大学数学无穷小与无穷大

2
1 x
3 sin x x cos 1 lim ( ) x 0 1 cos x x
2 1 x
3 sin x x cos 1 lim lim x 0 1 cos x x 0 x
2
1 x
3 sin x x 1 lim 2 x0 x
2
1 cos x
1 3 sin x 1 lim ( x cos ) 2 x 0 x x
x0 tan x ~ x sin x ~ x
例如,
tan x x lim lim 1 x 0 sin x x 0 x
此定理表明,求两个无 穷小之比的极限时,分子 分母都可用等价无穷小 来代替相应的部分,以简 化极限计算过程。
注意：
替换定理只能用在两个 无穷小量相乘除的情况,对 于两个无穷小量相加减的情 况不能用替换定理。 xx tan x sin x lim 3 lim 3 x 0 x 0 x x
1 1 2 2 x x0
sin 3x x sin 3x 1 lim ( 2 2 ) lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x x x x
罗必达法则

思考与练习
ln(1 x)～ x
3 2
ln(1 x)～ x
3 sin x x cos lim x 0 (1 cos x) x
x 0
x
3
x
3
tan x sin x lim 3 lim 3 x 0 x x 0 x x x 1 1 lim 3 lim 3 lim 2 lim 2 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x
0
sin 3x x 3x x lim lim 2 2 x 0 x 0 x x
所以 , 当
x0时
tan x ~ x
arcsin x lim 1 x 0 x
所以 , 当
x0时
arcsin x ~ x
x 2 sin 又如 1 cos x 2 lim lim 2 2 x 0 x x0 x 2
2
x x sin sin 2 2 2 lim 2 lim x 0 x 0 x x x 2 sin 1 1 2 lim x 2 0 x 2 2
特别提示： (1）0是特殊的无穷小量； (2)无穷小(除0外)与无穷大是 变量,不是常量；
(3)不要把某个很小的数(除0外) 认为是无穷小量，不要把某个 很大的数认为是无穷大量。
例如对于变量
（1）当x →0时，它是无穷大量；
1 2 x
（2）当x →∞时，它是无穷小量； （3）当x → x0 ∈(－∞,0)∪(0,+∞时，
无穷小的性质：
当x→x0时,如果f(x)、g(x)均为 无穷小,则当x→x0时: (1)f(x)±g(x)为无穷小；
由此可知有限个无穷小量的和 仍是无穷小量。
(2)无穷小与无穷小的乘积是仍 是无穷小。 由此可知有限个无穷小量的乘积 仍是无穷小量。
(3)有界变量与无穷小的积是仍是 无穷小. 常数与无穷小的乘积仍是无穷小。
arcsin 3 x lim x 0 5x 3x
tan x sin x tan x(1 cos x) lim lim 3 3 x 0 x 0 x x
1 2 x x 2 1 lim 3 x 0 2 x
3 lim x 0 5 x 5
tan x sin x lim 3 x 0 x lim ( tan x sin x )
(1)
x x0
lim
g ( x)
0
记为 :
称x→x0 时， f (x) 是比g (x) 高阶的无穷小；
f ( x) o( g ( x)) ( x x0 )
(2)
f ( x) lim k 0 x x0 g ( x )
称x→x0 时， f (x) 与g (x) 是同阶的无穷小。 特别地，
1 例如. 求 lim x sin x 0 x
2

1 sin 1 x
2
lim x 0
2 x 0
1 lim x sin 0 x 0 x arctan x lim ? x x
引例 .
x 0 时, 2 3 x , x , sin x 都是无穷小,但
2
x sin x 1 lim , 0 , lim 3 x 0 3 x x 0 3 x 3x sin x lim 2 , lim 2 x 0 x x0 x
例如
当x 1时, f ( x) x 1是无穷小， 1 1 则 是无穷大 f ( x) x 1 当x 时, f ( x) x 1是无穷大， 1 1 则 是无穷小 f ( x) x 1
例4 . 求
解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 x 2 5 x 4 2
当k=1 时,称 f (x) 与g (x)是等价无穷小。
记为 :
f ( x) ~ g ( x) ( x x0 )
x lim 0 2 x 0 6 x x0 时
3
x
3 o(
6x
2)
sin x lim 1 x 0 x
所以 , 当
x0时
sin x ~ x
tan x lim 1 x 0 x
例如 :
x x0
lim f ( x) 0
函数
当
时为无穷小;
函数 当 时为无穷小; 函数
当 时为无穷小.
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
定理1.5 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 函数 f (x)在 x x0时以常数A为极
x x0
1.5.3
lim f ( x)
则称 函数变量f(x)是x→x0时的无穷大量。
例如：
则称函数变量f(x) 是x→1时的无穷大量 。
在
时，
指出下列函数中的无穷大量
在
时，
指出下列函数中的无穷大量
无穷小与无穷大之间的关系： 倒数关系
定理1.7 在自变量的同一变化过程中，如果
f ( x)是无穷小, 且 f ( x) 0, 1 则 是无穷大, f ( x) 1 f ( x)是无穷大, 则 是无穷小. f ( x)
1 3 sin x 1 lim ( x cos ) x 0 2 x x 1 3 sin x 1 (lim lim x cos ) x 0 2 x 0 x x
1 (3 0) 2
3 2
1 y x
1 , 1 , 1 , 1 , 0 x 2 3 4 5
y 2, 3, 4, 5,
例如：
1 cos x lim 1 2 x 0 sin x 1 cos x ~ x 2 1
2 lim
x 0
x
2
x
0
常用等价无穷小 :
ln(1 x) ~ x e 1 ~ x 上述式子中的 x 位置上可以是 x 本身, 也可以是x 的某个函数。
x
例如,
tan 2 x lim x 0 sin 5 x
x 3x
x2
0.5 1.5
0.1 Fra Baidu bibliotek.3
0.01 0.03
0.001 0.003

0 0 0
0.25 0.01 0.0001 0.000001
1.5.2 无穷小量阶的比较 对无穷小量进行阶的比较是： 为了考察两个无穷小量趋于0的速度。
设 f (x) 、g (x) 为x→x0 时的无穷小,如 f ( x) 果
2
2
1 cos x 1 lim 2 x 0 x 2
故 时 与 x
2
是同阶无穷小,
1 cos x 且有 lim x 0 1 2 x 2 1 cos x 2 lim 1 2 x 0 x 1 2 所以 1 cos x ~ x 2
替换定理:
设
且
存在 ,
f1 ( x) 则 lim g1 ( x)

1 y x
x 1 , 1 , 1 , 1 , 0 2 3 4 5
y 2, 3, 4, 5,

1 y x
x 1 , 1 , 1 , 1 , 0 2 3 4 5
y 2, 3, 4, 5,

无穷大量 (infinitely great) f 定义2：如果 x x0 时， (x) 可以无限制地增大，即
lim
x1
2x 3
1 5 1 4 2 1 3 0
sin x lim 2 x 0 x
x x lim lim ( x) x 0 sin x x 0 sin x
2
x lim lim x 0 x 0 sin x x 0
sin x lim 2 x 0 x
1.5 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三,无穷小与无穷大的关系
1 1 1 1 x , , , , 0 2 3 4 5
yx
2
1 1 1 1 y 2 , 2 , 2 , 2 , 2 3 4 5
0
1.5.1 无穷小 (infinitesimal)
定义1 . 如果
则称 函数f(x)是x→x0时的无穷小量。
tan 2x ~ 2x
ln( 1 x) sin 3x x 3x lim lim 2 3 2 x 0 x 0 x x
sin 5x ~ 5x 2x 2 lim x 0 5 x 5
例2. 求
解:
(1 1 lim . x 0 cos x 1
1 2 3 x )
练习：
限的充分必要条件是在 x f ( x) A 为无穷小量。 即
x x0
x0 时
lim f ( x) A
x x0
lim [ f ( x) A] 0
即
x x0
lim f ( x) A
lim f ( x) A x x 0
0
定理对自变量的其它变化过程也成立.