养老保险精算基础第二节

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■实际利率的计算公式
it
It At1
At At1 At1
实际利率是单位本金在给定时期中产生的利息
金额，与给定的时期有关。
例题：1. 教材p8
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（三）单利和复利 在投资期为多个或非整数个度量期时，
根据实际利率计算积累值和利息的两种不同 的方式。 ■单利
只有本金产生利息，而已产生的利息在 后面的时期不再生息。
t
It=At-At-1
■从初始时刻到第t时刻的利息：
At-P=I1+I2+···+It
影响利息大小的三要素：本金、利息率、时间
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■积累函数：也称为t期积累因子，是单位本金在t期末 的积累值。
考虑1单位本金，定义该投资在第t时刻的积累值为 a(t)，我们将a(t)定义为该投资的积累函数。其中， a(0)=1。
付出的成本或借出一定数量的资本所得到的报酬。 一般用It表示。
在某种意义上，利息可以理解为租金的一种形 式，即借方向贷方支付的由于资金转让而在一段 时间内不能使用该笔资金所引起的损失。
一般来说，利息包含对机会成本的补偿和对风 险的补偿。
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●几个基本概念：本金、积累值、第t时刻的利息、
初始时刻到第t时刻的利息、积累函数、折（贴）现 函数、现值
t 单利 复利 单利 复利 单利 复利
初始 100 100
0
0
0
0
1 105 105
5
5
5
5
2 110 110.25 5 5.25 4.76 5
it
At At1 A t1
k [ a ( t ) a ( t 1 )] ka ( t 1 )
i 1 i(t 1)
Fra Baidu bibliotek
d it /d t<0 因此，it递减
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■复利 本金和已产生的利息一起在之后的时期生
息。 如果在t时的积累值为：a (t)=(1+i)t,那么
可以说该笔投资以每期复利i计息，并将这样产 生的利息称为复利。
第二章 养老保险精算基础
学习要点：
1.实际利率、名义利率 2.实际贴现率、名义贴现率 3.期末付年金、期初付年金以及付款次数多
于计息次数的年金 4.寿险保费的基本原理以及保费算 5.责任准备金的计算
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第一节 利息与年金 ▪ 一、利息的度量
（一）利息的含义 定义：在一定时期内，借用一定数量的资本所
a (t + s) – a (t)=s · i
利息与时间长度s成比， 与t无关。
复利：同样长时间积累值 增长的相对比率保持为常 数。
a(ts)a(t)(1i)s1 a(t)
在实务中，期限达到或超 过一个度量期的金融业务 几乎全部使用复利。
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例题： 2. 某银行以单利计息，年息为6%，某人
折现因子：为了使在第t期末的积累值为1，而 在开始时进行投资的本金金额
如果t期末支付k，那么t期末k的现值为 k ·a-1(t)
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（二）实际利率
利率是利息的第一种度量方式，可以将 绝对数的利息转变为相对数，去掉量纲、规 模等影响，用以衡量借款成本或投资收益。
实际利率是指该度量期内得到的利息金 额与此度量期开始时投资的本金之间的比率， 一般用it代替，用百分数表示。
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复利计息的特征:
1. 各期利息不同
It=A(t)-A(t-1) =k[(1+i)t-(1+i)t-1] =ki(1+i)t-1
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2. 实际利率恒定
it
A t A t1 A t1
k [ a ( t ) a ( t 1 )] ka ( t 1 )
i (1 i ) t1
PV=10000a-1(4) =10000/（1+8%）4=7350.3(元)
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例题
5. 教材p10，例2-2
(1) 期限超过了一个度量 期，t=1和t>1时单利、复利 下积累值的比较。 (2) 单利、复利条件下，It的 变化趋势。 (3) 单利、复利条件下，it的 变化趋势。
At
It
it(%)
a (t 1)
i
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■单利与复利的比较
1. 从积累函数看
单个度量期（t=1）:
1+it=(1+i)t
结果相同
较长时期（t>1）:
(1+i)t>1+it
复利产生更大积累值
较短时期（t<1）:
(1+i)t<1+it
单利产生更大积累值
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2. 从增长形式看 单利：同样长时间积累 值增长的绝对金额为常 数。
存入5000元，求5年后的积累值是多少？
A(5)=5000a(5)=5000(1+6% ·5)=6500(元)
3. 如果该银行以复利计息，其他条件不 变，求5年后的积累值。
A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)5=6691.13(元)
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4. 已知年利率为8%，复利计息，求4年后 支付10000元的现值。
v= a-1(1)=1/1+i 例如：如果a(t)=1+2t, a-1(t)=1/(1+2t)。
A (t)=K·a(t)，如果K= a-1(t)，那么：
A (t)=K·a(t)= a-1(t)·a(t)=1
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■现值
为了在t期末得到某个积累值，而在开始 时投资的本金金额称为该积累值的现值（或 折现值）。
■本金：开始时投资的金额或用来生息的初始投资资本 称为本金。一般用P表示。
■积累值（终值）：本金在一定时间之后所积累的数额 或业务开始一定时间之后回收的总金额称为该时刻 的积累值（终值）。一般用At或A（t）表示。
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第一节 利息与年金
■第t时刻的利息（It）：
第1期 第2期
第t期
0
1
2 ….. t-1
考虑1单位本金，如果在t时刻的积累值 为：a (t)=1+i t ，那么可以说该笔投资以每期 单利i计息，并将这样产生的利息称为单利。
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单利计息的特征:
1. 利息恒定
It=A(t)-A(t-1) =k[a(t)-a(t-1)] =k[1+it-1-i(t-1)] =k i
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2. 实际利率递减
假设初始投资为K，那么 A (t)=K·a(t)。
a(t)可以看作是积累值A (t)在K=1时的特例。
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■ t期折现因子或折现函数：为了使在第t期末的积累 值为1，而在开始时进行投资的本金金额，一般用PV表 示折现值。例如：为了使t期末的积累值a(t)=1，而在初 期进行投资的本金金额。
折现因子或折现函数表现为积累因子的倒数： a-1(t)，一般定义1期折现因子为v，