最新用向量法解解析几何题
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分析：因为O为AB的中点，所以 故可利用向量把问题转化为求向量 的最值。
解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：
又由中点公式得
所以
=
=
=
又因为 点P在圆(xຫໍສະໝຸດ Baidu3)2+(y-4)2=4上,
所以 且
所以
即 故
所以 的最大值为100，最小值为20。
例3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
平面向量与解析几何
例1、椭圆 的焦点为F F ，点P为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解：F1（－ ,0）F2（ ,0）,设P（3cos ,2sin ）
为钝角
∴
=9cos2 －5＋4sin2 =5 cos2 －1<0
解得： ∴点P横坐标的取值范围是（ ）
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求 的最大值和最小值。
（2）求出角平分线的方向向量
（3）由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（ ），其方向向量为 ，其方程为 }
例4、已知常数 ，向量 ，经过原点 以 为方向向量的直线与经过定点 以 为方向向量的直线相交于点 ，其中 ．试问：是否存在两个定点 ，使得 为定值，若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由．
（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵ ， ∴ =（λ，a）， =（1，－2λa）.
广西沿海高速公路改扩建一期工程No.F1标段项目
交通组织专项施工方案
编制：
复核：
审核：
中冶天工集团有限公司
广西沿海高速公路改扩建一期工程
No.F1标段项目部
2016年4月17日
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线PQ的方程；
（3）设 （ ），过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 .
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 .
由已知得 解得
所以椭圆的方程为 ，离心率 .
（2）解：由（1）可得A（3，0）.
设直线PQ的方程为 .由方程组
得
依题意 ，得 .
设 ，则 ， ① . ②
因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .
消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .
整理得 ……① 因为 所以得：
（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；
（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.
例5．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点F（c，0）（ ）的准线 与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
分析：因为 同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知 是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又 ，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；
（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量 ；
由直线PQ的方程得 .于是
. ③
∵ ，∴ . ④
由①②③④得 ，从而 .
所以直线PQ的方程为 或
（2）证明： .由已知得方程组
注意 ，解得
因 ，故
.
而 ，所以 .
三、总结提炼
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。
解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：
又由中点公式得
所以
=
=
=
又因为 点P在圆(xຫໍສະໝຸດ Baidu3)2+(y-4)2=4上,
所以 且
所以
即 故
所以 的最大值为100，最小值为20。
例3、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
平面向量与解析几何
例1、椭圆 的焦点为F F ，点P为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解：F1（－ ,0）F2（ ,0）,设P（3cos ,2sin ）
为钝角
∴
=9cos2 －5＋4sin2 =5 cos2 －1<0
解得： ∴点P横坐标的取值范围是（ ）
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求 的最大值和最小值。
（2）求出角平分线的方向向量
（3）由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（ ），其方向向量为 ，其方程为 }
例4、已知常数 ，向量 ，经过原点 以 为方向向量的直线与经过定点 以 为方向向量的直线相交于点 ，其中 ．试问：是否存在两个定点 ，使得 为定值，若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由．
（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵ ， ∴ =（λ，a）， =（1，－2λa）.
广西沿海高速公路改扩建一期工程No.F1标段项目
交通组织专项施工方案
编制：
复核：
审核：
中冶天工集团有限公司
广西沿海高速公路改扩建一期工程
No.F1标段项目部
2016年4月17日
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若 ，求直线PQ的方程；
（3）设 （ ），过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 .
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 .
由已知得 解得
所以椭圆的方程为 ，离心率 .
（2）解：由（1）可得A（3，0）.
设直线PQ的方程为 .由方程组
得
依题意 ，得 .
设 ，则 ， ① . ②
因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .
消去参数λ，得点 的坐标满足方程 .
整理得 ……① 因为 所以得：
（i）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当 时，方程①表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点；
（iii）当 时，方程①也表示椭圆，焦点 和 为合乎题意的两个定点.
例5．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于焦点F（c，0）（ ）的准线 与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
分析：因为 同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知 是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又 ，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；
（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量 ；
由直线PQ的方程得 .于是
. ③
∵ ，∴ . ④
由①②③④得 ，从而 .
所以直线PQ的方程为 或
（2）证明： .由已知得方程组
注意 ，解得
因 ，故
.
而 ，所以 .
三、总结提炼
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。