债券的久期和凸性
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14
债券的久期
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。
证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券
证明：对于任意的息票率k，持有期为n的债券价格为
pn
n1
t1
C (1y)t
C (1y)n
F (1y)n
n1
t1
Fk (1y)t
(1Fyk)n
(1Fy)n
持有n+1期的债券，有
p n 1 n t 1 1(1 F y k )t (1 F y k )n (1 F y k )n 1 (1 F y )n 1
y
N y (1 (1 y)N
y) N 1
D 1 p [(1 y)] p y
1 N(y c) (1 y) 1 y c[(1 y)N 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当 N→∞，久期为1+1/y
13
债券的久期
对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期 的债券，其久期计算公式为
/
T t1
Ct (1 y)t
]
[ 1C1
(1 y)
2C2 (1 y)2
,...,
TCT (1 y)T
]/
T t1
Ct (1 y)t
[ T C1 TC2
... TCT
T
]/
Ct
T
(1 y) (1 y)2
(1 y)T t1 (1 y)t
所以，D＜T
11
债券的久期
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。
证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
pkN 1(1cy)k
1 (1y)N
cy[1(11y)N](11y)N
两边取对数得到
1
c
y
y[c(1y)N(1y)N]
lnpln{c[1(1 1 y)N](1 yy)N}lny
12
债券的久期
ln p 1 p y p y
1 y
cN(1
y)N1 (1 y)N c[1 (1 y)N ]
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占 总现值的比例
5
债券的久期
久期：现金流现值翘翘板的支点
现 金 流
时间
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流 发生时间加权平均的结果！
6
债券的久期
一、久期的性质
久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投 资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下
在收益率微小变动下，债券回报率的标准差（风险）为 收益率的D*倍。D *越大债券风险越大。
8
债券的久期
债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关， 故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨 债券风险的特征。
9
债券的久期
定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
4
债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
T
D t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
PVn
Fk (1i)n
F (1i)n
PVn,n1 (1Fik)n (1Fi)kn1 (1Fi)n1
17
债券的久期
PVn,n2
F k (1 i)n
F k (1 i)n1
F k (1 i)n2
F (1 i)n2
PVn,n1
PVn
F k (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
Βιβλιοθήκη Baidu
(1
Ct y
)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 10 (1 y)
20 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
10
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期 时间。
D
T t1
t
[(1Cty)t
15
债券的久期
当0yk时，有1k1，则 1y
(1Fyk)n1(1Fy)n1(1Fy)n11ky(1Fy)n
由此可见， 当 yk时 ， pn1pn
同理可证， 当 yk时 ， pn1pn
即 - p n 1 /P n 1 p n /P n d p n 1 /P n 1 d p n /P n
3
债券的久期
设债券的价格p满足P
T t 1
Ct (1 y)t
,则有
dP
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P ( T
tCt
)/ P
1
T
(
tCt
T
/
Ct )
dy
t1 (1 y)t1
1 y t1 (1 y)t t1 (1 y)t
D D* 1 y
债券的久期与凸性
1
主要内容
债券的久期 债券的凸性 债券组合的久期与凸性
2
债券的久期
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响： 债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。 债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动 带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
由 修 正 久 期 的 定 义 dP/PD *得 到 dy
r dPD*dy P
7
债券的久期
则债券回报率的方差为
Var(r)Var(dP)D *2Var(dy) P
则债券回报率的风险（标准差）为
rV a r (r )V a r (d P P )D * 2 V a r (d y ) D *V a r (d y )
y
y
d y
d y
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
16
债券的久期
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。 即债券价格的波动幅度随着期限的增加而增加，但增
加的速度递减：n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之 间的差异
证明：分别观察n期、n+1期和n＋2期的债券最后1、2期和3期现金流的现值， 其中
D11ycN [((1yyc))N(1 1]yy)
若该债券以面值出售
D1y[1 1 ] y (1y)N
例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面 值发行，求该债券的久期
D 1 0 .0 0 .5 0 5 [ 1 ( 1 0 1 .0 5 ) 6 0 ]1 9 .8 7 5 8 ( 半 年 ) 9 .9 3 7 9 年
债券的久期
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。
证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券
证明：对于任意的息票率k，持有期为n的债券价格为
pn
n1
t1
C (1y)t
C (1y)n
F (1y)n
n1
t1
Fk (1y)t
(1Fyk)n
(1Fy)n
持有n+1期的债券，有
p n 1 n t 1 1(1 F y k )t (1 F y k )n (1 F y k )n 1 (1 F y )n 1
y
N y (1 (1 y)N
y) N 1
D 1 p [(1 y)] p y
1 N(y c) (1 y) 1 y c[(1 y)N 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当 N→∞，久期为1+1/y
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债券的久期
对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期 的债券，其久期计算公式为
/
T t1
Ct (1 y)t
]
[ 1C1
(1 y)
2C2 (1 y)2
,...,
TCT (1 y)T
]/
T t1
Ct (1 y)t
[ T C1 TC2
... TCT
T
]/
Ct
T
(1 y) (1 y)2
(1 y)T t1 (1 y)t
所以，D＜T
11
债券的久期
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。
证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
pkN 1(1cy)k
1 (1y)N
cy[1(11y)N](11y)N
两边取对数得到
1
c
y
y[c(1y)N(1y)N]
lnpln{c[1(1 1 y)N](1 yy)N}lny
12
债券的久期
ln p 1 p y p y
1 y
cN(1
y)N1 (1 y)N c[1 (1 y)N ]
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占 总现值的比例
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债券的久期
久期：现金流现值翘翘板的支点
现 金 流
时间
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流 发生时间加权平均的结果！
6
债券的久期
一、久期的性质
久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投 资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下
在收益率微小变动下，债券回报率的标准差（风险）为 收益率的D*倍。D *越大债券风险越大。
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债券的久期
债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关， 故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨 债券风险的特征。
9
债券的久期
定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
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债券的久期
dP/ P D D* dy 1 y
T
D t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
其中，wt为t时期的权重
T
t wt
t1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
PVn
Fk (1i)n
F (1i)n
PVn,n1 (1Fik)n (1Fi)kn1 (1Fi)n1
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债券的久期
PVn,n2
F k (1 i)n
F k (1 i)n1
F k (1 i)n2
F (1 i)n2
PVn,n1
PVn
F k (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
D
1 p
T t 1
tct (1 y)t
T t 1
t
[
Βιβλιοθήκη Baidu
(1
Ct y
)t
/
T t 1
(1
Ct y
)t
]
[ 10 (1 y)
20 (1 y)2
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
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债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期 时间。
D
T t1
t
[(1Cty)t
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债券的久期
当0yk时，有1k1，则 1y
(1Fyk)n1(1Fy)n1(1Fy)n11ky(1Fy)n
由此可见， 当 yk时 ， pn1pn
同理可证， 当 yk时 ， pn1pn
即 - p n 1 /P n 1 p n /P n d p n 1 /P n 1 d p n /P n
3
债券的久期
设债券的价格p满足P
T t 1
Ct (1 y)t
,则有
dP
dy
T t 1
tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P ( T
tCt
)/ P
1
T
(
tCt
T
/
Ct )
dy
t1 (1 y)t1
1 y t1 (1 y)t t1 (1 y)t
D D* 1 y
债券的久期与凸性
1
主要内容
债券的久期 债券的凸性 债券组合的久期与凸性
2
债券的久期
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响： 债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。 债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动 带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
由 修 正 久 期 的 定 义 dP/PD *得 到 dy
r dPD*dy P
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债券的久期
则债券回报率的方差为
Var(r)Var(dP)D *2Var(dy) P
则债券回报率的风险（标准差）为
rV a r (r )V a r (d P P )D * 2 V a r (d y ) D *V a r (d y )
y
y
d y
d y
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
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债券的久期
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。 即债券价格的波动幅度随着期限的增加而增加，但增
加的速度递减：n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之 间的差异
证明：分别观察n期、n+1期和n＋2期的债券最后1、2期和3期现金流的现值， 其中
D11ycN [((1yyc))N(1 1]yy)
若该债券以面值出售
D1y[1 1 ] y (1y)N
例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面 值发行，求该债券的久期
D 1 0 .0 0 .5 0 5 [ 1 ( 1 0 1 .0 5 ) 6 0 ]1 9 .8 7 5 8 ( 半 年 ) 9 .9 3 7 9 年