数学卷·2020届河南省洛阳市高一上学期期中考试(带答案)

洛阳市2017-2018学年第一学期期中考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}1,0,1{},13|{-=<<-=B x x A ，则=⋂B A （ ）
A ．}1,0,1,2{--
B ．}0,1,2{--
C ．}1,0,1{-
D ．}0,1{- 2.已知2
4)12(x x f =+，则=-)3(f （ ）
A ．36
B ．16
C ．4
D ．16- 3.下列函数，既有偶函数，又是),0(+∞上的减函数的是（ ） A ．x
y 1=
B ．x e y -=
C ．12
+-=x y D ．||lg x y = 4.已知集合}012|{2
=-+∈=x ax R x M ，若M 中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．1- C ．0或1- D ．0或1 5.函数)3(log 2)(22
++-=
x x
x x f 的定义域是（ ） A ．)2,3(- B ．)2,3[- C ．]2,3(- D ．]2,3[- 6.方程3log 3=+x x 的解为0x ，若N n n n x ∈+∈),1,(0，则=n （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
7.若函数52)(2
+-=ax x x f 在区间),1[+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．]2,(-∞ B ．),2[+∞ C ．),4[+∞ D ．]4,(-∞
8.已知⎩
⎨
⎧≥<-+=-1,21
),2(log 1)(1
2x x x x f x ，则)2()2(f f +-的值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
9.函数|
|2)(x x x f x
⋅=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知a y
x
==32，则
21
1=+y
x ，则a 值为（ ） A ．36 B ．6 C ．62 D ．6 11.已知3
1523425,4,2===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．a c b <<
D ．b a c << 12.若对于任意]1,(--∞∈x ，都有12)13(<-x
m 成立，则m 的范围是（ ） A ．)31,(-∞ B ．]3
1,(-∞ C ．)1,(--∞ D ．]1,(--∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知幂函数)(x f 的图象过点)2,4(，则=)8
1(f ．
14.已知函数)32(log 1)(-+=x x f a （0>a 且0≠a ）恒过定点),(n m ，则
=+n m ．
15.计算=+÷-+-2
log 12177
100)25lg 4
1(lg ． 16.已知)(x f 是R 上的奇函数，当时0>x ，2
4)(x x x f -=.若)(x f 在区间],4[t -上的值域为]4,4[-，则实数t 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设全集R U =，集合})2
1
(2|{},42|{827
3--≥=<≤=x x x B x x A . （1）求B A C B A U ⋂⋃)(,；
（2）若集合}02|{>+=a x x C ，且C C B =⋃，求a 的取值范围.
18.如图所示，定义域为]2,(-∞上的函数)(x f y =是由一条射线及抛物线的一部分组成.利用该图提供的信息解决下面几个问题.
（1）求)(x f 的解析式；
（2）若x 关于的方程a x f =)(有三个不同解，求a 的取值范围； （3）若8
9
)(=
x f ，求x 的取值集合. 19.设函数R x a x x x f ∈+--=,3||2)(2
.
（1）王鹏同学认为，无论a 取何值，)(x f 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由；
（2）若)(x f 是偶函数，求a 的值；
（3）在（2）的情况下，画出)(x f y =的图象并指出其单独递增区间. 20.某工厂今年前三个月生产某种产品的数量统计表格如下： 月份 1月 2月 3月
数量（万件）
1
2.1
3.1
为了估测以后每个月的产量，以这三个月产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量
y 与月份x 的关系.模拟函数可选择二次函数r qx px y ++=2（r q p ,,为常数，且0≠p ）
或函数c ab y x
+=（c b a ,,为常数）.已知4月份该产品的产量为37.1万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
21.已知函数1)(2++=
x b ax x f 是)1,1(-上的奇函数，且5
2
)21(=f . （1）求)(x f 的解析式；
（2）判断)(x f 的单调性，并加以证明；
（3）若实数t 满足0)()1(>+-t f t f ，求t 的取值范围.
22.对于函数)(x f ，若存在一个实数a 使得)()(x a f x a f -=+，我们就称)(x f y =关于
直线a x =对称.已知)(2)(11
2-+-++-=x x e e
m x x x f . （1）证明)(x f 关于1=x 对称，并据此求：
)10
19
()1012()1011()1()109()102()101(f f f f f f f ----++++ΛΛ的值； （2）若)(x f 只有一个零点，求m 的值.
试卷答案
一、选择题
1-5:DBCCA 6-10:CDBBD 11、12：AC
二、填空题
13.
4
2
14. 3 15. 6- 16. 2222+≤≤t 三、解答题
17.解：（1）由827
3)2
1
(2
--≥x x 得x x 2873-≥- 3≥∴x ，从而}3|{≥=x x B
}2|{}3|{}42|{≥=≥⋃<≤=⋃∴x x x x x x B A }4|{}3|{}42|{)(≥=≥⋂≥<=⋂x x x x x x x B A C U
（2）化简得}2
|{a x x C ->=
C B C C B ⊆∴=⋃,Θ
从而32
<-
a
，解得6->a .
18.解：（1）由图知当0≤x 时，)(x f 为一次函数，且过点)2,0(和)0,2(- 设)0()(≠+=k m kx x f ，则有
2)(21
022+=∴⎩
⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=x x f m k m k m 当]2,0(∈x 时，)(x f 是二次函数，且过点)3,0(),0,2(),0,1( 故设)0()(2
≠++=a c bx ax x f ，则有
32923)(32923302402+-=∴⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++=++x x x f c b a c c b a c b a
综上，⎪⎩⎪
⎨⎧≤<+-≤+=20,3292
30,2)(2x x x x x x f .
（2）08
3
≤<-a
（3）当0≤x 时，89)(=x f 可化为87
892-=∴=+x x
当]2,0(∈x 时，89)(=x f 可化为8
9329232=+-x x 整理得051242
=+-x x
21=∴x 或2
5
=x （舍去）
综上所述满足41)(=x f 的x 的取值集合是}2
1
,87{-.
19.解：（1）我同意王鹏同学的看法，理由如下
3||4)(,3)(22+-=-+=a a a f a a f
若)(x f 为奇函数，则有0)()(=-+a f a f
03||22=+-∴a a
显然03||22
=+-a a 无解，所以)(x f 不可能是奇函数 （2）若)(x f 为偶函数，则有)()(a f a f -=
0||2=∴a 从而0=a ，
此时3
|
|2
)
(2+
-
=x
x
x
f，是偶函数.
（3）由（2）知3
|
|2
)
(2+
-
=x
x
x
f，其图象如图所示
其单调递增区间是)0,1
(-和)
,1(+∞.
20.设c
ab
x
g
y
r
qx
px
x
f
y x+
=
=
+
+
=
=)
(
,
)
(
2
2
1
，根据已知有
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
=
+
+
3.1
3
9
2.1
2
4
1
r
q
p
r
q
p
r
q
p
和
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
=
+
=
+
3.1
2.1
1
3
2
c
ab
c
ab
c
ab
解得
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
-
=
7.0
35
.0
05
.0
r
q
p
和
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
-
=
4.1
5.0
8.0
c
b
a
所以4.1
5.0
8.0
)
(
,7.0
35
.0
05
.0
)
(2+
⨯
-
=
+
+
-
=x
x
g
x
x
x
f
所以35
.1
)4(
,3.1
)4(=
=g
f
显然)4(g更接近于37
.1，故选用4.1
5.0
8.0+
⨯
-
=x
y作为模拟函数更好.
21.解：（1）由已知得
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
5
2
1
4
1
2
1
5
2
)
2
1
(
)0(b
a
b
f
f
解得
⎩
⎨
⎧
=
=
1
b
a
)1,1(,1
)(2-∈+=
∴x x x
x f （2）任取)1,1(,21-∈x x ，且则21x x >，则
1
1)()(2
22
21121+-+=
-x x x x x f x f )
1)(1()
1()1(2
22
12
122
21+++-+=x x x x x x )
1)(1()1)(()1)(1(2
221212122212
12
122
21++--=
++-+-=x x x x x x x x x x x x x x
01)1,1(,2121>-∴-∈x x x x Θ，又21x x > 0)()(21>-∴x f x f ，从而)()(21x f x f >
即)(x f 在)1,1(-上递增.
（3）0)()1(>+-t f t f 可化为)()1(t f t f >-
⎪⎩
⎪
⎨⎧->-<<-<-<-∴t t t t 111111 12121
1120<<⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
><<-<<⇒t t t t .
22.解：（1）)(2)(11
2
-+-++-=x x e e
m x x x f Θ
)()1(2)1()1(111)1(2-+++-+++++=+∴x x e e m x x x f )(12x x e e m x ++-=-
)()1(2)1()1(111)1(2--+--++-+-=-x x e e m x x x f )(12x x e e m x -++-=
从而有)1()1(x f x f -=+，即)(x f 关于1=x 对称
那么)1011()109(,)1018()102(),1019()101(
f f f f f f ===Λ )10
19()1011()1010()109()102()101(f f f f f f ---++++∴ΛΛ
12)1(-==m f
（2）由（1）知)(x f y =关于1=x 对称，且)(x f 只有一个零点， 则这个零点一点就是1=x
0)1(=∴f ，即2
1
012=
∴=-m m 当2
1=m 时，221
212
)(21)1()(-+-++-=x x e e
x x f 1=x 时，1,0)(≠=x x f 时，0)(>x f
故2
1
=m 时，只有一个零点，符合题意.。