高中函数部分知识点及典型例题分析

智立方教育高一函数知识点及典型例题

一、函数的概念与表示

1、映射

（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A→B. 注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射，多对一是映射 2、函数

构成函数概念的三要素 ①定义域;②对应法则;③值域. 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例1、

例2、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）

A 、 0个

B 、 1个

C 、 2个

D 、3个

由题意知：M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤3}，

对于图①中，在集合M 中区间（1，2]内的元素没有象，比如f （ 3 2 ）的值就不存在，所以图①不符合题意；

对于图②中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确； 对于图③中，对于M 中任意一个元素，N 中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确； 对于图④中，集合M 的一个元素对应N 中的两个元素．比如当x=1时，有两个y 值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确

x

x

x

x

1 2 1 1 1 2 2 2 1

1

1

1

2 2 2 2 y y y

y 3 O

O

O

O

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

例1、y =

函数的定义域为

根号下的数必须为正数，又当底数为大于0小于1的数时，只有当真数大于0小于1时，才能保证根号下的数为正数。所以让0<4X 的平方-3X<1，解0<4X 的平方-3X 得X<0或3/4

四．函数的奇偶性

1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数.

如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数.

2.性质：

①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系

例1.已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=， 则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .

当x ∈（０，＋∞），f(x)=-x-x^4 解：当x ∈（０，＋∞），－x ∈(-∞,0),因为当x<0时，f(x)=x-x^4,所以把－x 代入这个式子中得 f(-x)=-x-(-x)^4=-x-x^4,又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x) 于是f(x)=-x-x^4

例2、已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数.

（Ⅰ）求,a b 的值；

（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.

（Ⅰ）因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即(b-1)/(a+2)=0 ==>b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f （1）= -f （-1）知a=2 （Ⅱ）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，因f(x) 为减函数，由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．即对一切t ∈R 有：3t^2-2t-k>0 ，从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3

六．函数的周期性：

1．（定义）偶函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），则称函数f （x ）为偶函数。

奇函数：一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）＝-f （x ），那么函数f （x ）是奇函数。

2．若)()(x f a x f -=+；)

(1)(x f a x f =

+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a

例1、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

由于f(X)为奇函数,故f(-X)=-f(X),所以f(-0)=-f(0)得出f(0)=0.又f(X+2)=-f(X)故

f(6)=f(4+2)=-f(4)=-(-f(2))=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0答案:f(6)=0

例2、

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