总体特征数之平均数

总体特征数的估计（一）

【目标引领】 1． 学习目标：

理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性和科学性。感受统计不仅是列表，画图的低层次工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的科学。

2． 学法指导：

在初中，总体平均数(又称为总体期望值)描述了一个总体的平均水平。对很多总体来说，它的平均数不易求得，常用容易求得的样本平均数：)(1

321n x x x x n

x ++++=

-

- 对它进行估计，而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应的两个总体的平均数的大小。

【教师在线】 1． 解析视屏：

①．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小；

②．数据n 21a ,,a ,a 的平均数或均值，一般记为∑==

n

1

i i

a

n

1

a ；

③．若取值为n 21x ,,x ,x 的频率分别为n 21p ,p ,p ，则其平均数为

n n 2211p x p x p x x +++=

④．在一组数据中，平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平均水平，但有时需要去掉极端值（极大值或极小值），再去计算平均数则更能反映平均水平。

2． 经典回放：

例1：一个水库养了某种鱼10万条，从中捕捞了20条，称得它们的质量如下：(单位：KG) 1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16

计算样本平均数，并根据计算结果估计水库里所有这种鱼的总质量约是多少？

解：样本平均数为 1.1715,根据样本平均数估计水库里所有这种鱼的总质量约是1.1715100000⨯=117150KG 。

例2：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得到n a a a .......,21共几个数据，我们规定所测量的物理量的“量佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值的比较，a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从n a a a .......,21推出的a ＝ 分析：最佳近似值a 是使2

2

22

1).....()()(n a a a a a a -+-+-最小时的自变量的取值。

解：求221)........()(n a a a a y -+-=最小时自变量a 的值

n

a a a a n

+++=

(21)

点评：样本平均数与样本数据的离差最小。

例3：某校高二年级进行一次数学测试，抽取40人，算出其平均成绩为80分，为准确起见，后来又抽取50人，算出其平均成绩为83分，通过两次抽样的结果，估计这次数学测试的平均成绩。

分析：样本平均数与其中部分样本平均数之间关系要紧扣平均数的定义。 解：样本平均数=40805083

4050

⨯+⨯+=81.7,估计总体平均数即这次数学测试的平均成

绩为 81.7分。

点评：两次样本和的平均数未必等于两次样本平均数的和或两次样本平均数的平均值。

【同步训练】

1．已知10个数据：

1203 1201 1194 1200 1204 1201 1199 1204 1195 1199

它们的平均数是 ( ) A 1300 B 1200 C 1100 D 1400

2．若M 个数的平均数是X, N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是( ) A

2Y X + B N M Y X ++ C N M NY MX ++ D Y

X NY

MX ++ 3．某工厂研制A 、B 两种灯泡，为了比较这两种灯泡的平均使用寿命，从这两种灯泡中各抽10只进行的使用寿命试验，得到如下数据(单位：小时) A ．1000 1200 1650 1342 1679 999 1320 1540 1276 1342 B ．1580 1420 1320 1149 1330 1178 1440 1553 1642 1005 根据上述两个样本，能对两种灯泡的平均使用寿命作出什么样的估计？

4.被誉为“杂交水稻之父” 的中国科学院院士袁隆平，为了得到良种水稻，进行

试估计哪个品种的平均产量更高一些？

【拓展尝新】

5．如果两组数12,,

n x x x 和12,,n y y y 的样本平均数分别是x 和y ，那么一组数

1122,,n n x y x y x y +++的平均数是什么？为什么？

【解答】

1．B 2．C 3．甲种灯泡的平均使用寿命长。

4．A 品种的平均产量更高一些。 5．2

x y

+