(完整版)函数单调性与凸性的判别法

x
由 f ( x) 0，可知 f ( x) f ( ).
故
f
(x) x
f ( ) f ( )
因为 f ( x) 是上升函数，所以 f ( x) f ( ), x f ( x) 0.
说明 f ( x) 在 (a,b) 的子区间 ( , ) 上恒为 0。矛盾！ f ( x) 严格上升。
例1. 证明当x 1时，有 x ln(1 x) x， 1 x
f ( x) f (0), 即 x ln(1 x). 当 1 x 0 时, f ( x) 0，f ( x) 在 (1,0) 内严格单调 下降，也有：
f ( x) f (0), 即 x ln(1 x).
现证明左端不等式：当 x 0 时，0 x 1
1 x
1 x 0 x ln(1 x ) ln 1 ln(1 x)
证明： f ( x) 在上二次可导，故由Langrange 定理，
x [0,a], (0, x)，使得
f ( x) f (0) f ( )
x 另一方面
f
(x) x
xf ( x) x2
f
(x)
xf ( x) [
f (x) x2
f (0)]
xf ( x) xf x2
( )
f ( x) f ( )
证明： ""设 f ( x) 在 [a,b] 上严格上升，由th.1知，10 成立。
假设 ( , ) (a,b)，有 f ( x) 0,则
f (x) C
这表明 f ( x) 不是严格单调上升函数，与条件矛盾。
""由10 知, f ( x) 在 (a,b)内上升。现用反证法证明 严格上升。
假设 f ( x) 不严格上升，那么( , ) [a,b]， 且 ，但
等号成立当且仅当 x 0；
证明：当 x 0 时，显然等号成立。只须证 1 x 0 与 x 0
不等号成立。
先证右端不等式。考虑函数
f ( x) x ln(1 x)，f (0) 0
f ( x) 1 1 x 1 x 1 x
x 0 时，f ( x) 0 ，f ( x) 在 (0,) 上严格单调上升， 于是有：
x1 x2，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) 或 f ( x1 ) f ( x2 )
则称 f ( x) 在 (a,b) 内单调递增或单调递减。
定理1 设 f ( x) C[a,b]，且 f ( x) D(a,b)，则
1). f ( x) 在[a,b] 上升 f ( x) 0； 2). f ( x) 在[a,b] 下降 f ( x) 0。
2!
n!
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
(0 1)
§4 函数单调性与凸性的判别法
❖ 函数单调性判别法 ❖ 函数的凸性及其判别法
一. 函数单调性的判别法
y
y f (x) B
y y f (x) A
定义
A
oa
bx
f ( x) 0
B
o
x
f ( x) 0
a
b
设函数 y f ( x) 在 (a,b) 内有定义，x1，x2 (a,b)，
f
( x0 ) ( 2!
x
x0 )2
பைடு நூலகம்
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中 Rn( x)
f (n1)( )
( (n 1)!
x
x0
)n1 (
介于 x 与 x0 之间)
带Lagrange余项的Maclaurin公式：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
证明：10. "" f ( x) 在 [a,b] 上升， x (a,b)，由
f ( x x) f ( x) 0, x x (a,b) x
得 lim f ( x x) f ( x) 0（极限的保号性）
x0
x
f ( x) 0.
"" x1, x2 (a,b)，在 [ x1, x2 ] 上用 Lagrange 定理
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ), ( x1, x2 )
则 f ( x1) f ( x2 )，在 [a,b] 上是上升的。
20. "" 若 f ( x) 在 [a,b] 上是下降的，则 f ( x) 是 上升的，由 10 知， f ( x) 0 即 f ( x) 0； 反之若 f ( x) 0，则 f ( x) 0，由10 知， f ( x) 在 [a,b] 上升。 所以 f ( x) 在 [a,b] 下降。
特别地，当 x0 0 时，有：
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn o( xn )
2!
n!
带 Peano 余项的 Maclaurin 公式。
2. 带Lagrange余项的Taylor公式：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
1 x
1 x
1 x 1 x
即 x ln(1 x) 1 x
当 1 x 0 时， x 0，同样有： 1 x
x ln(1 x ) x ln(1 x) x.
1 x
1 x
1 x
例2. 设 f ( x) 在 [0,a] 上二次可导，且 f (0) 0, f ( x) 0，
证明 f ( x) 在 [0,a] 上单调减少； x
说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
x
y
y x3
o
x
定理2 f ( x) 在 [a,b] 上严格单调上升或下降
1). f ( x) 0 或 f ( x) 0； 2). f ( x) 不在 (a,b) 的任意子区间内恒为0。
Taylor 公式
1. 局部Taylor展开式：
若函数 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数，则有：
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n Rn( x)
其中 Rn( x) o(( x x0 )n )( x x0 ) 称为 Peano余项。