高等数学(同济大学)课件下第10_2对坐标曲线积分

L
说明: 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 方向 • 定积分是第二类曲线积分的特例.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理: 定理 在有向光滑弧 L 上有定义且
x = ϕ (t ) t : α → β , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y = ψ (t ) 存在, 且有
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
第十章
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例 变力沿曲线所作的功. 引例: 设一质点受如下变力作用
y
L A
B
F ( x, y ) = ( P( x, y ) , Q( x, y ))
= ∫ P [ϕ (t ), ψ (t )] ϕ ′(t ) dt
α
λ →0 i =1 β
同理可证
= ∫ Q [φ (t ), ψ (t )] ψ ′(t ) d t
α
机动 目录 上页 下页 返回 结束
β
特别是, 如果 L 的方程为 y = ψ ( x), x : a → b, 则
=∫
{ P [ x, ψ ( x)] + Q [ x, ψ ( x)] ψ ′(x)}d x a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x = ϕ (t ) , t : α → β • 对有向光滑弧 L : y = ψ (t )
β
3. 计算
=∫
α
{ P [ϕ (t ), ψ (t )]ϕ ′(t ) + Q [ϕ (t ), ψ (t )]ψ ′(t )}d t
• 对有向光滑弧 L : y = ψ ( x) , x : a → b
(2) Γ 的参数方程为
=∫
AB
wk.baidu.com
yd x − xd y + zd z = ∫
机动 目录 上页
2π k 0
t dt
下页
返回
结束
例5. 求 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 Γ 的参数方程
其中
x = cos t , y = sin t , z = 2 − cos t + sin t ( t : 2π → 0 ) z + (−2 + 2 cos t − sin t ) cos t
y
B ( 1 ,1 )
2 2
(1) 抛物线 L : y = x 2 , x : 0 → 1; (3) 有向折线 L : OA + AB . 解: (1) 原式
x= y
o
= 4∫
y=x
1 3 x dx 0
A( 1, 0 ) x
= ∫ ( 2 y 2 y ⋅ 2 y + y 4 )d y (2) 原式
0
2. 性质
λ →0 k =1
n
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
=∑
(2) L－ 表示 L 的反向弧
k
i =1
∫ L i P ( x , y )d x + Q ( x , y )d y
L
= − ∫ P( x, y )d x + Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 积分弧段的方向! 积分弧段的方向
解: (1) 取L的参数方程为 则
∫L
y dx =
2
∫0
π
a 2 sin 2 t ⋅ (−a sin t )d t
3
2 4 3 = −2a ⋅ ⋅ 1 = − a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y = 0, x : a → − a, 则
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 计算 (2) 抛物线
其中L为
2 ds = 1 + y ′ d x =
dx
o
=1− x
B x
= 2x − x ,
2
∫ L P( x, y) d x + Q( x, y) d y =
2x − x2
机动
(1 − x )
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 定义
= lim ∑ [ P(ξ k , η k )∆ xk + Q(ξ k , η k ) ∆ y k ]
动过程中变力所作的功W. . 变力沿直线所作的功
在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 解决办法: “大化小” “常代变” “近似和” “取极限”
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
F
A
W = F AB cos θ
B
θ
= F ⋅ AB
1) “大化 大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿 所做的功为
∫Γ P d x + Q d y + R d z
Γ
= ∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )ds
令 A = ( P , Q , R) , d s = (d x , d y , d z )
t = (cos α , cos β , cos γ )
∫Γ A ⋅ d s = ∫Γ A ⋅ t ds
b
对空间光滑曲线弧 Γ:
x = φ (t ) y = ψ (t ) t : α → β , 类似有 z = ω (t )
=∫
{ P [ϕ (t ), ψ (t ) , ω (t )] ϕ ′(t ) α
β
ψ ′(t )
ω ′(t )
定理 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 计算 ∫
A(1, − 1) 到 B(1, 1) 的一段.
∑ [ P(ξ k , ηk )∆xk + Q(ξ k , ηk )∆ yk ] λ →0
lim
k =1
n
记作
∫L P( x, y)d x + Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
坐标的曲线积分, 第二类曲线积分 第二类曲线积分. 对坐标的曲线积分 或第二类曲线积分 其中, 坐标的曲线积分 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 被积函数 积分弧段
β
+ Q [ϕ (t ), ψ (t ) , ω (t )] ψ ′(t ) + R [ϕ (t ), ψ (t ) , ω (t )] ω ′(t )}d t
4. 两类曲线积分的联系
∫L P d x + Q d y ∫Γ P d x + Q d y + R d z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) “近似和 近似和” 近似和
W ≈ ∑ [ P(ξ k , η k )∆ xk + Q(ξ k , η k )∆ yk
k =1
n
]
4) “取极限 取极限” 取极限
W = lim ∑ [P(ξ k , ηk )∆xk + Q(ξ k , ηk )∆ yk ]
λ →0 k =1
∫L F ⋅ d s = ∫L P( x, y)d x + Q( x, y )d y
类似地, 若 Γ为空间曲线弧 , 记 d s = (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) = ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))
机动
目录
2π 0
Γ
=∫
(1 − 4 cos t ) d t = −2π
2
机动 目录
o x
上页 下页 返回
y
结束
三、两类曲线积分之间的联系
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为
dx dy 已知L切向量的方向余弦为 cos α = , cos β = ds ds 则两类曲线积分有如下联系
∫L P( x, y) d x + Q( x, y) d y
上页
下页
返回
结束
3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
∫L P( x, y)d x + Q( x, y)d y k = ∑ ∫ P( x, y )d x + Q( x, y )d y L i =1
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
= − ∫ P ( x, y )d x + Q ( x, y )d y
= ∫ {P [ x( s ), y ( s )] cos α + Q [ x( s ), y ( s )] cos β }ds
l 0
=∫
{ P( x, y ) cos α + Q( x, y ) cos β }ds L
机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似地, 在空间曲线 Γ上的两类曲线积分的联系是
x yd x
= 2∫ x
0 2
A(1,−1)
解法2 解法 取 y 为参数, 则
4 dx = 5
∴ ∫ x yd x = ∫ y y ( y )′ d y
2 2 L −1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
例2. 计算
其中 L 为
y
B −a A a x
(1) 半径为 a 圆心在原点的
o 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).
1
(3) 原式
= ∫ ( 2x ⋅ 0 + x ⋅ 0 )d x + ∫ ( 2 y ⋅ 0 + 1)d y
2 0
1
1
0
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例4. 设在力场 沿Γ移动到
作用下, 质点由 z 其中Γ为 B
试求力场对质点所作的功. 解: (1)
2π 0
A x
y
=∫
(− R 2 + k 2t ) d t
记 A 在 t 上的投影为 A t
∫Γ A ⋅ d s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 设 续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
L
=
∫ L ( P cos α + Q cos β ) ds
≤ ∫ P cos α + Q cos β ds
设 A = ( P, Q) , t = (cos α , cos β ) 二者夹角为 θ
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∫L P( x, y)d x = λlim0 k∑1 P(ξ k , ηk )∆ xk , → =
n k =1
n
称为对 x 的曲线积分;
∫L Q( x, y) d y = λlim0 ∑ Q(ξ k , ηk )∆ yk , →
称为对 y 的曲线积分.
若记 d s = (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作
λ →0 i =1
n
对应参数 τ i , 由于
∆xi = xi − xi −1 = ϕ (ti ) − ϕ (ti −1 ) = ϕ ′ (τ i′ )∆ti
= lim ∑ P [ϕ (τ i ) , ψ (τ i )] ϕ ′(τ i′ )∆ti
λ →0 i =1
n
因为L 为光滑弧 ,
= lim ∑ P [ϕ (τ i ) , ψ (τ i )]ϕ ′(τ i )∆ti
=∫
{ P [ϕ (t ), ψ (t )]ϕ ′(t ) + Q [φ (t ), ψ (t )]ψ ′(t )}d t α
= ∫ P [ϕ (t ), ψ (t )] ϕ ′(t )dt
α
机动 目录 上页 下页 返回 结束
β
证明: 证明 下面先证
β
根据定义 设分点 xi 对应参数 ti ,
n
= lim ∑ P(ξ i , ηi )∆ xi
解法1 解法 取 x 为参数, 则 L : AO + OB
L
x yd x , 其中L 为沿抛物线 y 2 = x 从点
y
B ( 1,1 )
y= x
AO : y = − x , x : 1 → 0 OB : y = x ,
∴ ∫ x yd x = ∫
L AO
x : 0 →1
OB
o
y=− x
1 3
x
x yd x + ∫
n
则
k =1
y
F (ξ k , ηk )
W = ∑ ∆Wk
2) “常代变 常代变” 常代变 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L
M x−1 ∆k k
My k ∆k
B
A
x
则有
∆Wk ≈ F (ξ k , ηk ) ⋅ M k −1M k = P(ξ k , η k )∆ xk + Q(ξ k , η k )∆ yk
n
(其中λ 为 n 个小弧段的 最大长度)
y
F (ξ k , ηk )
L A
Mx k−1 ∆k
My k ∆k
B
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
有向光滑 2. 定义 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 定义. 弧, 在L 上定义了一个向量函数 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
= ∫ A ⋅ t ds = ∫ A cos θ ds
L L
说明: 说明 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.将积分 . 分, 其中L 沿上半圆周 解： y = 2 x − x , d y =
2
化为对弧长的积
1− x 2x − x 1
2x − x
2
2
dx y
= ∫ { P [ x, ψ ( x)] + Q [ x, ψ ( x)]ψ ′(x)}d x
b a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
• 对空间有向光滑弧Γ :
x = φ (t ) y = ψ (t ) , t : α → β z = ω (t )
=∫
{ P [ϕ (t ), ψ (t ) , ω (t )] ϕ ′(t ) α