微分几何第二章曲面论第三节复习

k cos
的
切平 0，
面.
曲线(C )是曲面(S)的渐近曲线.
定理 曲面(S)上的曲线(C)是渐近曲线 或者(C)是直线
或 者 它 在 每 一 点 的 密 切平 面 与( S )的 切 平 面 重 合.
注 平面上每一条曲线都是平面的渐近曲线. 定义 曲面(S)上两族渐近曲线构成的曲线网
称 为 曲 面( S )的 渐 近 曲 线 网(简 称 渐 近 网). 注 只含椭圆点的曲面上无，渐近曲线也，无渐近曲线网
代入渐近网的方程得：L N 0. “”若L N 0，则渐近网方程变为2：Mdudv 0.
M 0，dudv 0. 即渐近网是曲纹坐标网 .
2.共轭方向
定义 若曲面(S)在P点的两个方向(d )和( )是
( S )在P点的 杜邦 指标 线的 共轭方向 ，
x
y
r
2z x 2
2，s
2z xy
0，t
2z y 2
4.
I (1 p2 )dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2
(1 4x2 )dx2 16xydxdy (1 16 y2 )dy2 .
II
r
dx2
2s
dxdy
t
dy 2
1 p2 q2
1 p2 q2
1 p2 q2
xru
yrv ,
( xru ru2
yrv
)2
x2
2ru
1 kn rv xy
I II rv2 y2
I II
即Ex2 2Fxy Gy2 Edu2 2Fdudv Gdv2 Ldu2 2Mdudv Ndv2
PN //(d ) // rudu rvdv, du : dv x : y, 上式化为：
只含抛物点的曲面上只有一组渐近曲线， 也无渐近曲线网； 只含平点的曲面上由，于L N M 0，
曲面上的任何曲线网都是渐近曲线网.
命题3 曲纹坐标网是渐近网 L N 0. 证: 渐近网的方程为：Ldu2 2Mdudv Ndv2 0.
曲纹坐标网的方程为：dudv 0. 即du 0或dv 0. “”若曲纹坐标网是渐近网，则du 0或dv 0.
第二章
曲面论
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
3.1 曲面的第二基本形式
(2)
kn
II I
Ldu2 2Mdudv Ndv 2 ， Edu2 2Fdudv Gdv 2
du : dv是渐近方向 kn 0. 定义 曲面上的曲线如 ，果它上面每一点的切方向都是
渐 近 方 向 ，则 称 为 渐 近 曲 线.
渐近曲线的方程为：Ldu2 2Mdudv Ndv2 0. 命题1如 果曲 面上 有 直线,则 它一 定是 曲 面的 渐 近曲 线. 证: 直线k 0,
其 中R是 曲 线(C )的 曲 率 半 径 ，
Rn是 法 截 线(C0 )的 曲 率 半 径 ， 称为法曲率半径.
定理 (梅尼埃定理)
法截线
曲 面 曲 线(C )在 给 定 点P的
曲 率 中 心C就 是 与 曲 线(C ) 具 有 共 同 切 线 的 法 截 线(C0 )
S(曲线的渐近方向.
椭圆型 曲线的分类：抛物型
没有实渐近方向 I2 0; 只有一个实渐近方向 I2
0;
2. 中心
双曲型 有两个实渐近方向 I2 0.
定义：如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点
那么点C叫做二次曲线的中心.
求法：FF21((
x, x,
y) y)
a11 a12
x x
a12 a22
2
dx2
4
dy 2
1 4x2 8y2
1 4x2 8y2
II
2dx2 4dy2
kn (0,0) I (0,0) dx 2 dy2 .
例4 在球面上验证梅尼埃定理. 证：
(C )C . P n
(C0 )
3.3 杜邦(Dupin)指标线
kn
II I
Ldu2 2Mdudv Ndv 2 Edu2 2Fdudv Gdv 2
Ldu2 2Mdudv Ndv2 0. 渐近方向方程 注 (1) 渐近方向的个数
若LN M 2 0，即椭圆点，有两个虚渐近方向.
若LN M 2 0，即双曲点， 有两个实渐近方向. 若LN M 2 0，即抛物点， 有一个实渐近方向. 若L N M 0，即平点，任何方向都是渐近方向.
EG F 2
(3) L ru nu , M ru nv rv nu , N rv nv .
(4) II dn dr
(5) 若曲面(S) : z f ( x, y).
II
r
dx2
2s
dxdy
1 p2 q2
1 p2 q2
t
dy 2
1 p2 q2
其 中p
f ，q x
5. 主直径与主方向 定义：二次曲线的垂直于其共轭弦的直径 叫做二次曲线的主直径， 主直径的方向与垂直于主直径的方向 都叫做二次曲线的主方向．
1.曲面的渐近方向
定义 曲 面(S)在 点P的 杜 邦 指标 线 的 渐 近 方向
叫 做 曲 面(S)在 点P的 渐 近 方 向.
杜邦指标线的方程为L：x2 2Mxy Ny2 1 曲面(S)在点P的方向du : dv是渐近方向
：
k0
II I
,法截 线向n的正 侧弯曲时 取正号, 反之取负号.
kn
II I
, 设 曲 面 上 的 曲 线(C )和 法 截 线(C0 )相 切 于 点P,
k cos II , 其中k为曲线(C )在P点的曲率.
I
所以
kn k cos
梅尼埃定理
若 令R
1 k
, Rn
1 kn
，则
R Rn cos
只含双曲点的曲面上由，于LN M 2 0， 经过每一点有两条渐近曲线， 即渐近曲线方程Ldu2 2Mdudv Ndv2 0有两组解： A1du B1dv 0，A2du B2dv 0，它们构成渐近曲线网 只含抛物点的曲面上由，于LN M 2 0， Ldu2 2Mdudv Ndv2 0可化为( Adu Bdv)2 0,
y y
a13 a23
0 0
中心方程组
(1)中心曲线 曲线的分类：
I2
a11 a12
a12 0， a22
(2)非中心曲线
I2
a11 a12
a12 0， a22
(i)无心曲线 a11 a12 a13 .
a12 a22 a23
(ii)线心曲线
a11 a12
a12 a22
a13 a23
.
3. 直径 定义：二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的直径，
L M
M LN M 2 0时， L M 0 ,
N
MN0
杜 邦 指 标 线 为 两 条 平 行直 线.
曲面上点的分类
（1）如果LN M 2 0，则称点P为曲面的椭圆点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 为 一椭 圆.
（2）如果LN M 2 0，则称点P为曲面的双曲点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 为 一对 共 轭 双 曲 线.
也叫做共轭于平行弦方向的直径. 4. 共轭方向 定义：二次曲线共轭于非渐近方向 X :Y的直径的
方向X :Y ,叫做非渐近方向X :Y的共轭方向.
求法：a11XX a12( XY XY ) a22YY 0
中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是
非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向．
f ，r y
2 f x 2
，s
2 f ，t xy
2 f y 2
.
3.2 曲面上曲线的曲率
P.
P.
1.曲面上曲线的曲率
由
伏雷内
公式
，r
k ,
其则中rkn为曲k线(nC)在k cPo点s的, 曲率.
又
n r
d 2r n ds2
n
d
2
r
ds2
II I
.
(S) : r r(u,v)
. P(C
注 第二基本形式的几何意义：II 2 .但不是正定的.
计算公式：
(1)用定义计算：L
ruu
n,
M
ruv n,
N
rvv n
(2) L (ruu , ru , rv ) , M (ruv , ru , rv ) , N (rvv , ru , rv ) .
EG F 2
EG F 2
形状
Lx2 2Mxy Ny2 1
(1)若L M N 0，杜邦指标线不存在.
(2)若L, M , N不全为零，
当I 2
L M
M LN M 2 0时，杜邦指标线为椭圆. N
当I 2
L M
M N
LN M 2
0时，
I3
0，
杜 邦 指 标 线 为 一 对 共 轭的 双 曲 线.
当I 2
)
u r
u(s),v v(s) r[u(s),v(s)]
r
n
k cos
II I
Ldu2 2Mdudv Ndv 2 Edu2 2Fdudv Gdv 2
2.法截线、法曲率
法截线
法截线
0
S
0
P
n .
(C
0)
(d
)
du
:
dv
S
P. (C0 )
n
(d ) du : dv
法截面
法截面
设 法 截 线(C0 )在 点P的 曲 率 为k0 , 主法向量为0,
Ex2 2Fxy Gy2 Ex2 2Fxy Gy2 Lx2 2Mxy Ny2
Lx2 2Mxy Ny2 1
Lx2 2Mxy Ny2 1
注 (1) 杜邦指标线的方程与n的选取无关. (2) 杜邦指标线的方程一般表示以P为中心的有心二次曲线. (3) 杜邦指标线是在切平面上的一条曲线.
则0
n,
0
(
0
,
n)
0或 ,
k0
II I
,
即k0
II I
,
法 法
截 截
线 线
向 向nn的 的 负 正
侧弯 侧弯
曲时 曲时
取正 取负
号, 号.
定义
(法曲率)曲
kn
k0 k0
面 在 给 定 点 沿 一 方 向的 法 法 截 线 向n的 正 侧 弯 曲 法 截 线 向n的 负 侧 弯 曲
曲
率kn为
则 沿 曲 线(C )有kn 0,
由kn k cos 0得 k 0或cos 0,
曲 线不(是, n直) 线 ，,即k
2
0,
故 cos 0,
n,
又
n,
n//,
(C )在每一点的密切平面为(S)在该点的切平面.
“则”若(Cn,)在每一(点,的n)密
切 平 面 为( S
2
,
从
而kn
)在 该 点
随着方向du : dv的变化而变化.
rv
P.
N(x, y)
(d ) ru
(S)
定义 在P点沿切方向(d ) du : dv上取一点N，
使 PN
1 kn (kn 0), 随切方向(d )改变，
N点的轨迹称 为 曲 面(S )在P点 的 杜 邦 指 标 线.
方程
在
标
架{
P
;
ru
,
rv
}下
，PN
上 同 一 点P的 曲 率 中 心C0在 曲 线(C )的 密 切 平 面 上 的 投 影.
(C ) n C C0 密切平面
即 kn k cos
法截面
梅尼埃定理
R Rn cos
例3 求 曲 面z x2 2 y2在 点(0,0)沿 方 向dx : dy的 法 曲 率.
解： p z 2x，q z 4 y，
定义 关于du, dv的二次微分形式Ldu2 2Mdudv Ndv2
称为曲面的第二基本形式. 用II表 示.
即 II n rds2 n d 2r Ldu2 2Mdudv Ndv2
其中
L ruu n, M ruv n, N rvv n
称 为 曲 面 的 第 二 类 基 本量.
（3） 如 果LN M 2 0， 但L, N , M不 全为 零 ， 则称点P为曲面的抛物点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 为 一对 平 行 直 线.
（4）如果L N M 0，则称点P为曲面的平点. 此 时 ， 杜 邦 指 标 线 不 存在.
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
复习
二次曲线 F(x, y) a11x2 2a12xy a22 y2 2a13x 2a23 y a33 0 1. 渐近方向 定义：满足( X ,Y ) a11X 2 2a12XY a22Y 2 0的方向X :Y
沿 直 线方 向 的 法曲 率kn k cos 0, 即Ldu2 2Mdudv Ndv2 0，
直 线 是 曲 面 的 渐 近 曲 线.
注 直纹面上的直母线一定是直纹面的渐近曲线.
命题2曲 面( S )上 异 于 直 线 的 曲 线(C )是 渐 近 曲 线
(C)在每一点的密切平面为(S)在该点的切平面. 证: “”若曲线(C)是曲面(S)的渐近曲线，