北方民族大学数学与应用数学复变函数试题及答案

二．判断题（每题3分，共30分）

1．n z z z f =)(在0=z 解读。【 】

2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解读。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】

4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数

∑∞

=0

n n

c

收敛，而

||0

∑∞

=n n

c

发散，则∑∞

=0

n n n z c 的收敛半径为1。【 】

6． 1tan()z

能在圆环域)0(||0+∞<<<

z n z =成立。【 】

8．如果函数)(z f =ω在0z 解读，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。【 】 9．如果u 是D 内的调和函数,则y

u i x u f ∂∂-∂∂=

是D 内的解读函数。【 】10．

21

22

3

3||||2

2

1

1

12|2(1)

1z z z z dz dz i i z z z z ππ==

=

=

==--⎰

⎰

。【 】

三．（8分）y e v px

sin =为调和函数，求p 的值，并求出解读函数iv u z f +=)(。

四．（8分） 求())

2)(1(--=

z z z

z f 在圆环域21<

五．（8分）计算积分

dx x x x

⎰

∞+∞

-++5

4cos 22

。 六．（8分）设⎰

-++=

C

d z

z f ξξξξ1

73)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。

七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)

1.3

ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 2

3z ；4. 0 ；5. 0 ；6.e 1 ；7.3

22)

1(2

6+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()

2(1

)2(1[

21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三(8分) 解: 1)在2||1<

11000111111

()()(()())()21222n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞

+====-=--=-+--∑∑∑-----4分

2) 在1|2|z <-<∞

2

111111

()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)

2

n n n f z z z z z z z z ∞

+==+=+=+---+----+-∑--4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故

]2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz

ix +-++=++⎰∞

+∞-π --------3分

)2sin 2(cos 54))2((lim 222i e z z e i z i iz i z -=+++--=+-→π

π --------6分

故 2cos 254Re 254cos 222e

dx x x e dx x x x ix π

=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分 五.(8分) 解: 22

371

()()C

f z d z ξξξξ++'=-⎰ -------3分 由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故

i C

i d i i f +='++=+-++=+'⎰122

2|)173(2))1((1

73)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到

λ

λ

π

π

θ

--=z

a z

a

i e e

e z

f )( (映射不唯一,写出任何一个都算对)

七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:

1

3

)(3))0()(()0()0()(`2+=

--+'--s s Y y s sY y sy s Y s 代入初始条件,得3

21

13)(2-+++=s s s s Y --------4分

)1)(3(1

)1)(3)(1(3-++-++=s s s s s 3

81185143

++-++-

=s s s

故, t

t t e e e t y 38

18543)(--++-

= ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)

一.填空(各3分)1.3

ln 2i k e

+-π ；2. 三级极点 ；3. 2

3z ； 4. 0 ；5. 0 ；6.

e

1

；7.1cos 1sin - ；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

二.判断1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。 三.(8分) 解:因为y e v px sin =是调和函数,则有

02

222=∂∂+∂∂y

v x v ,即 0sin )1(sin sin 22=-=-y e p y e y e p px

px px 故1±=p ---------2分 1) 当 1=p 时, y e v x sin =, 由C-R 方程, y e y v x u x cos =∂∂=∂∂, 则)(cos ),(y g y e y x u x +=, 又由 y e x

v

y g y e y u x x sin )(sin -=∂∂-='+-=∂∂，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。 则 c e z f z +=)( ----------3分 2) 当 1-=p 时, y e v x sin -=, 由C-R 方程, y e y v x u x cos --=∂∂=∂∂, 则)(cos ),(y g y e y x u x +-=-, 又由 y e x v

y g y e y u x x sin )(sin =∂∂-='+=∂∂-，故 0)(='y g , 所以c y g =)( 。 则 c e z f z +-=-)(

四(8分) 解: 1)在2||1<

11000111111

()()(()())()21222

n n n n n n n n z z f z z z z z z z z +∞∞∞

+====-=--=-+--∑∑∑-----4分

2) 在1|2|z <-<∞

2

0)2(1)1(21)

)

211)(2(1

1(21)1211(21)(+∞

=--+-=-+-+-=+-+-=∑n n n

z z z z z z z z f -------4分

五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有

一个一级极点 -2+i, 故

]2,54[Re 25422i z z e s i dx x x e iz

ix +-++=++⎰∞

+∞-π --------3分

)2sin 2(cos 54))2((lim 222i e z z e i z i iz i z -=+++--=+-→π

π --------6分

故 2cos 254Re 254cos 222e

dx x x e dx x x x ix π

=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分