)当x趋于a的时候极限也存在，且有lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。
高中数学新课极限教案
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大的大小。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，无穷小，无穷大。
2. 极限的表示方法：极限符号“\(\lim\)”，极限表达式。
3. 求函数在某一点的极限：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
4. 无穷小和无穷大的比较：无穷小比较，无穷大比较。
5. 极限在数学分析中的应用：导数，积分。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限。
2. 难点：无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 采用案例分析法，让学生通过具体的例子学会求函数在某一点的极限。
3. 采用比较法，让学生理解无穷小和无穷大的概念，并能比较它们的大小。
4. 采用联系实际法，让学生了解极限在数学分析中的应用。
五、教学准备1. 教学课件：极限的概念，极限的表示方法，求函数在某一点的极限，无穷小和无穷大的比较，极限在数学分析中的应用。
2. 例题：求函数在某一点的极限的例题。
3. 练习题：巩固极限的概念和求函数在某一点的极限的方法。
教案一、导入（5分钟）1. 引入极限的概念，引导学生思考函数在某一点的极限是什么。
2. 介绍极限的表示方法，让学生熟悉极限符号“\(\lim\)”和极限表达式。
二、新课内容（15分钟）1. 讲解极限的概念，解释无穷小和无穷大的概念。
2. 讲解求函数在某一点的极限的方法：直接求极限，定义法求极限，夹逼定理求极限。
三、案例分析（15分钟）1. 通过具体的例子，让学生学会求函数在某一点的极限。
2.让学生尝试解决一些求极限的问题，并及时给予指导和解答。
四、无穷小和无穷大的比较（10分钟）1. 讲解无穷小比较和无穷大比较的方法。
高中数学知识点第十三章-极 限
高中数学第十三章-极 限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．§13. 极 限 知识要点1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.2. ⑴数列极限的表示方法：①a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.⑵几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数） ②),(01lim 是常数k N k nk n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim =∞→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在 当1 a 时，n n a ∞→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞→)(lim ②b a b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim③)0(lim ≠=∞→b ba b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么Ca a C a C n n n n n =⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1 q 时，无穷等比数列的各项和为)1(11 q q a S -=. （化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限；⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.⇒函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件.） 如⎩⎨⎧+--=1111)( x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0②b a x g x f x x ⋅=⋅→))()((lim 0③)0()()(lim 0≠=→b ba x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么)(lim ))((lim 00x f C x f C x x x x →→=⋅. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 00→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→xn ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0li m =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=⇒→x x x④e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()()(),()(),()(≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件： ①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定： 如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()( b f a f ⋅.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.⑶夹逼定理：设当δ ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）6. 几个常用极限： ①1,0lim q q n n =+∞→ ②)0(0!lim a n a nn =+∞→ ③k a a n n kn ,1(0lim =+∞→为常数） ④0ln lim=+∞→n n n ⑤k n n k n ,0(0)(ln limεε=+∞→为常数）。
高中数学新课极限教案
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的表示方法。
2. 学会求函数在某一点的极限值。
3. 理解无穷小和无穷大的概念，并能比较无穷小和无穷大数据。
4. 了解极限在数学分析中的应用。
二、教学内容1. 极限的概念：函数在某一点的极限，极限的表示方法。
2. 极限的性质：极限的保号性、极限的传递性、极限的唯一性。
3. 无穷小和无穷大：无穷小的概念，无穷大的概念，比较无穷小和无穷大数据。
4. 极限的运算法则：极限的四则运算法则，极限的复合函数运算法则。
5. 极限在数学分析中的应用：极限在求解函数极值、导数、积分等方面的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念，极限的表示方法，无穷小和无穷大的概念。
2. 难点：极限的运算法则，极限在数学分析中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考问题来理解极限的概念和性质。
2. 通过实例讲解，让学生掌握求函数在某一点的极限值的方法。
3. 利用数学软件或图形计算器，动态展示极限过程，帮助学生直观理解极限概念。
4. 开展小组讨论，让学生在合作中探讨极限的运算法则和应用。
五、教学安排1课时：介绍极限的概念和表示方法；1课时：讲解无穷小和无穷大的概念；1课时：讲解极限的性质；1课时：讲解极限的运算法则；1课时：讲解极限在数学分析中的应用。
六、教学评估1. 课堂练习：布置相关的极限题目，检测学生对极限概念和性质的理解。
2. 课后作业：布置求函数在某一点的极限值和应用极限解决实际问题的题目。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和合作能力。
七、教学反思1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和教学内容。
2. 针对学生的疑难问题，进行解答和讲解。
3. 探索更多有效的教学资源，如数学软件、图形计算器等，以提高教学效果。
八、拓展与提高1. 极限在数学分析中的其他应用：如微分、积分等。
2. 极限在实际问题中的应用：如物理学、工程学等领域的应用。
高中数学函数极限的教案
高中数学函数极限的教案
一、教学目标：
1. 了解数学函数极限的概念及性质；
2. 掌握计算函数极限的方法；
3. 能够运用函数极限解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和分析能力。
二、教学重点与难点：
重点：函数极限的定义和性质，计算函数极限的方法；
难点：理解并运用函数极限解决实际问题。
三、教学内容：
1. 函数极限的定义与性质；
2. 常见函数的极限计算方法；
3. 函数极限在实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个简单的例子引入函数极限的概念；
2. 讲解：介绍函数极限的定义和性质，讲解常见函数的极限计算方法；
3. 演练：组织学生做一些练习题巩固所学内容；
4. 应用：通过一些实际问题引导学生运用函数极限解决问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，并提醒学生需要多加练习。
五、教学资源：
1. 教科书；
2. 手册和笔记。
六、作业布置：
1. 完成教材上的相关习题；
2. 自主查找一些函数极限的应用题并做一些解答。
七、教学反思：
通过本节课的教学，学生对函数极限的概念、性质和计算方法有了更加清晰的认识，提高了解决实际问题的能力。
同时，也发现学生在理解函数极限的过程中可能存在一些困难，需要更多的练习和巩固。
在后续教学过程中，需要继续帮助学生理解和掌握函数极限的知识。
高中数学新课极限教案
高中数学新课——极限一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的定义及极限的基本性质。
2. 学会求解函数在某一点的极限，理解极限在数学分析中的重要性。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 极限的概念：引入极限的概念，解释极限的含义，举例说明极限在数学分析中的应用。
2. 极限的定义：讲解极限的定义，分析极限的性质，如保号性、单调性等。
3. 求解极限：教授求解极限的方法，如直接求解、因式分解、有理化等。
4. 极限在实际问题中的应用：通过实例讲解极限在实际问题中的应用，如物理中的速度与加速度、化学中的浓度等。
三、教学重点与难点1. 重点：极限的概念、极限的定义及求解方法。
2. 难点：理解极限的保号性、单调性等性质，以及极限在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解极限的概念、定义及求解方法。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图形等形式直观地展示极限的过程。
3. 结合实际问题，引导学生运用极限解决实际问题。
4. 开展课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与度。
五、教学过程1. 导入：通过实例引入极限的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解极限的概念：解释极限的含义，强调极限在数学分析中的重要性。
3. 讲解极限的定义：详细讲解极限的定义，分析极限的性质。
4. 求解极限：教授求解极限的方法，并进行示例讲解。
5. 应用极限解决实际问题：通过实例讲解极限在实际问题中的应用。
6. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
8. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
10. 学生反馈：收集学生对课堂教学的反馈，了解学生的学习情况，调整教学方法。
六、教学评价1. 评价内容：对学生在本节课中所学的极限概念、极限的定义及求解方法进行评价。
2. 评价方式：课堂练习、课后作业、课堂表现等。
3. 评价标准：能准确理解极限的概念，熟练掌握极限的定义及求解方法，能够运用极限解决实际问题。
数学知识点在教学函数的极限与连续性
数学知识点在教学函数的极限与连续性函数的极限与连续性是高中数学中重要的知识点，也是数学教学中的重点内容之一。
通过教学这一部分的知识，可以帮助学生深入理解函数的性质，提高解题能力和思维逻辑。
本文将从函数的极限以及连续性两个方面，探讨数学知识点在教学中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数概念的重要组成部分，也是数学中的重点内容之一。
函数的极限描述了函数值随自变量无限接近某一特定值时的性质。
在教学函数的极限时，可以采用以下方式进行：1. 引入函数的极限的概念：首先，引导学生思考函数$f(x)$在$x$趋近于某个值$a$时的变化规律。
让学生通过探究实例，感受函数极限的概念，并理解极限的含义。
2. 极限的定义和性质：接下来，介绍极限的定义和性质。
通过具体的例子和练习题，让学生掌握函数极限的基本概念和计算方法，理解函数极限的性质。
3. 极限的运算法则：教授极限的运算法则，如极限的四则运算法则、极限的复合法则等。
通过引入具体的例子和案例分析，帮助学生灵活运用极限的运算法则，解决实际问题。
二、函数的连续性函数的连续性是函数性质的重要描述方式，也是数学中的重点内容之一。
函数的连续性描述了函数图像的连续性和无间断性。
在教学函数的连续性时，可以采用以下方式进行：1. 引入函数的连续性概念：首先，通过图像描述和实例引导学生思考连续函数的性质和特点。
让学生通过观察实例，感受连续函数的连续性，并理解连续性的定义。
2. 连续性的定义和性质：接下来，介绍连续性的定义和性质。
通过具体的例子和练习题，让学生掌握函数连续性的基本概念和判定方法，理解连续函数的性质。
3. 函数连续性的研究：教授函数连续性的研究方法，如函数的间断点和可导性。
通过引入具体的例子和案例分析，帮助学生深入理解函数的连续性，解决实际问题。
三、数学知识点在教学中的应用函数的极限与连续性在数学教学中是重要的知识点，同时也是其他数学概念的基础。
通过教学函数的极限与连续性，可以帮助学生将抽象概念与实际问题相结合，提高解题能力和数学思维逻辑。
高数极限的知识点笔记总结
高数极限的知识点笔记总结一、数列极限的概念1.1、数列的概念1.1.1、若给定一个从自然数集合N到实数集合R的函数an=f(n),则称序列{an}为数列。
1.1.2、数列是数学中的一个重要概念，它是指有序的一串数的集合。
比如，1,2,3,4,5,6,... 就是一个数列，其中每一个数都有一个位置，称之为该数在数列中的项。
这个位置通常用自然数n表示，称为项数。
1.2、数列极限的概念1.2.1、若数列{an}的项在某一项之后，无论距离这一项多近，都能无限地接近某一个确定的常数A，则称常数A为数列{an}的极限。
极限通过记号lim(an)=A来表示。
1.2.2、数列极限的概念是指当n趋于无穷大时，数列中的项an的极限值。
1.2.3、形式化定义：对于数列{an}，若对于任意给定的正数ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，则称A是数列{an}的极限。
1.3、无穷大数列1.3.1、若数列{an}满足：对于任何实数M，存在正整数N，使得当n>N时，有|an|>M，则称数列{an}为无穷大数列。
1.3.2、无穷大数列的极限是无穷大。
1.4、数列极限的性质1.4.1、唯一性：数列的极限若存在，则唯一。
1.4.2、有界性：如果数列有极限，则这个数列一定是有界的。
1.4.3、保号性：如果数列{an}有极限A, 且A>0（或A<0），则存在正整数N1，当n>N1时，有an>0（或an<0）。
二、函数极限的概念2.1、函数极限的概念2.1.1、在自然数集N上定义的函数f(n)，若当n趋于无穷大时，f(n)的极限存在，则称函数f(n)在n趋于无穷大时有极限。
2.1.2、形式化定义：对于函数f(x)，若对于任意给定的正数ε>0，存在正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)当x趋于a时的极限。
高中数学知识点总结极限与连续性
高中数学知识点总结极限与连续性高中数学知识点总结：极限与连续性在高中数学学习过程中，极限与连续性是非常重要的概念和理论。
它们是分析数学中的基本内容，也是数学推理和问题解决的核心工具。
本文将对高中数学中的极限与连续性进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近于的值。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，若存在实数L，使得对于任意给定的正数ε，总可以找到正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε成立，则称函数在x趋近于a时极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
2. 极限的性质（1）极限唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。
（2）局部有界性：如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，则存在一个δ>0，当0 < |x - a| < δ时，f(x)有界。
（3）四则运算法则：设lim┬(x→a)〖f(x)=A，lim┬(x→a)〖g(x)=B〗〗，其中A、B为有限数，常数C为常数，则有：a) lim┬(x→a)[f(x)±g(x)]=A±Bb) lim┬(x→a)[f(x)×g(x)]=A×Bc) lim┬(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B，其中B≠0。
3. 左极限与右极限对于函数f(x)，以a为自变量的取值上界时的极限值称为左极限，以a为自变量的取值下界时的极限值称为右极限。
记作lim┬(x→a⁻)f(x)和lim┬(x→a⁺)f(x)，分别对应于x从a左侧和右侧趋近。
二、连续性与间断点1. 连续性的定义连续性是指函数在某个点上没有突变、断裂或跳跃，并且与该点邻近的点上函数值变化相对较小。
对于函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数在点a上连续。
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则
高中数学教案极限的运算法则与洛必达法则高中数学教案：极限的运算法则与洛必达法则极限是高等数学中的一个重要概念，它在微积分中具有广泛的应用。
为了帮助学生更好地理解和掌握极限的概念和相关运算法则，本教案将系统地介绍极限的运算法则，并引入洛必达法则，以帮助学生更深入地理解极限的计算方法。
一、极限的基本概念回顾在开始介绍极限的运算法则之前，我们先回顾一下极限的基本概念。
在高中数学中，极限一般用符号“lim”表示，表示当自变量趋于某个特定值时，函数的取值的稳定趋势。
极限有左极限和右极限之分，分别表示从左侧和右侧逼近某个特定值时的函数取值趋势。
二、极限的运算法则1. 基本的四则运算法则对于两个函数的和、差、积和商，我们可以通过分别对两个函数的极限进行运算来得到结果函数的极限。
具体而言，如果函数f(x)和g(x)在某一点a的附近均有定义，且lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)均存在，则有以下公式：- 和的极限：lim(x→a)(f(x) + g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)- 差的极限：lim(x→a)(f(x) - g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x)- 积的极限：lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x)- 商的极限：lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) （前提是lim(x→a)g(x)≠0）2. 复合函数的极限法则对于复合函数，我们可以将其视为两个函数的复合。
如果函数f(x)在点a的附近有定义，并且lim(x→a)f(x)存在，且函数g(x)在lim(x→a)f(x)的附近有定义，则可以得到以下运算法则：- 复合函数的极限：lim(x→a)g[f(x)] = lim(x→a)g(u) （其中，u = lim(x→a)f(x)）三、洛必达法则洛必达法则是一种在计算极限过程中特别有用的工具。
高中数学新课程中的极限及其教学
高中数学新课程中的极限及其教学
实施
极限是高中数学新课程中的重要概念，它可以提供有关函数的无穷大
的理解，探讨各种不变量的概念，并将函数的特性分析问题解决为有
限的特殊问题。
实施极限教学的步骤如下：
1、解释极限概念。
介绍极限概念是非常重要的，教师可以通过提出例子，通过例子让学生更容易理解极限的概念。
2、培养学生学习极限的基本知识。
学生可以通过练习认识极限的定义，掌握判断表达式极限的方法，学会求函数极限的基本技巧。
3、分析特殊函数的极限。
学生在练习中自行推导特殊函数的极限，分
析常见函数的极限特性，熟练地运用极限计算技巧解决函数极限的问题。
4、探究常见函数的无穷大极限的特性，利用极限解决实际问题。
教师
能与学生进行良好的沟通，使学生能够积极地探究常见函数的无穷大
极限的特性，利用极限解决实际问题。
5、培养学生分析和利用极限来解决实际问题的能力。
通过引导学生思
考，让学生总结、体会，并熟练掌握分析和利用极限的能力，做到能在实际问题中运用极限来解决问题。
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极限
一、数列的极限：
对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时，数列的相应项n x 无限趋近一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限，记为
)(lim ∞→→=∞
→n A x A x n n n 或 式子中“→”读作“趋于”，这时也称数列{}n x 是收敛的，若数列{}n x 没有极限，则称数列{}n x 是发散的
二、函数的极限
1.当∞→x 时函数的极限
2.当+∞→x 或-∞→x 时函数的极限
得到一个充要条件是：A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞
→+∞→)(lim )(lim 3.当0x x →时函数的极限
4.当+→0x x 或-
→0x x 时函数的极限
得到一个充要条件是：A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00 三、极限的运算法则
（1）极限的唯一性 如果极限)(lim 0x f x x →存在，则它只有一个极限，即若A x f x x =→)(lim 0，B x f x x =→)(lim 0,则A=B
（2）极限的运算法则
设B x v A x u ==)(lim ,)(lim 则有
（1）[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim
（2）[]B A x v x u x v x u •=•=•)(lim )(lim )()(lim
（3）当0)(lim ≠=B x v 时，B
A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim 推论1 如果)(lim 0
x u x x →存在，c 为常数，则)(lim ))((lim 00x u c x cu x x x x →→= 推论2 如果)(lim 0x u x x →存在，N n ∈,则n
x x n x x x u x u )](lim [)]([lim 00→→= 四、函数的间断点
间断点的分类：
1）第一类间断点
（1）可去间断点：左右极限相等，但不等于该点的函数值（2）跳跃间断点：左右极限存在，但不想等
2）第二类间断点
左右极限至少有一个不存在。