第三章 固体中的扩散分解
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x
3-1 扩散第一定律和第二定律
在体积元(Adx)内
积存速率 = 流入速率 - 流出速率
(JA) dx x
J1A
J2A=J1A+
(JA) dx x
扩散物质的积存速率也可用小体积元中扩散物质的浓
度随时间的变化率表示： C A dx t
3-1 扩散第一定律和第二定律
体积元内扩散物质质量的积存速率：
物质的浓度不随时间而变化。
3-1 扩散第一定律和第二定律
1. 扩散第一方程与经典力学的方程一样，是被大量实验所证 实的公理，是扩散理论的基础。
2. 浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描 述原子扩散能力的基本物理量。扩散系数并非常数，而与 很多因素有关，但是与浓度梯度无关。
3. 在扩散第一定律中没有给出扩散与时间的关系，故此扩散
d 2C
d 2
x
2
d 2C
d 2
1 4Dt
3-1 扩散第一定律和第二定律
代入扩散第二定律表达式，有：
dC 2t d
D
d 2C
d 2
1 4 Dt
d 2C
d 2
2
dC
d
0
上述方程的解为： C A exp( 2 )d B 0
由误差函数定义： erf ( ) 2 exp( 2 )d
0
3-1 扩散第一定律和第二定律
扩散第二定律的误差函数解的通解为：
C( x, t) Aerf( ) B
式中A和B是待定常数。
注意： erf(0) 0
erf() 1
erf( ) erf( )
3-1 扩散第一定律和第二定律
（二）两端成分不受扩散影响的扩散偶
边界条件：t 0 初始条件：t = 0
x
x
，则C ，则C
C1 C2
x
x
0， 则C 0， 则C
C1 C2
3-1 扩散第一定律和第二定律
两端成分不受扩散影响的扩散偶的特解为：
C( x, t) C1 C2 C1 C2 erf ( x )
2
2
2 Dt
扩散偶的成分变化
3-1 扩散第一定律和第二定律
（三）一端成分不受扩散影响的扩散体（渗碳问题）
(二) 数学表达式
在垂直于物质迁移的方向x上，选
取一个横截面积为A、长度为dx的小体
积元。假设流入及流出该体积元的扩散
扩散通过小体积元的情况
物质的通量分别为J1和J2。
扩散物质的流入速率 J1 A
扩散物质的流出速率
J2
A
J1
A
(J x
A)
dx
3-1 扩散第一定律和第二定律
扩散物质流入的量 流出的量 = 积存的量 扩散物质流入速率 流出速率 = 积存速率 扩散物质的积存速率 J A dx
第一定律适合于描述dC/dt=0的稳态扩散，即在扩散过程中
系统各处的浓度不随时间变化。 4. 扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原
子的扩散。
3-1 扩散第一定律和第二定律
（三）局限性 第一定律只能解决稳态扩散—扩散过程中合金内部各 处的浓度和浓度梯度不随时间改变（dC/dt＝0）
C1 C2
2. 误差函数解
适用条件： 无限长棒或半无限长棒的扩散问题。
3. 正弦解
适用条件： 铸造合金中显微偏析的均匀化退火问题。
3-1 扩散第一定律和第二定律
三、扩散方程的解及其应用
（一）扩散方程的解的表达式
设中间变量 x
2 Dt
C t
D
2C x 2
C dC dC t d t 2t d
2C x2
CAdx C A dx
t
t
(JA) dx x
C (D C ) t x x
C J t x J D dC
dx
3-1 扩散第一定律和第二定律
若D与浓度无关，则：
C (D C ) t x x
C t
D
2C x 2
3-1 扩散第一定律和第二定律
1. 高斯解
适用条件： 1. 扩散过程中扩散元素质量保持不变； 2. 扩散开始时扩散元素集中在表面，好像一层薄膜。
绝大多数扩散过程是非稳态扩散，各处浓度梯度随扩 散时间不断发生变化，这种情况下第一定律就不能应 用了。
3-1 扩散第一定律和第二定律
二、扩散第二定律（菲克第二定律） （一）适用条件
大多数扩散过程都是非稳态扩散过程，即扩散物质 的浓度随时间而变化。对于这类扩散问题，需要用扩散 第二定律来描述。
3-1 扩散第一定律和第二定律
3-1 扩散第一定律和第二定律
2r1
2r1
l
Βιβλιοθήκη Baidu1000C [C]
2r2
平视方向
l>>r
2r2
俯视方向
3-1 扩散第一定律和第二定律
碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡时，则为稳态扩散 单位面积单位时间的碳流量：
J=q/（At）=q/（2πrLt）
A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：时间t内通过圆筒的碳量 则 J=q/（At）=q/（2πrLt）=-D（dC/dx）
Cs
Cs
C0
Cs
Cs 0
边界条件：t 0
x ，则C C0 x 0，则C Cs
初始条件：t = 0 x 0，则C C0
3-1 扩散第一定律和第二定律
向含碳量为C0的钢中渗碳问题的特解为：
C( x, t) C 0 1 erf ( x )
Cs C0
2 Dt
向纯铁（C0=0）中渗碳问题的特解为：
3-1 扩散第一定律和第二定律
一、扩散第一定律（菲克第一定律）
dC
dx
(一) 数学表达式
J D dC
J
dx
x
J 为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x的单位截面积 的扩散物质的质量，其单位为kg /m2·s
D 为扩散系数，其单位为m2/s
X 为沿扩散方向的距离，其单位为m
C 是扩散物质的浓度，其单位为kg/m3。
= -D（ dC/dr） 即 -D= [q/（2πrLt）]×1/ （ dC/dr）
= [q（dlnr）]/[（ 2πLt ） dC] q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含
量，作出C-lnr曲线可求得D。
3-1 扩散第一定律和第二定律
（二）适用条件 扩散第一定律所描述的是一种稳态扩散，即扩散
第三章 固体中的扩散
概述
物质的传输方式
气体 扩散+对流
金属
固体 扩散
离共 子价 键键
陶瓷
液体 扩散+对流
高分子
扩散机制不同
概述
物质中原子（或离子、分子）的迁移现象称为扩散。 扩散是固体中物质传递的唯一方式。 扩散与固体材料中发生的许多变化过程密切相关，如 合金的凝固、铸件的成分均匀化、变形金属的回复和 再结晶、陶瓷的烧结、材料的固态相变以及各种表面 处理等。
C( x, t) Cs[1 erf ( 2
3-1 扩散第一定律和第二定律
在体积元(Adx)内
积存速率 = 流入速率 - 流出速率
(JA) dx x
J1A
J2A=J1A+
(JA) dx x
扩散物质的积存速率也可用小体积元中扩散物质的浓
度随时间的变化率表示： C A dx t
3-1 扩散第一定律和第二定律
体积元内扩散物质质量的积存速率：
物质的浓度不随时间而变化。
3-1 扩散第一定律和第二定律
1. 扩散第一方程与经典力学的方程一样，是被大量实验所证 实的公理，是扩散理论的基础。
2. 浓度梯度一定时，扩散仅取决于扩散系数，扩散系数是描 述原子扩散能力的基本物理量。扩散系数并非常数，而与 很多因素有关，但是与浓度梯度无关。
3. 在扩散第一定律中没有给出扩散与时间的关系，故此扩散
d 2C
d 2
x
2
d 2C
d 2
1 4Dt
3-1 扩散第一定律和第二定律
代入扩散第二定律表达式，有：
dC 2t d
D
d 2C
d 2
1 4 Dt
d 2C
d 2
2
dC
d
0
上述方程的解为： C A exp( 2 )d B 0
由误差函数定义： erf ( ) 2 exp( 2 )d
0
3-1 扩散第一定律和第二定律
扩散第二定律的误差函数解的通解为：
C( x, t) Aerf( ) B
式中A和B是待定常数。
注意： erf(0) 0
erf() 1
erf( ) erf( )
3-1 扩散第一定律和第二定律
（二）两端成分不受扩散影响的扩散偶
边界条件：t 0 初始条件：t = 0
x
x
，则C ，则C
C1 C2
x
x
0， 则C 0， 则C
C1 C2
3-1 扩散第一定律和第二定律
两端成分不受扩散影响的扩散偶的特解为：
C( x, t) C1 C2 C1 C2 erf ( x )
2
2
2 Dt
扩散偶的成分变化
3-1 扩散第一定律和第二定律
（三）一端成分不受扩散影响的扩散体（渗碳问题）
(二) 数学表达式
在垂直于物质迁移的方向x上，选
取一个横截面积为A、长度为dx的小体
积元。假设流入及流出该体积元的扩散
扩散通过小体积元的情况
物质的通量分别为J1和J2。
扩散物质的流入速率 J1 A
扩散物质的流出速率
J2
A
J1
A
(J x
A)
dx
3-1 扩散第一定律和第二定律
扩散物质流入的量 流出的量 = 积存的量 扩散物质流入速率 流出速率 = 积存速率 扩散物质的积存速率 J A dx
第一定律适合于描述dC/dt=0的稳态扩散，即在扩散过程中
系统各处的浓度不随时间变化。 4. 扩散第一定律不仅适合于固体，也适合于液体和气体中原
子的扩散。
3-1 扩散第一定律和第二定律
（三）局限性 第一定律只能解决稳态扩散—扩散过程中合金内部各 处的浓度和浓度梯度不随时间改变（dC/dt＝0）
C1 C2
2. 误差函数解
适用条件： 无限长棒或半无限长棒的扩散问题。
3. 正弦解
适用条件： 铸造合金中显微偏析的均匀化退火问题。
3-1 扩散第一定律和第二定律
三、扩散方程的解及其应用
（一）扩散方程的解的表达式
设中间变量 x
2 Dt
C t
D
2C x 2
C dC dC t d t 2t d
2C x2
CAdx C A dx
t
t
(JA) dx x
C (D C ) t x x
C J t x J D dC
dx
3-1 扩散第一定律和第二定律
若D与浓度无关，则：
C (D C ) t x x
C t
D
2C x 2
3-1 扩散第一定律和第二定律
1. 高斯解
适用条件： 1. 扩散过程中扩散元素质量保持不变； 2. 扩散开始时扩散元素集中在表面，好像一层薄膜。
绝大多数扩散过程是非稳态扩散，各处浓度梯度随扩 散时间不断发生变化，这种情况下第一定律就不能应 用了。
3-1 扩散第一定律和第二定律
二、扩散第二定律（菲克第二定律） （一）适用条件
大多数扩散过程都是非稳态扩散过程，即扩散物质 的浓度随时间而变化。对于这类扩散问题，需要用扩散 第二定律来描述。
3-1 扩散第一定律和第二定律
3-1 扩散第一定律和第二定律
2r1
2r1
l
Βιβλιοθήκη Baidu1000C [C]
2r2
平视方向
l>>r
2r2
俯视方向
3-1 扩散第一定律和第二定律
碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡时，则为稳态扩散 单位面积单位时间的碳流量：
J=q/（At）=q/（2πrLt）
A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：时间t内通过圆筒的碳量 则 J=q/（At）=q/（2πrLt）=-D（dC/dx）
Cs
Cs
C0
Cs
Cs 0
边界条件：t 0
x ，则C C0 x 0，则C Cs
初始条件：t = 0 x 0，则C C0
3-1 扩散第一定律和第二定律
向含碳量为C0的钢中渗碳问题的特解为：
C( x, t) C 0 1 erf ( x )
Cs C0
2 Dt
向纯铁（C0=0）中渗碳问题的特解为：
3-1 扩散第一定律和第二定律
一、扩散第一定律（菲克第一定律）
dC
dx
(一) 数学表达式
J D dC
J
dx
x
J 为扩散通量，表示单位时间内通过垂直于扩散方向x的单位截面积 的扩散物质的质量，其单位为kg /m2·s
D 为扩散系数，其单位为m2/s
X 为沿扩散方向的距离，其单位为m
C 是扩散物质的浓度，其单位为kg/m3。
= -D（ dC/dr） 即 -D= [q/（2πrLt）]×1/ （ dC/dr）
= [q（dlnr）]/[（ 2πLt ） dC] q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含
量，作出C-lnr曲线可求得D。
3-1 扩散第一定律和第二定律
（二）适用条件 扩散第一定律所描述的是一种稳态扩散，即扩散
第三章 固体中的扩散
概述
物质的传输方式
气体 扩散+对流
金属
固体 扩散
离共 子价 键键
陶瓷
液体 扩散+对流
高分子
扩散机制不同
概述
物质中原子（或离子、分子）的迁移现象称为扩散。 扩散是固体中物质传递的唯一方式。 扩散与固体材料中发生的许多变化过程密切相关，如 合金的凝固、铸件的成分均匀化、变形金属的回复和 再结晶、陶瓷的烧结、材料的固态相变以及各种表面 处理等。
C( x, t) Cs[1 erf ( 2