第二章 传递函数

此结果错误
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四、非线性微分方程线性化
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入
第二章 系统的数学模型
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx Dx 2 f ( x) f ( x0 ) dx x 2! dx 2 0 x0
1 d3 f 3! dx 3 D x 3 LL
A 例1： L[ A] S
例2： L[ A(1 e
t
1 1 ) )] A( s s
22
第二章 系统的数学模型
2.实数域的位移定理（延迟性）
设：L[ f (t )] F ( s)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] e
st0
F ( s)
23
例1： 1
式中： xo t ——系统输出 ;
xi t ——系统输入
3
第二章 系统的数学模型
2．根据系统微分方程对系统进行分类
1）线性系统：方程只包含变量 xo t 、xi t 的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数 2）非线性系统： 方程中含有 xo t 、 xi t 各阶导数的其它函数形式
1 st
1
j
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二、典型时间函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数
f (t ) (t ) 1
st 0
第二章 系统的数学模型
F (S )

0
f (t )e st dt
t 0
0
L[ (t )] (t )e dt
1 st e dt e s
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第二章 系统的数学模型
2．非线性系统输出 z(t) 是两个变量 x 和 y 的函数，即 z=f(x, y)
1）确定工作点 P(x 0, y 0, z 0)
f f Dx Dy L x x 0 , y0 y x 0 , y0 f f Dx Dy x x 0 , y0 y x 0 , y0 f f Dx Dy x x 0 , y0 y x 0 , y0
c1
b
c2
u2(t)
1 u2 i2 dt C2
消去中间变量i 1、i 2
R1C1R2C2u2 t R1C1 R2C2 R1C2 u2 t u2 t u1 t
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若分开考虑：
R1 u1(t) i1(t) C1 u1'(t) u'1(t)
考虑非线性情况下，系统微分方程列写步骤 ：
1．分析系统工作原理，确定描述系统的变量，分 析相互关系 2．从系统输入端开始依次列写微分方程，注意负 载效应 3．非线性微分方程线性化 4．写成标准微分方程形式
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第二章 系统的数学模型
拉普拉斯变换Laplace
拉普拉斯变换
拉氏变换是控制工程中的一个基本数 学方法，其优点是能将时间函数的导 数经拉氏变换后，变成复变量S的乘 积，将时间表示的微分方程，变成以 S表示的代数方程。
输入、u2为输出的运动方程 解：由 KVL 有： di u1 Ri L u2 dt
du2 iC dt 1 u2 idt C
R L i(t)
C
u1(t)
u2(t)
消去中间变量i ：
du2 d 2 u2 u1 RC LC 2 u2 dt dt
写成微分方程标准形式：
d 2 u2 du2 LC 2 RC u2 u1 dt dt
第二章 系统的数学模型
=1
st L[ ( t )] 0 ( t ) e dt (t )dt 0

0
4.单位斜坡函数
f t t
1 2 f t t 2
t0
t0
5.单位抛物线函数
1 F s L f t s2
1 F s L f t s3
Xi1(t)
第二章 系统的数学模型
A
X01(t)
Xi1(t)→X01(t)
Xi2(t) Xi1(t)
A
A
X02(t) X01(t)
Xi2(t)→X02(t)
Xi2(t)
aXi1(t)+bXi2(t)→aX01(t)+bX02(t)
X02(t)
意义：对于线性系统，各个输入产生的输出是互
不影响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上 而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的 输出，然后，把这些输出叠加起来，则可求得总的 输出。
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三、负载效应
第二章 系统的数学模型
两个或两个以上环节（或子系统）组成一个系统时， 若其中一环节的存在使另一环节在相同输入下的输出 受到影响，此影响称负载效应。其实质是物理环节之 间的信息反馈作用。 例：由两极串联的 RC 电路组成的滤波网络，试写出以 u1(t)为输入，u2(t)为输出的系统微分方程。
n
21
第二章 系统的数学模型
三、拉氏变换的重要性质
1.线性性质
L f1 t F1 s L f2 t F2 s
K1 ， K 2 为常数，则
L K1 f1 t K 2 f 2 t K1 F1 s K 2 F2 s
2
第二章 系统的数学模型
§2-1 系统的微分方程
一、线性定常系统及叠加原理
1．系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式：
an xo
n
t an 1 xo
n 1
t a0 xo t bm xi
m
t bm 1xi
m 1
t b0 xi t
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第二章 系统的数学模型
例1： 质量——弹簧——阻尼系统
y(t) k c m
f(t)
图2-1
m y ( t ) C y ( t ) Ky ( t ) f ( t ) . . y (0 ) y 0 y (0 ) y 0
8
..
.
第二章 系统的数学模型
例2： L、C、R 组成的电路如图，列出以u1为
st

0
1 s
2.指数函数
f (t ) e at (t )

L[e ]
at
0
1 ( s a )t e e e dt sa
at st

0
1 sa
L[e
j t
1 ] s j
L[e
jt
1 ] s j
20
3.单位脉冲函数
f (t ) (t )
R1 i1(t) R2
u1(t)
i2(t)
c1
c2
u2(t)
图2-3
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第二章 系统的数学模型
解：把两个RC电路当作整体来考虑
1 u1 R1i1 i1 i2 dt C1
u1(t) 1 i1 i2 dt R2i2 u2 C1 R1 i1(t) a R2 i2(t)
6
二、微分方程的列写步骤
第二章 系统的数学模型
1．分析系统的工作原理，找出输入、输出及中间变 量的关系 2．从系统输入端开始，依次列写出各元件（环节）的 运动方程 力学——牛顿定律 电学——基尔霍夫定律 3．将各运动方程构成微分方程，消去中间变量， 并化成标准形式（输出量和输入量的各导数项按 降阶排列）
6.正弦函数和余弦函数
f t sin t
f t cos t
t0
t0
F s L sin t 2 s 2
s F s L cos t 2 s 2
7.幂函数 f t t n
t0
n! F s L t n 1 s
f(t)
f (t ) (t ) (t T )
T t
第二章 系统的数学模型
1 1 sT F ( s) e s s
f ( t ) t[ ( t ) ( t T )]
例2： T
f(t)
T
f ( t ) t ( t ) ( t T ) ( t T ) T ( t T )
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2）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项
Z f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )
DZ f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )
Dz K X Dx K y Dy ， z K X x K y y
2
第二章 系统的数学模型
f(t) —F(s)的原函数； F(s) —f(t)的Laplace变换（或称为象函数）
18
第二章 系统的数学模型
2.拉氏反变换的定义
已知 L f t F s ，欲求原函数 f t 时，
则称为拉氏反变换，记为 L1 F s
f t L F s 2 j j F s e ds
1
第二章 系统的数学模型
1．微分方程：时域——求解困难
2．传递函数：复域——求解方便，便于 直接在复域中研究系统的动态特性 3. 动态结构图（传递函数方框图）
ຫໍສະໝຸດ Baidu各章节内容
§2-1 系统的微分方程 补充内容 拉普拉斯变换
§2-2 传递函数 §2-3 典型环节的传递函数
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
第二章 系统的数学模型
R2 i2(t) C2 u2(t)
R1i1
1 i1 dt u1 C1
R2 i 2
u2
1 i 2 dt u1 ' C2
u1 '
1 i1 dt C1
1 i 2 dt C2
消去中间变量i 1、i 2、u 1’：
R1C1 R2C2u2 t R1C1 R2C2 u2 t u2 t u1 t
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第二章 系统的数学模型
例
bx(t) cx(t) dy(t) ax(t)
，其中,a,b,c,d均为常数。
线性定常系统
b(t)x(t) c(t)x(t) d(t)y(t) a(t)x(t)
线性时变系统
y(t) x (t)
2
非线性系统
5
3．线性系统满足叠加原理
1 1 sT T sT F ( s) 2 2 e e s s s
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第二章 系统的数学模型
3.复数域的位移定理（位移性）
at ，则 L f t F s L e f t F s a
或
at L1 F s a e f t
例1：L[te
t
1 ] ( s )2
例2：L[e sint ] ( s )2 2 s t 例3：L[e cost ] ( s )2 2
t
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第二章 系统的数学模型
4.微分定理
L f t F s ，则 L f t sF s f 0
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第二章 系统的数学模型
一、拉氏变换和拉氏反变换的定义
1.拉氏变换的定义 函数
f t
st t 0 f t e 在 时有定义，且积分 dt 在 0
s的某一域内收敛，则积分所确定的函数可写为
F s f t e dt
st 0

s = + j
F s 称为函数 f t 的拉氏变换，记为 L f t F s
x0
df f ( x0 ) Dx dx x 0
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第二章 系统的数学模型
\ f ( x) f ( x0 )
令K df dx x 0
df Dx dx x 0
即 Dy
df Dx dx x 0
P ( x0, y0 ) 点曲线的斜率 则 Dy K Dx 增量方程 若令 x=Δx, y=Δy 若 y = K x——线性化方程（增量方程）
第二章 系统的数学模型
第二章 系统的数学模型
主要内容：控制系统的数学模型
1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化 2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数 3. 系统传递函数方块图及简化 4. 相似原理
控制理论的研究对象是系统、输入、输出三者之
间的动态关系，描述系统这种动态关系的是系统的数 学模型，古典控制理论内系统的数学模型有三种