一般形式的柯西不等式

x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
几何意义
y
P1(x1, y1)
P1 (x1 , y1 )
| y1 - y2 |
O
x
P2 (x2 , y2 )
P2 (x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |
x
当三角形P1P2 P3在任意位置时 P1 x1, y1 , P2 x2, y2 , P3 x3, y3
当bian2)(0b1(2 ib221,2,bn2
)
,
≥n)或 (a1b存1 在a2b一2
个a数nbb
)2源自文库
k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
即
n
ak 2
n
bk 2
n
ak bk
2
k 1
k 1
k 1
思考：一般形式的三角形不等式及其证明
a12 a22
一般形式的柯西不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都 是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
构造二次函数
f ( x) (a12 a22 an2 ) x2 2(a1b1 a2b2 anbn ) x (b12 b22 bn2 )
又f ( x) (a1 x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn )2 0
∴二次函数 f x 的判别式 △≤0 ,
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
练习讨论：若 a,b, c, d 是正数，求证：
a b
b c
c a
b a
c b
a c
9
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
n(a12 a22 an2 ) ≥ (a1 a2
an )2
1 n (a1 a2
an )2 ≤ a12 a22
an2
例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
继续
2答案
例 2 已知 a,b,c,d 是不全相等的正数，证明：
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积之和 最小？
选用：例5、已知 a1, a2 , , an 都是正实数，且
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明：
(a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2
∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不 bcd a
成立.∴ (a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2
显然有：
x1 x3 2 y1 y3 2 x2 x3 2 y2 y3 2
2
2
x1 x2 y1 y2
探究 :从平面向量的几何背景能得到 ≥ ,
将平面向量的坐标代入,化简后得二维形式的柯西不 等 式 : (a12 a22 ) (b12 b22 ) ≥ (a1b1 a2b2 )2 , 当 且 仅 当 a1b2 a2b1 时,等号成立 . 类似地,从空间向量的几何
a1 a2 an 1
求证：a1a12a2
a22 a2 a3
a2 n1
an2
1
an1 an an a1 2
作业：P 41 1、2、3、4、5、6
an2 b12 b22
bn2
2
2
a1 b1 a2 b2
2
an bn
例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证：
1 n (a1 a2
an )2 ≤ a12 a22
an2
证明：
(12 12 12 )(a12 a22 an2 )
≥ (1 a1 1 a2 1 an )2
根据上面结果，你能猜想出一般形式的柯西不
等式吗？
猜想并证明
结论
猜想柯西不等式的一般形式
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 )≥ (a1b1 a2b2 anbn )2 ②
分析：设A a12 a22 an2，B a1b1 a2b2 anbn
C b12 b22 bn2，不等式②就是AC ≥ B2
即 4(a1b1 a2b2 anbn )2 4(a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) ≤ 0
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
(当 a12 且a22仅
背景也能得到 ≥ ,将空间向量的坐标代入,
化简后 得三维形式的柯西不等式: (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 )≥ (a1b1 a2b2 a3b3 )2 ,
当且仅当 , 共线时,等号成立.即 0, 或存在一 个实数 k ,使得 ai kbi (i 1, 2, 3) 时,等号成立.
这两个结论也是非常有用的.
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
三角不等式
（用柯西不等式证明）定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当