函数的周期性

f ( x 2a) f ( x 2b) 即f ( x 2a 2b) f ( x)
周期T 2(a b)
， 且对任意x R 例5： f(x)和g(x)在R上都是奇函数 都有f(x) g(x 1),则g(2004) _______
小结： 1.通过类比和联想探讨了一类函数图象的对称性和周期性 及应用。 命题1 ：若函数 y
对称，则 y f ( x) 为周期函数，且 T 2 | a b | 命题3：若函数 y f ( x)的图象关于直线
x a 及点 (b,0)(a b)
对称，则 y f ( x) 为周期函数，且 T 4 | a b |
（ 这里的周期不一定是最小正周期 ）
例1：已知定义域为R的偶ห้องสมุดไป่ตู้数f(x)满足f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，则 f (5) + f (14) =__________.
偶函数： f ( x) f ( x) ， 函数 y f ( x) 的图象关于直线 x 0 对称
若 f (a x) f (b x) 则函数 y f ( x) 的图象关于直线 x a b 对称
2
奇函数 : 若 f ( x) f ( x) 0， 函数 y f ( x) 的 图象关于点 0,0 对称 若 f (a x) f (a x) 2b，则函数 y f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称
函数的周期性
函数图象对称性问题的拓展
中国中学
刘艳华
练习
x) 已知函数 y f ( x) 是定义在R上的偶函数，且满足 f ( x 2) f (， ———。 当 0 x 1 时， f ( x) 2x 1 ，则 f (15.5）
函数的周期性
函数图象对称性问题的拓展
思考题1：
f(x) 、g(x)的定义域都是 R，且f(x)是奇函数，g(x ）是偶函数，
例3.已知定义在R上的函数f ( x)满足(1) f ( x 4) f ( x), (2) f (3 x) f (3 x)且f ( x)在[2,3]为减函数, 则f ( x)在 [2,1]上是 _______ 3 3 ( A)增函数, ( B)减函数, (C )在[2, ]增, 在[ ,1]减 2 2 ( D)增减性无法确定
思考题2：(2001全国高考 题22题)
设f ( x)是定义在R上的偶函数，其图象关 于直线x 1对称， 1 对于任意的x1、x2 0, ，都有f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 1 1 且f (1) a (a 0)， (1)求f ( )及f ( )； (2)证明f ( x)是周期函数； 2 2n 1 (3)记an f (2n ), 求 lim(lg an ) n 2n
例4：设f ( x)是定义在R上的偶函数，其图象关 于 直线x 1对称，证明 f ( x)是周期函数
命题1 ：若函数 y f ( x) 的图象关于直线
x a, x b(a b) 对称，则 y f ( x)为周期函数，且 T 2 | a b |
证明：不妨设 ab 由x a为对称轴 f (a x) f (a x) f ( x 2a) f ( x) 同理：f ( x 2b) f ( x)
f ( x) 的图象关于直线 x a, x b(a b)
对称，则 y f ( x) 为周期函数，且 T 2 | a b | 0)、 (b， 0 （ ) a b) 命题2 ：若函数 y f ( x)的图象关于点 (a，
对称，则 y 命题3 ：若函数
f ( x) 为周期函数，且 T 2 | a b |
y
y sin x
o
x
2

3 2
2
对称轴
x k

2
对称中心
(k Z )
(k ,0)
周期
T 2
y f ( x) 是 R上的偶函数，且 x=1 是它的对称 1. 已知： 轴， 请你画出一个 y f ( x) 的图象 ，并总结规律。
2.若已知两个对称中心为(1，0) 和 (2，0)又如何？
y f ( x)的图象关于直线 x a 及点(b,0)( a b) f ( x) 为周期函数，且T 4 | a b |
对称，则 y
2. 根据本节课的学习，你自己是否会继续研究一些问题呢？ 比如：方程 F ( x, y) 0 的曲线对称性问题。
思考题1： f(x) 、g(x)的定义域都是 R，且f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数， 函数f ( x)是周期函数。 (3)若x 0,2时g ( x) x 1，且方程 f ( x) ax(a 0)有101 个实数根，求实数 a的取值范围。 (2003 年进才模拟考题 22题） 且对任意x R都有f(x) g(x 1)， （ 1 ）求f(2) 的值。 （2）证明
例2 已知 f ( x) 是定义在R上的偶函数，其图象关于直线 x 2 对称， 2 f ( x ) x 1 ，则 x 6,2 时 f ( x) = ———。 当 x 2,2 时， (A) x 2 1 (B) ( x 2)2 1 (C) ( x 2)2 1 (D) ( x 4)2 1
3.若已知一条对称轴是 x=1 一个对称中心 (0，0)哪?
命题1 ：若函数 y f ( x) 的图象关于直线 x a, x b(a b) 对称，则 y f ( x)为周期函数，且 T 2 | a b |
命题2 ：若函数 y f ( x)的图象关于点 (a， 0)、 (b， 0 （ ) a b)