5.2一元线性回归中的假设检验和预测

§5.2 一元线性回归中的假设检验和预测一元线性回归中的假设检验（1）假设检验的必要性①上一节推导出的回归系数的最小二乘估计（5.1-8）式，对Y x ,的任何一组数据),21(),(n ,,i y ,x i i =均适用，即使Y x ,之间毫无关系。

如果这样，求得的回归直线方程就没有任何意义。

因此，求得回归直线后还需要检验Y x ,之间是否真的有统计线性相关关系——一元线性回归的模型检验。

②回归系数10β,β的最小二乘估计∧∧10β,β只是由Y x ,的n 对观测值),21(),(n ,,i y ,x i i =求得的，此估计值到底在什么程度上适于Y x ,之间的真正关系？因此，需对参数是否取为其估计值作假设检验——一元线性回归的参数检验。

（2）一元线性回归的模型检验为对Y x ,之间满足一元正态线性回归模型：⎩⎨⎧++=)(~210ζ0,N εx ββY ε )315(-.这一假设的合理性进行严格的检验，需要检验三点:①在x 的各取值点处，Y 都服从正态分布，期望值依赖于x ，且方差都相同；②在x 的各取值点处，Y 的期望是x 的线性函数；③在x 的各取值点处，相应的Y 是相互独立的。

可见，进行完全的严格检验并不容易。

而引起线性回归不显著的原因主要有以下三点：①除变量x 外，还有其它重要变量影响Y 的取值，故当x 取定时，Y 不能服从正态分布；②Y x ,之间不是线性相关关系，而是某种非线性相关关系；③Y 的取值根本与x 的取值无关。

在上述情况之一出现时，若对Y x ,配以线性回归模型，均会有0β1=，即ε+=0βY . 因此，对线性回归模型显著性的检验可以简化处理为对 0β:H 10=是否成立的检验。

方法如下：①作假设0β:H 0β:H 1110≠↔= ②检验统计量及其分布由定理 5.1.3知：)2(~--∧∧n t L ζββxx *11 ，故当 0H 成立时有)2(0-=∧∧n t ~L ζβT H xx *1以此为检验统计量，且由Y x ,的一组观测值),21(),(n ,,i y ,x i i =可以求得T的观测值。

注:)2,1(~222-==∧∧n F L ζβT F xx *1，在matlab 软件中采用的是F 检验。

③拒绝域给定显著水平α，该双边t 检验的拒绝域应取为)2(-≥n t T W: 2α.④做出判断当抽样结果使T 的观测值落入拒绝域时，拒绝0H ，认为0β1≠，因而线性回归显著；否则认为线性回归不显著。

（3）一元线性回归的参数检验①作假设10111010ββ:H ββ:H ≠↔= （10β为已知数）②检验统计量及其分布 由定理 5.1.3知：)2(~--∧∧n t L ζββxx *11 ，故当 0H 成立时有)2(~--=∧∧n t L ζββT xx *101以此为检验统计量，且由Y x ,的一组观测值),21(),(n ,,i y ,x i i =可以求得T 的观测值。

③拒绝域给定显著水平α，取该双边t 检验的拒绝域为)2(-≥n t T W: 2α.④做出判断当抽样结果使T 的观测值落入拒绝域时，拒绝0H ，认为101ββ≠；否则接受0H ，认为101ββ=.注：由定理 5.1.1②中∧0β的分布及由定理 5.1.2①中minQ 21σ的分布可以构造服从)(2n t -的另一统计量，对00010000β: β H β β:H ≠↔= 进行类似的假设检验。

一元线性回归中的预测回归分析的最终目的，是当x 取定时利用回归方程对Y 进行预测。

所谓对Y 的预测，即当0x x =时，求0Y 的点估计（预测值）和区间估计（预测区间）。

问题：在模型)315(-. 中令0x x =，则00100εx ββY ++=，且)0(~2ζ,N ε0.求0Y 的取值0y 估计值∧0y 和置信概率为α-1的置信区间。

（1）预测值的求法求出经验回归直线x ββy 10∧∧+=后，将0x x =代入，取0100x ββy ∧∧∧+=)125(-.实质上是取∧∧=)(00Y E y .（2）预测区间的求法①0y 的点估计0100x ββy ∧∧∧+=.②寻找枢轴量 (ⅰ) ∧-00y Y 的分布)()(010001000x ββεx ββy Y ∧∧∧+-++=-其中∧∧100ββε,,均服从正态分布，故它们的线性函数∧-00y Y 也服从正态分布。

再求∧-00y Y 的两个参数)(∧-00y Y E 和)(∧-00y Y D .0)()()(=+-++=-∧01001000x ββ0x ββy Y E又i x x =时, i Y Y =, ),21(n ,,i =, 且0Y 与n 21Y ,,Y ,Y 相互独立。

而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---==∧∧==∧∑∑x βY β)x (x )Y )(Y x (x L L β102n1i i i n1i i xx xy1(5.1-8’)其中∑==n1i iY n 1Y ，故0Y 与n 21,Y ,,Y Y 的线性函数0100x ββy ∧∧∧+=相互独立。

于是(由( ))(()( )( 5.1x x βY D ζ x ββD ζ y D DY y Y D 01201020000--++=++=+=-∧∧∧∧∧2xx20xx220221202ζL x x n 11 5.1.1L ζx x n ζζ 5.1.4βD x x )Y D ζ))(( )( )()((-++=-++=-++=∧）（由定理 ）（由定理)))((( 2xx2000ζL x x n 11 0,N ~y Y -++-∴∧(ⅱ) 构造枢轴量由上式知)()(0,1~N ζL x x n 11y Y U xx2000-++-=∧由定理5.1.2知)(~*)2(1222222n n Q min--==∧χσσσχ又：U与2χ相互独立（由定理5.1.2知min Q 分别与∧∧10β,β相互独立，故与0x y 000∧∧∧+=ββ独立；min Q 是n21,Y ,,Y Y 的函数，故与0Y 独立， 从而2χ与U 相互独立），于是)()()()()(*2n ~t 2n /ζζ2n L x x n 11y Y 2n χU 22xx 20002----++-=-∧∧σ即：)( )()()(25.22n t ~L x x n 11ζx ββY T xx20*0100---+++-=∧∧∧以此为区间估计的枢轴量。

③求置信区间给定置信概率为α1-，有2)(n t -2α使α12n t T P 2α-=-<)}({由)(2n t T2α-<导出0y 的置信区间为()( )()((++-++-++--+∧∧∧∧∧x n 112n t x ββ,ζL x x n 112n t x ββ2α010*xx 202α010（3）对预测区间的分析考虑任一点x 处Y 的取值y 的预测区间：由(5.2-3)式知，若记∧-++-=*xx22αζL x x n 112n t x )()()(δ而x ββy 10∧∧∧+=，于是y 的置信下限)()(x δx ββx y 101-+=∧∧，置信上限)()(x δx ββx y 102++=∧∧，预测区间为))()((x δy ,x δy +-∧∧.其中① 预测区间长)(x 2δL =当x x =时最小；x 离x 越远，)(x 2δL =越大。

这说明回归分析比较适于在原有观测数据附近作内插预测；而不适于在离原有观测数据较远处作外推预测。

② 预测区间的中心为x ββy 10∧∧∧+=，即经验回归直线x ββy 10∧∧+=上x 处的纵坐标。

y xy y 10∧∧∧+=ββ点估计的)()(x δx ββx y 101-+=∧∧置信下限)()(2x δx ββx y 1++=∧∧置信上限)(x δ),(y x ∙)(x δ③当n 很大且--xx 较小时，2α2αu n t ≈-)2(，∧∧-≈-++-=*2α*xx 2αζu ζL x x n n t x 2)(11)2()(δ，则预测区间可简化为：)(∧∧∧∧∧∧++-+*2α10*2α10ζu x ββ,ζu x ββ，此时y 的置信上、下限在x 的临近，近似于直线。

例5.2.1（续例5.1.1） （3）检验线性回归的显著性（0.05α=）；（4）求2.25x 0=（2岁3个月）时，平均体重0Y 的预测值和预测区间（0.95α1=-）。

解：（3）作假设0β:H 0β:H 1110≠↔= ，当 0H 成立时检验统计量41162052155700121....L ζβT xx *===∧∧临界值为18243)3()2(02502.t n t .α==-可见)2(2-≥n t T α，拒绝0H，认为0β1≠，因而x 与Y 之间线性回归显著。

（4） 2.25x 0=时，)(3512252012837100kg ....x ββy =⨯+=+=∧∧∧1052)52252(51118243)()2()(2.....ζL x x n 11n t x *xx 202α0⨯-++=-++-=∧δ0y 的置信下限8011)(.x δy y 001=-=∧，置信上限9012)(.x δy y 002=+=∧，预测区间为)90128011(.,..例 5.2.2 下表给出了过去20年间某城市新建住宅面积x （单位：万平米）和某家具公司的销售额Y （单位：万元）的统计数据：年1 2 3 4 5 6 7 8 9 10新建住宅面积x121 118 271 190 175 263 334 368 305 210销售额Y 的观测值y 360 260 440 400 360 500 580 560 505 480年11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 新建住宅面积x380 270 218 342 173 370 215 205 339 283销售额Y 的观测值y 602 540 414 590 492 660 463 410 680 594若今年350=0x ，试预测0Y （050.α=）。

>> X=[121 118 271 190 175 263 334 368 305 210 380 270 218 342 173 370 215 205 339 283];>> Y=[360 260 440 400 360 500 580 560 505 480 602 540 414 590 492 660 463 410 680 594];>> plot(X,Y,'ro')>> y=192.0574+1.1745.*X; >> hold on>> plot(X,y,'b-')解：①20=n ，5257.x =，127757==2x xx nS L ，5494.y =，224089==2y yy nS L ，150055)549452575134836(20)(=⨯-=-=...y x xy n L xy ，于是回归系数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===∧∧∧0574********.x βy β.L L β10xx xy1 经验回归直线为x ..y 174510574192+=. 且4034784915005517451224089..L βL Q xy 1yy min =⨯-=-=∧55875122040347849*..Q 2n 1min =-=-=∧σ 88690224089127757150055.L L L r yyxx xy =⨯==②线性回归的显著性检验 作假设0β:H 0β:H 1110≠↔= ，当0H 成立时检验统计量1422812775755875117451...L ζβT xx *1===∧∧临界值为10092)18()2(0250.t n t .2α==-可见)2(2-≥n t T α，拒绝0H ，认为0β1≠，因而x 与Y之间线性回归显著，利用线性回归模型进行预测是合理的。