第二章脉冲电磁场的传播

– –
如输入不是δ脉冲，而是其它形式脉冲e(t) ，就可以利 用卷积公式和逆变换公式计算。
问题: 同轴线和波导对于传输脉冲波形的主要限制（使波 形畸变）分别是什么？
二、 波导中脉冲信号传输 波导是色散系统，截止波数
1 ω 2 − ωc2 c
β = k 2 − kc2 =
如果无损耗，传递函数为
对冲击响应：
∫
∞
J1 (a t − τ )
2 2
0
t 2 −τ 2
u (t − τ )e dt =
− st
e
−τs
−e aτ
−τ s 2 + a 2
现象分析：
（1） 波前仍是一个冲击脉冲；在波前到达输出端时，出 现一个负向尖脉冲，然后呈现按 J1 (ωc x) / x 的规律振荡衰减， 即有较长的拖尾现象，如示意图所示。
这个方程的解为
因此电场的解为 其中I0(#)是零阶虚宗量Bessel函数,波是随时间指数衰减的。
问题：
四、 脉冲从平直界面上的反射与透射 考虑垂直入射情况。
1、 如果无色散，则波形不畸变。设入射波、反射波和透射波分别为：
边界条件是当z=0时
2、 如果有色散，则波形畸变（不保形），具体畸变情况与媒质有关。 一般情况下可表示成Fourier积分形式：
vg (ω ) = c 1 − ωc 2 / ω 2
传播l时所用的时间 即时频率：
t = l / c 1 − ωc 2 / ω 2
(
)
两式相同
“在输出端，任一时刻t观察到的即时频率是这样一个频 率：按此频率上的群速计算传播时间正好等于t” 即任一时刻t观察到的即时频率信号是按群速传过来的。
（4） 最高频率 利用J1(x) 的半个周期来估算初始频率
左手媒质 另外，对于自然界中的媒质，波在其中传播时（电场、磁场、能 流密度）三者成右手关系，所以可称为“右手媒质”；但人工可以 制造出和同时为负（ ）的媒质，波在其中传播时三者
成左手关系，因此也称为“左手媒质”。
二、 均匀媒质中平面波解
考虑一般各向同性均匀媒质 假设波沿z方向传播，电场只有x方向分量Ex，磁场只有y方向分量Hy
相速、群速、能速、信号速度
四、信号波形 五、反射与透射
一、电磁媒质
媒质的电磁特性用四个张量参数来表示：介电张量、磁导率张 量、磁-电张量、电-磁张量:
电磁媒质可以分为：均匀的/非均匀的；色散的/非色散的；各向同性的/ 各向异性的； 针对各向异性又可区分 单轴各向异性/双轴各向异性、任 意各向异性。
f
K π β( f ) ≈ 2 R0
f ＋ω / ν
H (ω ) = eα +jβ
会发生畸变
冲激响应
令jω→s
γ (s) =
K 2 R0 s+ s v
取z=0为同轴线的输入端，z=l为系统观察点，没有反射波，系统传递函数 为：
系统的传递函数 利用： 冲激响应：
第一项代表时间延时
阶跃响应 当激励是阶跃函数时，频域响应为
波在色散媒质中的相速、群速、能速和信号速度示于下 图，速度表示成c/v形式。相速和群速可以大于c, 但能速 和信号速度总是小于c.
三、 时域波形
信号传输无畸变条件：
- jϕ (ω ) H ( ω ) = H ( ω ) e 系统的传递函数：
输入信号：
X (ω )
1 输出信号： y (t ) = 2π
•
平行带线和同轴电缆是传输线的原形。实际上，可以通过 “化场为路”的一套方法可以把任何传输系统等效成传输线 形式。
•
采用频域的方法求解，再通过傅立叶变换得到时域解，可 以利用现成的频域解结果。
一、 脉冲在无耗传输线上传播 以平行板波导为例，传输TEM波，Maxwell方程写为：
对上式两边同时在波导横截面上进行积分，得 令
应用边界条件：
问题 上面只是考虑了垂直入射到界面的情况，对于斜入射 （入射角），应区分两种情形：
请分别写出两种情形下的反射系数和透射系数。
脉冲在传输线和波导系统中的传输
一、脉冲在无耗传输线上传播 二、脉冲在有耗传输线上传播 三、 波导中脉冲信号传输
•
宽带信号需要进行时域分析，以便清楚地了解信号传输的 复杂特性。
第二章
一、电磁媒质 二、平面波解 三、波速
脉冲电磁场的传播
• 无界空间的脉冲波传播与波速，脉冲从平直界面上反 射与透射
相速、群速、能速、信号速度
四、信号波形 五、反射与透射
• 脉冲在传输线和波导系统中的传输
一、脉冲在无耗传输线上传播 二、脉冲在有耗传输线上传播 三、 波导中脉冲信号传输
无界空间的脉冲波传播与波速， 脉冲从平直界面上反射与透射 一、电磁媒质 二、平面波解 三、波速
− jω H ( ω ) = e 传递函数：
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统传递函数为：
LCl
无畸变
有损耗时的传输：
由于电导率不是无穷大的导体，每单位面积表面阻抗为 单位长度的面积为：内导体 2πa 外导体 2π b
（可忽略，介质损耗与导体损耗相比可忽略）
假设在整个有效的频带内，损耗都很小，满足 R << ω L
K π 衰减常数：α ( f ) ≈ 2 R0
1、如果σ/ωε<<1 （传导电流<<位移电流,良绝缘）， 且媒质为非色散
所以在传播过程中时域波形一直保持不变（不畸变）。
2、如果σ/ωε>>1 （传导电流>>位移电流,良导电），
所以在传播过程中时域波形会发生畸变。
３、直接时域解 我们也可以直接从时域来考虑
其中假定了源为处在z=0的位置、方向沿 +x 的单位阶跃脉冲电流元。并假设 电磁参数不随时间变化（非色散），得到
∫
∞
−∞
H(ω ) X (ω )e j[ωt −ϕ (ω )]d ω
(1)传递函数的模应该是与频率无关的常数
H (ω ) = A
(2)传递函数的相位是频率线函数
ϕ (ω ) = aω + b
y (t ) = Ae
− jb
1 2π
∫
∞
−∞
X (ω )e j[ω (t − a )]d ω = Ae− jb x(t − a )
应用终端边界条件： 可以确定：V+ V−
得到传输线上的电压波：
利用
如果没有损耗，变换到时域为：
如果信号源是脉冲源，则这表示一系列来回反射的脉冲。 如两端匹配时？
一、 脉冲在同轴线上的传输
传输线方程
方程的解为：
无损耗时：γ = jω LC
取z=0为同轴线的输入端，z=l为观察点，并假设终端匹配，没有反射波，系
拉氏逆变换后：
其中Cerf()为补余误差函数
从峰值的10%上升 到90%的时间（脉 冲上升时间）：
v=t/B
特点： • 上升时间是随线长 l 的平方增加的，即随着传输距离 越长，上升越慢。 •
K 2 α ( f0 ) K = 同时也受衰减电平 的平方增加而增加 R f0 π R0 0
因此这一特性成为同轴线脉冲传输的主要限制。
第一零点对应周期一半，即
l /c
t0
J0(x) J1(x) J2(x)
当H10时 λc = 2a
有
ωm取决于l,a,b。说明：高频振荡第一波峰对应的频率 是由色散系统固有性质以及传输距离决定的。
•
小结（ δ脉冲在波导中传输）
– 由于δ脉冲有无限宽的频谱，频谱高端的部分以 接近光速的速度到达l处，这就是最早到达的波 头，频谱的低端要经过非常长的时间才能到达l 处，这就是观察信号中长长的拖尾。 t观察到的即时频率信号是按群速传过来的 高频振荡第一波峰对应的频率（早期信号的频率） 是由色散系统固有性质以及传输距离决定的。
如果平板波导有耗，并且单位长度的电阻为R，则上式变为
方程的频域解为：
无损耗
无损耗时的时域解：
无损耗：
δ (t − z/v), δ (t + z/v)
体现时延
V+ V−由终端边界条件确定
微弱损耗时的时域解：
对于微弱损耗 （R<<ωL,G<<ωC )
确定激励和边界条件下的场： 考虑下图所示的一个传输系统： 通解：
对于一般的色散介质和宽带信号，很难计算出能速。
4、 信号速度
在一个信号在色散媒质中传播很长一段距离后，波形会发生严重畸变。一 般可以把它分成三部分（如下图）：第一前驱、第二前驱和信号主体。第 一前驱以光速传播，但幅度极小；第二前驱以略小于光速传播，幅度很 小；最后是信号主体到达，幅度相对较大，这个信号主体的到达速度称为 信号速度Vs,它永远小于真空光速。
c
大于等于光速 频率越低相速越大
⎡ d ⎛1 ⎡dβ ⎤ 2 2 ⎞⎤ 2 2 v ( ) = = − = c 1 − / ω ω ω ω ω 群速 g c ⎟⎥ c ⎢ dω ⎜ c ⎢ ⎣ dω ⎥ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
−1 −1
小于等于光速 频率越低群速越低，
v p (ω ) × vg (ω ) = c 2
（2） 瞬时频率的变化特性：振荡是由高频到低频连续变化的。
频谱分析：
由于
•
虽然δ脉冲包含全部频谱，只有ω>ωc的频谱才能在波 导中传输。
•
瞬时频率随时间减小，当t→∞时ω→ωc 。
(3)传输速度：不同频率成分具有不同的传输速度。 相速
v p (ω ) =
ω ω c = = 2 β ω 2 − ωc 2 1 − ωc / ω 2
场方程的解为： 时域表达式为：
x = ω − ω0
上式表示一个窄带调制信号（当前通信与雷达等实际 应用中大都是这种信号） 部分称为载波， 部分称为调制信号。
1、 相速 每种成分单色波的传播速度Vp
上公式说明,电磁信号是一系列单色波成分 每种成分单色波的传播速度是
的叠加
这种单色波成分的相位传播速度vp称为相速。如果vp与 ω有关，称为色散，否则称为非色散。
2、 群速
调制信号a(t)的传播速度
这个调制信号a(t) 也是由单色波成分 但所有成分的传播速度相同
构成
显然，对于窄带信号来说，群速代表实际信号的传播速度。 非色散时：Vp=Vg 条件：窄带，或线性
3、 能量速度 电磁能量的传输速度称为能速。单位体积中的能量为：
平均能流密度矢量是： 能速：
1 S = ve = W W S