2016_2017学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4第2课时正态分布的应用学案

2．4 第二课时 正态分布的应用

一、课前准备 1．课时目标

(1) 能熟练的应用正态曲线的特点求概率； (2) 能利用3σ原则解决实际问题； 2．基础预探

1．若X ～2(,)N μσ，则对于任何实数ａ＞0，概率()P a X a μμ-<≤+=________即为直线,x a x a μμ=-=+与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积. 2.几个特殊结论：

()P X μσμσ-<≤+=________，(22)P X μσμσ-<≤+=————， (33)P X μσμσ-<≤+=________.

3.由于正态总体几乎总取值于区间__________之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2

(,)N μσ的随机变量X 只取_____________之间的值，并简称之为3σ原则.

二、学习引领

一、小概率事件原理

如果一个事件的发生的概率小于５％，那么这样的事件我们称为小概率事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均试验２０次，才可能发生一次．所以认为在一次试验中，该事件几乎不可能发生的．这里“几乎不可能发生”是针对一次试验说的，如对于一般人来说，发生车祸是一个小概率事件，但是对于整天开车的司机来说，这个事件发生的概率就不同了，因为司机可以看作是大量重复这些试验，使得概率值变大，从而不再是小概率事件．当然，运用小概率事件几乎不可能发生原理进行推断时，我们也有５％犯错误的可能性． 二、3σ原则

概率()P a X a μμ-<≤+对于固定的a μ和而言，该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小，X 落在区间(],a a μμ-+的概率越大，即随机变量在μ附近取值的概率很大,在离μ很远处取值很小.随机变量X 的

取值落在区间(,μσμσ-+)上的概率值约为68.3%,落在区间(2,2μσμσ-+)上的概率值约为95.4%,落在区间(3,3μσμσ-+)上的概率值约为99.7% .容易得出，它在

(3,3)μσμσ-+之外取值的概率是0.3%.就是在大量重复实验中，平均抽取1000个落在这

个区间外的零件仅有3个，我们可以认为个体在区间(3,3μσμσ-+)之外的事几乎不可能发生的。如果发生，说明这是个体不再服从正态分布，就是生产发生了异常. 三、典例导析

题型一 3σ原则的应用

例1 某砖瓦厂响应国家“建设绿色环保中国”号召，利用城市某种废弃物生产新型节能砖，

其“抗断强度”X 服从正态分布N(30，0.82

)．质检人员从该厂某天生产的1000块砖中随

机地抽查一块，测得它的抗断强度为27.5公斤／厘米2

，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格？

思路导析：要知道这批砖是否合格，只需检查抽取的砖是否在3σ的区间内.

解：由X ～N(30，0.82

)可知X 在（30-3×0.8，30+3×0.8）即（27.6，32.4）之外取值的概率只有0.0026.

而27.5∉（27.6，32.4），说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批砖不合格.

方法规律：本题是正态分布假设检验应用的一个实例，依据的准则是正态总体在区间

(3,3)μσμσ-+之外取值的概率仅有0.3%，这一小概率事件几乎不可能发生来检验个别

零件是在非正常状态下生产的．

变式训练：某厂生产的圆柱形零件的外直径X 服从正态分布2(4,0.5)N ，质检人员从该厂生产的100件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7ｃｍ，则（ ）. A ．该厂生产的这批零件合格. B ．该厂生产的这批零件不合格. C ．该厂生产的这批零件50%合格. D ．无法判断.

题型二 应用3σ原则的求值

例2 设在一次满分150分数学考试中，某班学生的分数服从2~(110,20)N ξ，这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数.

思路导析：(90150)P ξ<≤和(130150)P ξ<≤的概率值可由(90130)P ξ<≤即(1102011020)0.6826P ξ-<≤+=通过对称得到，再乘以总人数即可得到在此范围内的

人数.

解：因为2

~(110,20)N ξ，所以110,20μσ==，(1102011020)0.6826P ξ-<≤+=.

所以130ξ>的概率为

1

(10.6826)0.15872

-=. 所以130分以上的人数为540.15879⨯≈人.

90ξ≥的概率为0.6826＋0.1587＝0.8413.

所以及格的人数为540.841345⨯≈人.

归纳总结：本题充分利用在区间(,μσμσ-+)上的概率值约为68.3%，通过构造得到题中需要的概率值，从而将问题解决。注意熟练记忆3σ原则的三个概率值的结论. 变式训练：已知某地区计算机达标考试的成绩X ～N(60,82

)（单位：分），此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约多少人？

题型三 正态分布与二项分布的综合应用

例3 已知测量误差2(7.5,10)N ξ （单位：cm ），问必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 cm 的概率大于0.9？

思路分析：由于每一次测量的结果只有绝对误差超过10ｃｍ和不超过10ｃｍ两种结果，所以独立重复测量的结果服从二项分布，所以可利用二项分布的相关知识解决.

解：设η表示N 次测量中绝对误差不超过10 cm 的次数，因为η服从二项分布，即

(,)B n p η .

其中(||10)0.5586,p P η=≤=

又因为(1)1(0)1(0.4414)0.9,n P P ηη≥=-==-> 解得1

2.815.lg 0.4414

η>-

=

所以至少了三次测量才能使有一次测量的绝对误差不超过10 cm 的概率大于0.9. 规律总结：以正态分布为基础，综合二项分布的问题难度较大，处理时注意分清何时利用正态分布，何时利用二项分布.

变式训练：生产工艺工程中产品的尺寸误差X(mm)～N(0,1.52

),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5mm 为合格品，求（1）X 的概率密度函数；（2）生产的5件产品的合格率不小于80％的概率.

四、随堂练习

1.某市中考语文考试的考生分数)100,90(~N X ，则分数在70~110分的考生占总考生数的百分比是( ).

A ．31.7%

B ．68.3%

C ．95.4%

D ．99.7%

2.某厂生产的零件外直径X ～N(8.0，0.152

),单位mm ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm 和7.5mm ，则可认为（ ）. A.上、 下午生产情况均为正常. B.上、 下午生产情况均为异常.

C.上午生产情况正常，下午生产情况异常.

D.上午生产情况异常，下午生产情况正常.