作业1解答_867907217

3. 证明体心立方点阵的维格纳-塞茨原胞的体积确实是体心立方的原胞体积。 1 体心立方的原胞体积为晶胞体积的一半，即 a 3 ，也可以通过基矢的混合积 2 得到 V ([010] [001]) [
111 3 1 3 ] a a 。体心立方的维格纳-塞茨原胞是截角 222 2
八面体，其体积为（截前四棱锥的对角线长为 3/4a,截去部分对角线为 1/4a）
(单位：a)分别为 <100>,6,1；<110>,12,√2；<111>,8,√3；<200>,6,2；<210>,24,√5； <211>,24,√6 BCC 基本矢量包含[100],[010],[001],[111]/2。可以得到 1~6 级近邻坐标，原子 数（24/轴对称性）及距离(单位：a)分别为 <111>/2,8,√3/2；<100>,6,1；<110>,12,√2；<311>/2,24,√11/2；<111>,8,√3； <200>,6,2 FCC 基本矢量包含[100],[010],[001],[110]/2,[101]/2,[011]/2。可以得到 1~6 级 近邻坐标，原子数及距离(单位：a)分别为 <110>/2,12,√2/2； <100>,6,1； <211>/2,24,√6/2； <110>,12,√2； <310>/2,24,√10/2； <111>,8,√3 8. 计算六角密排晶体的惯用晶胞在长轴和面内的晶格常数之比 c/a。 六角密排结构的 c/a 为两倍的四面体高与边长的比，即
ˆ1 1/ 2 1/ 2 0 x ˆ e e ˆ ˆ 2 0 1/ 2 1/ 2 y ˆ3 ˆ e 1/ 2 0 1/ 2 z
ˆ1* ˆ* e x * * ˆ1 , e ˆ2 , e ˆ3 ] e ˆ2 I,[ x ˆ, y ˆ, z ˆ I ，可以得到 ˆ] y 结合倒易关系 [e * * e z ˆ3 ˆ ˆ * 1/ 2 0 1/ 2 e ˆ1* x * * ˆ 1/ 2 1/ 2 0 e ˆ y 2 * z 0 1/ 2 1/ 2 ˆ3* ˆ e
1 13 3 1 1a a 1 V 2 a a 6 a3 3 22 4 3 2 2 4 2
4. 四面体角。在金刚石结构中，其四面体键之间的角同立方体体对角线之间的 角一样，如图 10 所示，请用初等矢量分析方法求出这个角度的大小。 由于四面体角与立方体体对角线之间的角一样，因此可以得到其夹角
2a 2 c 2 6 2 3a 1.633 a a 3
9. 钠（原子量 23）具有体心立方结构，晶格常数为 a = 4.23Å，计算钠的密度？ 体心立方晶胞含有两个原子，因此可以得到钠的密度为 2 23 g 1.0g cm-3 23 3 24 6.02 10 4.23 10 cm3
于这组基矢已经满足最高对称性，不可能存在其他的矢量选择得到更高对称 性，因此得到的点阵都是简单立方点阵。 有部分人参考答案书，将点阵矢量（奇数点）表达为 R=2[nml]+[111]，认为 这是 BCC 的表达， 实际上后面的[111]是整个点阵的平移， 是原点位置的改变，
ˆx , 2e ˆy , 2e ˆz ) 而不是在体心存在等同点。因为任意两点之间的平移量只能由 (2 e
群的国际符号三个数字是表示对应主轴的对称性，比如立方系中的三个主轴 分别为<100>,<111>,<110>，那么对应的点群国际符号给出就知道相应轴的对 4 2 称性。例如 Oh 群 3 ，表示<100>轴是四次轴，且存在垂直于轴的镜反射 m m 对称；<111>轴是三重反轴；<110>是二次轴，且存在垂直轴的镜反射对称。 7. 分别求出 SC（简单立方） ，BCC（体心立方） ，FCC（面心立方）点阵的 16 层近邻原子数及距离。 由于立方系晶体具有高度对称性，可以只考虑第一卦限（包括边界）内的矢 量，这些矢量可以由卦限内的基本矢量的线性组合得到。为了方便思考，这 些基本矢量数目多于基矢数目，以保证其组合系数为正整数，同时考虑组合 方式时考虑基矢分类，以免重复。 SC 基本矢量包含[100],[010],[001]。可以得到 1~6 级近邻坐标，原子数及距离
2
2
arccos
[111] [11 1] 1 arccos 70.53 ，实际上一般选择角度为 3 3
109.47°（109°28’） 。
5. 面指数。考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数 指的是惯用立方晶胞。若采用图 11 的初基轴，这些面的指数是多少？ 11 11 1 1 选择原胞的基矢在晶胞坐标中的表示为 [ 0],[0 ],[ 0 ] ，那么可以得到 22 22 2 2 两组正空间基向量之间的转换关系
作业一
ˆ x me ˆ y le ˆ z )a 为基准，假设 n，m，l 三个整 1. 如果选定简单立方点阵 R ( ne
数全为奇数或全为偶数，这是什么点阵？这是布拉菲点阵吗？（点阵常数 a 在解答中就忽略了） 无论 n,m,l 均为奇数还是偶数时，任意两点之间的平移都可以表示为
ˆx , 2e ˆy , 2e ˆz ) 的线性组合，说明选取的点阵基矢可以表示为 (2 e ˆx , 2e ˆy , 2e ˆz ) 。由 (2 e
ˆx , e ˆy , e ˆz ) 的平移量，实际上点阵是 SC。 线性组合得到，而不存在 ( e
2. 底心立方是否为布拉菲点阵？证明所得观点。 不是布拉菲点阵。布拉菲点阵是体现出点阵最高对称性要求下的最小阵点单 元。底心立方的基本对称性满足四方晶系的要求，并不满足立方晶系的要求。 其对应的布拉菲点阵实际是简单四方。
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1 1 11 则可以得到（100）和（001）可以分别表示为 ( 0 ),(0 ) 或 (101), (011) ， 2 2 22 当然直接使用截距也很好计算， 但是上述方法可以让你们更好理解倒易关系。 6. 画出硅单晶中 T 群的所有旋转轴。 （硅单晶为金刚石结构） T 群的基本对称元素为四个三次旋转轴三个二次旋转轴。硅单晶的所有旋转 轴为<111>（三次轴）和<100>（二次轴） 。