泰勒公式与导数的应用
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泰勒公式与导数的应用
巩固练习
★1.按)1(-x
的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导
数在0x x
=处的值，然后带代入公式即可。
解：3
()46f x x x '=+，(1)10f '=；2
()126f x x ''=+，f (1)18''=；
()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ；
将以上结果代入泰勒公式，得
(4)23
4
(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。
★★2.求函数
x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。 思路：同1。 解
：()f x '=
，
1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1
(4)32
f ''=-；
523()8f x x -'''=，3(4)256
f '''=；27
41615)(--=x x f
)(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23
4(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+-
42
7
32)4(1285)4(512
1
)4(641)4(412--
-+---+=x ξ
x x x ，（ξ介于x 与4之间）。
★★★3.把
2
2
11)(x x x x x f +-++=
在0=x
点展开到含4x 项，并求)0()
3(f
。
知识点：麦克劳林公式。
思路：间接展开法。)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论
)(111
2n n x o x x x x
+++++=- 。
解：
3
2222211)
1(2112112111)(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-+=+-++-=+-++=
)(2221))(1)(1(2144233x o x x x x o x x x +-++=+-++=；
又由泰勒公式知3
x 前的系数
(0)
03!
f '''=，从而(0)0f '''=。 ★★4.求函数
x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为对数函数时，通常利用已知的结论
x x =+)1ln()(1
)1(3211
32++++-+-+-n n n x o n x x x 。 方法一：（直接展开）1()f x x '=
，1(2)2f '=；21()f x x ''=-，1(2)4f ''=-； 3
2()f x x '''=
，
1(2)4f '''=；n n n x n x ,f )!1()1()(1)(--=- ，n
n n n f 2)!1()1()2(1)(--=-； 将以上结果代入泰勒公式，得
(4)23
4(2)(2)(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!f f f f x f x x x x !''''''=+-+-+-+-+
n (n)x
n f )2(!)2(-+))2((n x o -+=23)2(21)2(212ln ---+x x --⋅+3
3
)2(2
31x ))2(()2(2
1)1(1
n
n n
n x o x n -+-⋅-+-。 方法二：2
)2
2(21222ln )221ln(2ln )22ln(ln )(---+=-++=-+==x x x x x x f 2313)2(21)2(212ln ))22(()22(1)1()22(31---+=-+--+--+-x x x o x n x n n n ))2(()2(2
1)1()2(231133n n n n x o x n x -+-⋅-+--⋅+- 。 ★★5.求函数x
x f 1
)(=按)1(+x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论
212
1
111(1)n n n x x x x x
ξ++=+++++
--。
方法一：2
1()f x x '=-
，
(1)1f '-=-；3
2()f x x ''=
，
(1)2f ''-=-；4
6()f x x '''=-
，
(1)6f '''-=-1
)(!)1()(+-=n n
n x
n x ,f ，!)1(!)1()1(1)(n n f n n
n -=--=-+； 将以上结果代入泰勒公式，得
231(1)(1)(1)
(1)(1)(1)(1)1!2!3!f f f f x x x x ''''''---=-+++++++
n
n x n f
)1(!
)1()
(+-+1)1()1()!1()(+++++
n n x n ξf
=n
x x x x )1()1()1()1(13
2
+--+-+-+-- 121
)1()1(++++-+n n n x ξ
（ξ介于x 与1-之间）。
方法二：
n x x x x x x )1()1()1()1(1[)
1(11132+++++++++-=+--= ])1()1(121++++-+n n n x ξ=n
32)1()1()1()1(1+--+-+-+--x x x x 121)1()1(++++-+n n n x ξ
（ξ介于x 与1-之间）。
★★6.求函数
x xe y =的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。
知识点：麦克劳林公式。
思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。)(x f 中含有x
e 时，通常利用已知结论
)(212n n x
x o n!
x !x x e +++++= 。
方法一：(1)x y x e '=+，(0)1y '=；(2)x y x e ''=+，(0)2y ''=；x (n)
e n x ,y
)(+= ，
n y n =)0()(，将以上结果代入麦克劳林公式，得
23
(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!
!
(n)x n
n f f f f xe f x x x x o x n ''''''=+++++
++
+++=!
232
x x x )!1(-+n x n )(n
x o +。