空间向量距离的计算

A ? ?O
?
∴ PO ∥ n .
∴ cos ∠ APO=|cos ?PA , n ? |.
∴d=| PA ||cos ?PA , n? |= | PA |?| n | ?| cos?PA , n? | = | PA ?n | .
|n|
|n|
这个结论说明，平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点 （常选特殊点）的向量在平面的法向量上的投影的绝对值
平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平 面的距离。
作业：
P50
A组2，3
? ⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ? ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接
向量的坐标；
? ⑷ 代入公式求出距离.
练习1:
如图 , ABCD 是矩形 , PD? 平面 ABCD , PD? DC? a, AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点 ,求点 A 到平面 MNC 的距离 .
一、求点到平面的距离
如图 A? ? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d,已知平面 ? 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥? 于 O,连结 OA.
?P
n
则 d=| PO |= | PA | ?cos ? APO .
∵ PO ⊥ ? , n ? ? ,
例1、已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥
平面ABCD，GC=2,E、F分别是AB、AD的
中点，求点B到平面GEF的距离。
z
G
xD F
A
E
C B y
例:1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点， GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 B 到
平面 EFG 的距离 .
n?
EF，n ?
EG?
?2x ? 2y ? 0 ???2x ? 4y ? 2z ? 0
F A
? 取n ? (1,1, 3) ,BE ? (2,0,0)
E
C
B
y
?
d ? | n ?BE| ? 2
11 .?
点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
n
11
11
? 求点到平面的距离的步骤：
? ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个 不共线向量的坐标；
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)， E(2,4,0)，F(4,2,0) ，G(0,0,2) ．
EF ? (2, ? 2,0), EG ? (?2, ? 4, 2), x D
设平面EFG的一个法向量为n ? (x, y,z)
x
B
∴可取 n ? ( 2,1, ? 1)
∴ d ? MA ?n ? a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n
2
2
二、求直线与平面的距离
例2、已知正方形 ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线 BD到平面
GEF的距离。
z
G
?
d ? | n ?BE| ?
n
D A
C B
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EzFDB的距离。
AB ?n d?
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
怎样利用向量求距离？
点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在 平面法向量上投影的绝对值。 直线到平面的距离：转化为点到平面的距离。
z
MA ? (
2 a,0,0)
2
22
P
2
设 n ? ( x , y, z) 为平面 MNC 的一个法向量 , ∴ n ? MN , n ? MC
∴ n ?MC ? ? 2 ax ? ay ? 0 且 2
N D
C
y
n ?MN ? a y ? a z ? 0
M
22
解得 2 x ? y ? ? z ,
A
2
P
N
D
C
M
A
B
解：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M、N分别是 AD、PB的中点,∴ M ( 2 a ,0,0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
2
2 22
∴ MC ? (? 2 a, a,0) , MN ? (0, 1 a, 1 a) ,
空间距离的计算
学习目标：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间 的距离； 2．能用向量方法解决点面、线面、面面的 距离的计算问题，体会向量方法在研究几 何问题中的作用； 3. 探究题型，总结解法步骤。
复习回顾：
1.我们所学距离有哪几种？
2.已知，A(1,2,0),B(0,1,1),C(1,1,2) 试求平面ABC的一个法向量.
2
11 .
n
11
xD
C
F
A
E
B
y
练习2:
正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，求AC与平
面DA1C1的距离
DABaidu Nhomakorabea?n
D1 A1
B1
C1 d ?
n
D A
C B
三、求平面与平面间距离
例3、正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
求平面A1DC1与平面AB1C的距离
D1 A1
C1
DA ?n
B1
d?