函数的单调性知识点及例题解析

函数的单调性知识点及例题解析

知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）

知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）

（1） 定义法（基本法）；

①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -；

③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；

⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.

（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）

（3） 利用函数的图像；x y =，2-=x y ，2

12-+=x y . （4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；

①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； 如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.

上述规律可概括为“同增，异减”

知识点三：函数单调性的应用

利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；

附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0

②()0≠=k x

k y 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛

-∞-a b 2,，增区间⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0

⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； ④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0

⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；

⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则

()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）

函数；

1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？

分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增

解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，

∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．

2.函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（）

A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减

分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可

解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，

∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C

3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．

分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和

图象之间的关系进行求解即可

解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，

则[-1，0]，[1，2]上为增函数，

即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，

函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]

2）由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，

即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]

4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围

分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，

左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可

解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥1

5.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围

分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），

根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.5

6.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围

分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，

所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]

7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间

分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性

与单调区间．

解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增

函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）