矩阵理论2014-2015

2014‐2015学年度上学期《矩阵理论》期末试题

一. 选择题:

1. n 2 阶实奇异矩阵A的特征多项式与最小多项式相等,则A的伴随矩阵列空间的维数为( )

A. 0

B. 1

C. n

D. 不能确定

2. 设 是n维线性空间上的线性变换,适合下列条件的与其它三个不同的是( )

A. σ是单映射

B. dim Im σ n

C. σ是一一对应

D. σ适合条件σ 0

3. 设A是实的反对称矩阵, 则下列命题正确的是( )

A. e 是实的反对称矩阵

B. e 是正交矩阵

C. cos A是实的反对称矩阵

D. sin A是实的对称矩阵

4. 设方阵A幂收敛到方阵B, 则下列说法

① |B| 0 ②B是幂等矩阵

③ AB BA B ④r A r B

正确的有( )个

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

11⋯1 ,n 2, B I xx ,其中I为单位5. 设n维向量x

√

矩阵,则下列选项正确的是( )

A. ‖B‖ 1

B. ‖B‖ 1

C. ‖B‖ 1

D. ‖B‖ 1

二. 填空题:

1.设e e e e 0e

,则A . 2.设n 阶方阵A 的最小多项式为λ λ λ ⋯ λ λ , 其中n k 2,λ ,λ ,…,λ 全不为0, 则 dim R A = ;

3. 设A 1

100

01001 ,矩阵 sinA 的Jordan 标准形J .

4. 矩阵A 111

122123

，A 的Cholesky 分解A LL ，下三角矩阵

L .

5. 设给定矩阵A 2012 ，B 102 1

, 矩阵空间R 上线性变换T 为: T X kX AXB , ∀X ∈R . T 是可逆变换当且仅当参数k 满足条件 .

三. 设V 是有限维欧氏空间, u ∈V 是一个单位向量, V 上线性变换σ定义为: 对任意x ∈V , σ x x a x,u u .

(1) 试求非0实数a,使得σ是V 上正交变换.

(2) 多项式空间R x 中的内积定义如下: 对任意f x ,g x ∈R x , f x ,g x f x g x dx

. 试求R x 中向量α 1和β x 的长度; 并求正实数k 和单位向量u ∈R x , 使得上述正交变换σ将向量α变成kβ.

四. 设A 0010 11 1011 111 1 21 1110

(1)求矩阵A的一个满秩分解LR,使得L的第一列为矩阵A的最后一列, 并给出A的列空间R A 的一组基;

(2)求A的左零化空间N A 的一组基;

(3)设b 1

1

1

1

, 求向量b在线性空间R A 上的最佳近似.

(4)设σ是线性空间R 上的正交投影变换,且满足σ的像空间Im σ R A ,试求σ在标准基e ,e ,e ,e 下的矩阵.

五. 设矩阵A 1 22 12 1 1 12

.

(1)求矩阵A的Jordan标准形J;

(2)试求一个可对角化矩阵D和一个幂零矩阵N,且DN ND, 使得

A D N.

(3)计算e ;

(4)设x 0 123 . 求定解问题x t Ax t 的解.

六. 设σ是由线性空间R 到线性空间R 上的线性变换, 其中m n.

(1)试证: 存在R 到R 上的幂等变换τ,及R 到R 上的单变换φ,使得σ φ∙τ

(2)令m 2,n 4, 线性变换σ为:σ x,y x,y,2x, y . 试求R 上一组标准正交基,及R 上一组标准正交基, 使得线性变换σ在这

两组基下的矩阵为对角线元素均非负的4 2矩阵.

七. 证明变换tr:X→tr X 是线性空间M R 到R的满足性质: σ XY

σ YX 及σ I n的唯一的线性变换.