大学数学无穷小与无穷大
第一节 无穷小
例7 证明当 x 时， x2 x 1 x 1 不是无穷小. 2
证 当 x 时, 不妨设 x 0.
有
x2 x 1 x 1 3,
22
所以, 当 x 时, 由定理1.2，
x2 x 1 x 1 不是无穷小, 2
当 x 时， x2 x 1 x 1 不是无穷小 . 2
例如, 数列 1, 1 , 1 , , 1 , ; 23 n
简记为
1
n
2, 4, 8,,2n, ;
简记为 {2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,
;
简记为
1 2n
1,1, 1,,(1)n1,; 简记为 {(1)n1}
2. 数列的几何表示法 数列中的每一个数都可用数轴上的一个点
来表示, 这些点的全体就是数列.
记为
lim
n
xn
0,
或 xn 0 (n ).
N定义:
lim
n
xn
0
0, N N , 当n N 时,有 xn .
几何解释:
a 2 a x2 x1 xN 1 0 xN 2 x3 x
当n N 时, 所有的点 xn 都落在( , )内,
只有有限个 (至多有N 个)落在其外.
1 c
注意到 (1 c)n 1 nc cn,
有(1 c)n nc,
于是 qn
1 (1 c)n
11. cn
因为
1 np
是无穷小,
根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小.
注:
lim
n
xn
0
lim
n
x2n1
0, 且
lim
同济大学高等学第七版1-5极限的运算法则
x2
3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
11
极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的）
12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
6
问: 无穷大是否有类似的性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大的积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小的乘积是什么？
说不清楚，有各种可能
P45 第4题
D
等价无穷小替换_极限的计算
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
无穷大量与无穷小量在教学中应注意的几个问题
无穷大量与无穷小量在教学中应注意的几个问题作者：张爱丽来源：《教育界·上旬》2015年第05期【摘要】本文指出了无穷大量和无穷小量在教学中应注意的一些问题，并给出了无穷大量的一些性质和等价无穷大量的定义，以及用它们来讨论级数敛散性的优越性。
【关键词】无穷大量 ; ;无穷小量 ; ;敛散性一、前言我们在研究变量的变化过程中，经常会遇到两类变量：一种是在某种变化过程中无限趋近于零，这种变量我们称为无穷小量;另外一种是在某种变化过程中无限趋近于正负无穷，称为无穷大量。
无穷大量和无穷小量是高等数学中的重要概念。
在教学中研究无穷大量与无穷小量的结论和性质对学习高等数学的其他内容有很大帮助。
无穷大与无穷小在一元微积分，特别是在极限的理论中有着非常重要的地位。
微分在变化为零的过程中是无穷小，导数是无穷小量之比的极限，定积分实质是无穷小量的积累。
函数的连续性、极限的四则运算法则、无穷小量的阶等均是无穷小量给出的等等，许多概念都建立在无穷大量和无穷小量的基础上。
二、无穷大量和无穷小量的说明和性质的补充1.无穷大和无穷小是变量，但不是单调地越变越大，或者越变越小无穷大与无穷小是变量，它们表示的是量的变化趋势。
因此不能简单地把它们看成很大的数与很小的数。
除了0以外其他再小的数也不是无穷小量。
一个无穷大量在变化过程中开始时也可能取很小的数值。
无穷大与无穷小同一般变量的极限一样，本质上主要表现在变化的终极状态，而不在变化过程中的任何有限的阶段。
需要说明的是，无穷大不是越变越大，无穷小同样也不是越变越小。
在教学中应向学生说明这两种说法只用于表现单调变化的情况，而无穷大与无穷小的变化过程有可能不是单调的。
2.高数课本中对无穷小量的性质讲得比较充分，无穷大量相对较少，下面就无穷大量的运用做一些补充2.1 无穷大量阶的比较定义：设u，v是在同一个自变量的变化过程中的无穷大量，则u比v的极限也是这个变化过程中的极限。
（1）如果u比v极限为0，u是比v低阶的无穷大;（2）如果u比v极限为无穷，u是比v高阶的无穷大;（3）如果u比v极限为常数（不为0），u与v是同阶无穷大;（4）如果u比v极限为1，u与v是等价无穷大;（5）如果u比v的k次方的极限为常数（不为0），k大于0，u是关于v的k阶无穷大。
大学一年级 1(4)无穷小与无穷大
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x) 0. x x
1 M 0, 此时对 , 0, 使得当 M 1 0 x x0 时, 有 f ( x ) , 由于 f ( x ) 0, M 1 从而 M. f ( x) 1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
类似可证明 x 的情形.
0
11
无穷小与无穷大
例 x 2时,函数3 x 1可表为
3x 1 5 ( 3 x 6)
(其中 x 6是x 2时的无穷小 3 ,即
lim( 3 x 6) 0)
x2
故得 lim( 3 x 1) 5.
x2
12
无穷小与无穷大
x
注 1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表 达它的变化状态的. “无限制变小的量”
2) 零是可以作为无穷小的唯一的数.
4
无穷小与无穷大
二、无穷小的性质
性质1 x 是无穷小 x 是无穷小。 性质2 （比较性质） 若 x 是无穷小，且
四、无穷大的概念
绝对值无限增大的变量称为 无穷大.
1 如, 当x 0时, 函 数 , cot x 是无穷大; x
当x 时,函数x 2 , x 3 是无穷大.
13
无穷小与无穷大
定义3 M 0(不论它多么大 0 (或X 0), ),
使得当0 | x x0 | (或 | x | X ),恒 有
证 设 lim f ( x )
x x0
1 此时对 M , 0, 使得当 0,
0 x x0 时,有 f ( x ) M ,即 1 . f ( x)
大学数学2
第二章 极限第一节：数列的极限教学目标：1、了解数列极限的定义 2、掌握数列极限的性质 教学重点：收敛数列的两个性质 教学难点：收敛数列的两个性质 教学目标：1、 数列的极限定义：如果数列{xn}与常数a 有下列关系：对于任意给定的的正数ε，总是存在正整数N ，使得对于 n>N 的一切xn ，不等式|xn-a|<ε都成立，则称常数a 是数列{xn}的极限或者称数列收敛于a. 记作：a x n n =∞→lim（1）如何证明a x n n =∞→lim ？只需证明,0>∀ε总存在自然数N , 当自然数n>N, 有不等式ε<-||a x n 成立2、例：证明等比数列1，q,2q ,…当|q|<1时极限为0。
3、有关收敛数列的两个性质 定理1：（极限的唯一性）如果数列{}n x 有极限，那么极限值是唯一的。
4、数列的有界性定义：对于数列{}n x ，如果存在着正数M ，使得对于一切n x 都满足不等式M x n ≤||，则称数列{}n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称这样的数列{}n x 是无界的。
例：1+=n nx n （n=1,2,3….）是有界的，因为可以取M=1。
5、 定理2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。
证明：推论：如果数列{}n x 无界，那么{}n x 一定发散。
有界是数列收敛的必要不充分条件。
第二节 函数的极限教学目标：1、理解函数极限的3个定义 2、理解函数极限的5个定理 教学重点：函数极限的局部保号性定理 教学难点：函数极限的局部保号性定理教学过程：1、 自变量趋于无穷大时函数的极限。
定义1：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小）总存在着正数X ，使得对于适合不等式|x|>x 的一切x ，对应的函数值都满足不等式ε<-|)(|A x f ，那么常数A 就叫做函数f(x) 当∞→x 是的极限， 记作：A x f x =∞→)(lim注：A x f x =∞→)(lim 的集合意义2、 例：证明：01lim=+∞→xx例：证明：111lim=+-+∞→x x x3、 自变量趋于有限值时函数的极限 实例：f(x)=2x +1当x 从任何一方趋近于0时，f(x)的对应值都无限趋近于1。
同济大学《高等数学》(第四版)1-5节 无穷小与无穷大
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.4-1.5 无穷小.
课时授课计划课次序号：一、课题：§1.4 无穷小与无穷大§1.5 极限运算法则二、课型：新授课三、目的要求：1.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小、无穷大以及有界量之间的关系；2.掌握极限的运算法则.四、教学重点：无穷小和无穷大的概念，极限的运算法则.教学难点：极限运算法则的应用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–4 4（1）；习题1–5 1（1）（5）（7）（14），3（2）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：复习1.两种变化趋势下函数极限的定义，左右极限（单侧极限）2.函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系.对于函数极限来说，有两种情形比较特殊：一种是极限为零，另一种是极限无穷不存在，我们分别称之为无穷小和无穷大.下面我们先介绍无穷小与无穷大，在此基础上，进一步介绍极限的运算法则.第四节无穷小与无穷大一、无穷小定义1 若limα（x）=0，则称α（x）为该极限过程中的一个无穷小．例1当x→2时，y=2x-4是无穷小，因为容易证明（2x-4）=0．当x→∞时，y=也是无穷小，因为=0．定理1(无穷小与函数极限的关系定理lim f（x）=A的充要条件是f（x）=A+(x，其中(x为该极限过程中的无穷小．证为方便起见，仅对x→x0的情形证明，其他极限过程可仿此进行．设f(x=A，记(x=f(x-A，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（x）-A｜＜ε，即｜(x｜＜ε．由极限定义可知，(x=0，即(x是x→x0时的无穷小，且f（x）=A+(x．反过来，若当x→x0时，(ξ是无穷小，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜(ξ-0｜=｜(ξ｜＜ε，即｜f（ξ）-A｜＜ε，由极限定义可知，f（ξ）=A．二、无穷大在lim f（ξ）不存在的各种情形下，有一种较有规律，即当x→x0或x→∞时，｜f（ξ）｜无限增大的情形．例如，函数f（ξ）=，当x→1时，｜f（ξ）｜=无限增大，确切地说，M＞0（无论它多么大），总δ＞0，当x∈（1，δ）时，｜f（ξ）｜＞M，这就是我们要介绍的无穷大．定义2 若M＞0（无论它多么大），总δ＞0（或X＞0），当x∈（x0，δ）（或｜ξ｜＞X）时，｜f（ξ）｜＞M恒成立，则称f（ξ）当x→x0（或x→∞）时是一个无穷大．若用f（ξ）＞M代替上述定义中的｜f（ξ）｜＞M，则得到正无穷大的定义；若用f（ξ）＜-M代替｜f（ξ）｜＞M，则得到负无穷大的定义．某极限过程中的无穷大、正无穷大、负无穷大分别记作：．注（1）若,则称为曲线的垂直渐近线．（2）称一个函数为无穷大时,必须明确地指出自变量的变化趋势．对于一个函数,一般来说,自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同．例如函数y=,当x→时,它是一个无穷大,而当x→时,它则是一个无穷小．（3）由无穷大的定义可知,在某一极限过程中的无穷大必是无界变量,但其逆命题不成立．例如, 当n→∞时,(1+(-1nn是无界变量,但它不是无穷大．例2=+∞，=-∞，=-∞,=+∞, =-∞．三、无穷小与无穷大的关系定理2在某极限过程中，若f（ξ）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（ξ）为无穷小，且f（ξ）≠0，则为无穷大．证我们仅对x→x0的情形证明，其他情形仿此可证．设f（ξ）=∞，则ε＞0，令M=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＞M=，即＜ε，故为x→x0时的无穷小．反之，若f（ξ）=0，且f（ξ）≠0，则M＞0，令ε=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＜ε=，即＞M，故为x→x0时的无穷大．第五节极限运算法则一、无穷小运算法则定理1在某一极限过程中，如果(x，(x是无穷小，则(x± (x也是无穷小．证我们只证x→x0的情形，其他情形的证明类似．由于x→x0时，(x，(x均为无穷小，故ε＞0，δ1＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ1时，｜(x｜＜，（1）δ2＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ2时，｜(x｜＜，（2）取δ=min（δ1，δ2），则当0＜｜x-x0｜＜δ时，（1）、（2）两式同时成立，因此｜(x±(x｜≤｜(x｜+｜(x｜＜+=ε．由无穷小的定义可知，x→x0时，(x± (x为无穷小．推论在同一极限过程中的有限个无穷小的代数和仍为无穷小．定理2在某一极限过程中，若(x是无穷小，f（x）是有界变量，则(x f（x）仍是无穷小．证我们只证x→∞时的情形，其他情形证法类似．设f（x）为x→∞时的有界变量，则M＞0，当｜x｜＞X1＞0时，｜f（x）｜＜M，又因(x=0，则ε＞0，对来说，X2＞0，当｜x｜＞X2时，｜(x｜＜，取X=m ax{X1，X2}，则当｜x｜＞X时，有｜(x·f（x）｜=｜(x｜·｜f（x）｜＜·M =ε．这就证明了当x→∞时，(x f（x）是无穷小．例1求．解因为x∈（-∞，+∞），｜sin x｜≤1，且=0，故由定理2得sin x=0．推论在某一极限过程中，若C为常数，(x和(x是无穷小，则C(x，(x（x）均为无穷小．这是因为C和无穷小均为有界变量，由定理2即可得此推论．此推论可推广到有限个无穷小乘积的情形．定理3在某一极限过程中，如果(x是无穷小，f（x）以A为极限，且A≠0,则(x\f（x）仍为无穷小．证由定理2可知，我们只需证为该极限过程中的有界变量即可．我们仅对x→x0时进行证明，其他情形类似可证．因为f（x）=A，A≠0, 则对ε=，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，有｜｜f（x）｜-｜A｜｜≤｜f（x）-A｜＜，从而＜｜f（x）｜＜，故＜=M, 即为时的有界变量．利用无穷小的性质及无穷小与函数极限的关系，我们可得极限四则运算法则．二、极限的四则运算法则定理4若，则(1 ;(2 ;(3 l= (．证我们仅证（2），（3）．因为，所以f（x）=A +(x，g（x）=B +β(x，其中，于是f(x g(x=［A+］［B+β(x］=AB+Aβ(x+B+β(x．由定理1及其推论可得, , ．故由第四节定理1及本节定理1可知．同理，对于式（3），只需证-是无穷小即可，因为-=-=，由定理1及其推论可知．由刚获证的式（2）可知．所以，其中为无穷小．最后由第四节中的定理１便得lim==（B≠0）．推论1 若存在，C为常数，则．这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为．推论2 若存在，n∈N，则．例2 求．结论：多项式函数当极限为，而解===-2．例3求，其中m，n∈N．解由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”．===．例4求．解此极限仍属于“”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”．====．例5求．解分子分母均为无穷大，这种情形称为“”型．对于它，我们也不能直接运用极限运算法则，通常应设法将其变形．==．结论当，例6求解====1例7求解====．例8设f(x=问b取何值时，存在．解由于==2，==b，由第三节定理１可知，要存在，必须=，因此b=2．三、复合函数极限运算法则定理5设函数由复合而成，如果，且在x0的一个去心邻域内，，又=A，则=A．该定理可运用函数极限的定义直接推出，故略去证明．例9求解因为=0，=1，故=1．例10 求．解因为=0，=0，故=0．课堂总结1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则．在计算极限时，应注意法则成立的条件，不要错误地运用以上法则．。
大学数学_1_5 无穷小与无穷大无穷小的比较
在，则lim
' lim '
.
证
' '
lim lim( )
' '
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x : 5x, tan 6x : 6x,所以
事 实 上 ， Q lim f (x) A lim( f (x) A) 0 ， 记
f (x) A则有 f (x) A （其中lim 0 ）
反之，f (x) A ，lim 0 ，则 lim( f (x) A) 0，
故有lim f (x) A.
n
变量，由有界变量与无穷小之积仍为无穷小知
lim n sin n! lim n .sin n! 0. n n 1 x n 1
二、无穷大
定义 2 在自变量某一变化过程中，变量 X 的绝 对值 X 无限增大，则称 X 为自变量在此变化过程中的 无穷大量（简称无穷大）记作lim X ，其中“lim ” 是简记符号，类似于此前含义.
况加以解决.
两个无穷小的商也会出现各种不同结果，例如，当 x 0
时 ， x2 ,sin x,arctan x, 2x 等 都 是 无 穷 小 ， 但
lim
x0
x2 sin x
0,
lim
x0
arctan 2x
x
1 2
, lim x0
大学高数第一节 无穷小
数列中的每个数称为数列的一项, 数列中的每个数称为数列的一项
x n 称为数列的通项 或一般项 数列简记为 { xn }. 称为数列的通项 或一般项), 通项(或一般项
例如, 例如 数列 1 1 1 1, , , L , , L; 2 3 n
1 简记为 n
简记为 {2n }
1 简记为 n 2
x1
x2 x4
xn
x
x1 , x2 ,L , xn ,L
3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程： 数列的变化过程包含两个相关的无限过程：
n的主动变化: 即n 从1开始， 的主动变化: 开始， 的主动变化 开始 不断增大 每次加 ). 不断增大( 每次加1
何为无限增大？ 何为无限增大？
一定可以大于每个固定的正数. 一定可以大于每个固定的正数 称为n 趋于无穷大， 称为 趋于无穷大， 记为 n → ∞ .
2. 当 x → x 0 时 , f ( x ) 为无穷小与 f ( x ) 在 x 0 点
是否有定义无关. 是否有定义无关
− + x → x0 , x → x0 或 x → x0 时, ( x − x0 ) 都是无穷小 当 都是无穷小.
类似于定理1.1和定理 类似于定理 和定理1.2, 有 定理1.3 (无穷小比较定理 无穷小比较定理3) 定理 无穷小比较定理
定义1.2 ( x →+∞(−∞或∞) 时函数无穷小 时函数无穷小) 定义 有定义, 设 f ( x )在 (c ,+∞ ) 有定义 c 为常数 . 如果对于任意给定的正数 ε , 总存在正数 X, 当 x > X 时, 有
f (x) < ε
则称当 x → +∞ 时，f ( x ) 为无穷小. 则称当 为无穷小 记为 lim f ( x ) = 0, 或 f ( x ) → 0 ( x → +∞ ).
大学数学-1-5-无穷小与无穷大无穷小的比较精选全文完整版
lim
'
lim
' '
lim '
' lim '
.
例 4 求lim sin 5x . x0 tan 6x
解 当 x 0时，sin 5x 5x, tan 6x 6x,所以
lim sin 5x lim 5x 5 . x0 tan 6x x0 6x 6
例 5 求lim (x 3) tan x . x0 arcsin 4x
第五节 无穷小与无穷大 无穷小的比较
一、无穷小
在讨论变量的极限时，经常遇到以变量零为极限的变量.
例如，数列(
1 2
)n
，当n
时，极限为
0；
函数 1 x2
，当n
时，极限也为
0；
函数（ x 2），当x 2时，极限为 0，等等.
这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称
为无穷小量（简称为无穷小）.
注意 这里lim X 只是沿用了极限符号，并不意 味着变量 x 的存在极限；无穷大()不是数，不可与绝 对值很大的常数(如107 108等)混为一谈；无穷大是指绝 对值可以任意变大的一个变量.
例 3 下列变量中，哪个是无穷大，哪个是无穷小，
为什么？
（1）1 (x 0) ；（2） tan x (x 0) ；（3） 1 (x 2) ；
比较两个无穷小在自变量同一变化过程中趋于零的“速
度”是很有意义的，并能为处理未定式极限问题带来一些具
体方法.
三、无穷小的比较
设 lim 0,lim 0, 且lim 也是在该变化过程中的
极限问题.
1. 如果lim 0, 就说 是比 高阶无穷小，记作
( );当 0时，也说 是比 低阶的无穷小.
大学 高等数学 “无穷小与无穷大” 课件
当
所以
时 ,
不是无穷大 !
例2 . 证明
证: 任给正数 M ,
要使
即
只要取
则对满足
的一切 x , 有
所以
若
则直线
为曲线
的铅直渐近线 .
渐近线
说明:
三、无穷小与无穷大的关系
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 ,
一切满足不等式
的 x , 总有
则称函数
当
时为无穷大,
使对
若在定义中将 ①式改为
①
则记作
(正数 X ) ,
记作
总存在
注意:
1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
第一章
二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
第四节
无穷小与无穷大
当
一、 无穷小
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
无穷小是一个以0为极限的函数。 注意：区分 无穷小 与 很小的数 区分 无穷小 与 负无穷大
大学数学无穷小与无穷大资料
f (x)
(2) lim
k 0
xx0 g ( x)
称x→x0 时， f (x) 与g (x) 是同阶的无穷小。
特别地，
当k=1 时,称 f (x) 与g (x)是等价无穷小。
记为: f (x) ~ g(x)
(x x0 )
x3
lim
x0
6x2
0
x0 时
x3 o( 6x2 )
lim sin x 1 x0 x
5x
lim
3x
3
x0 5x 5
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x(1 cos x) x3
lim
x0
x 1 x2 2 x3
1 2
tan x sin x
lim
x0
x3 lim ( tan x sin x )
x0 x3
x3
lim
x0
tan x x3
lim
x0
sin x x3
lim x0
无穷小量相乘除的情况,对
于两个无穷小量相加减的情
况不能用替换定理。
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
xx x3
例如：1 cos x
lim
x0
sin x 1 cos x ~ 1 x2
1 x2
2
lim 2 0
x0 x
常用等价无穷小 :
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
上述式子中的 x 位置上可以是 x 本身, 也可以是x 的某个函数。
例如 :
函数 当
时为无穷小;
大学极限的知识点总结
大学极限的知识点总结一、引言极限是微积分中最基本的概念之一，也是建立微积分理论的基础。
它在求导、求积分以及求解微分方程等方面都有着重要的应用。
了解极限的概念和性质对于学习微积分和其他相关数学课程都非常重要。
本文将对大学极限的知识点进行总结和讨论，帮助读者更好地理解这一重要的数学概念。
二、极限的概念1.1 极限的定义在数学中，极限可以用来描述一个函数在某个点上的“接近程度”，它是该函数在该点附近的局部性质。
具体地，如果当自变量趋于某个特定的值时，函数的取值趋于一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为该函数在该点上的极限。
数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋于a时，函数f(x)的极限是L。
1.2 极限的直观理解对于一个函数f(x)，当自变量x在某个点a附近不断接近a时，相应的函数值f(x)也应该在一个特定的值L附近不断接近。
这种“接近程度”可以用一个小球的直观概念来理解，即当x在a的附近时，f(x)就像在一个小球内部，而这个小球的半径可以认为是很小的正数ε。
这也就是说，只要x在a的ε邻域内，函数值f(x)就在L的ε邻域内，即|f(x)-L|<ε。
这就是极限存在的直观理解。
1.3 无穷大与无穷小在极限的研究中，我们还经常会遇到无穷大和无穷小的概念。
无穷大通常用符号"∞"来表示，无穷小通常用符号"o"表示。
无穷大表示当自变量趋于某个特定值时，函数值趋于无穷大，而无穷小则表示当自变量趋于某个特定值时，函数值趋于0。
在极限的讨论中，我们经常会遇到无穷大和无穷小的概念，需要对其有着清晰的认识。
三、极限的性质2.1 极限的唯一性如果一个函数在某点上的极限存在，那么它的极限是唯一的。
也就是说，一个函数在某点的极限只有一个确定的值，这个值不依赖于自变量逼近该点的方式。
这是极限的一个重要性质，它保证了极限的确定性，使得我们可以确切地描述函数在某点附近的局部性质。
关于无穷大和无穷小的几个问题
淤户＝ ａ ２ 一＝， ＋ 浊 一‘ ０ ， ” ｏ （，
若ｘ 界则 定 子 ｛ ， 浊ｘ ａ 无 ，必 有 列ｘ｝ 得 ｎ ＝ · ｛｝ 。 、使 ‘ｏ
证 。无 故 ， １ 气１ 城· 二气！２ 、１ 从 ＞ … 明 因｛｝ 界，对Ｍ 二 ， ，＞ 对峡 ！ ，＋， ｘ 有１ 有１ ＞ ２ … ． 对叭 ＝ｘ ：＋， ｘ１ 从 ＞ ·… 此 续 去 必 有｝＊Ｃｌ｝ ＊ ｎ， 且 ！卜！ｋ 。 ＞ ｋ 如 继 下 ，定 ｘ｝ ｘ ， ＜ ＊， 显 。 有Ｉ＊ … 。 。 ｎ 、并
证 明 记５（ 二艺式 ， 二 ０ ． ） ｎ 幻对ｖ ＞ 月凡，得 使 当ｍ＞ ， ，一 有 Ｎ时对 切。
！（ 一 ！ 音 “ｎ ， ＜ 沉） 。 又ｌ ｓ（）＝０故 日 ， 得 ｎ Ｎ ， 爪） ＜ ， 有 ｉ 二ｎ ｍ ， Ｎ 使 当 ＞ 时 １（ １ 音 而 “ｎ 从
１。 少 １‘ １二ｎ 一 二 ＋１二ｎ ！＜ｅ ５（） 了 １ ５（）
轻易推广到无限的情形．
收稿 日 ２ ７一 一 期： ） Ｘ １ （ ０ ２ 基金项目： 佛山大学教改项目 基金资助
万方数据
高等数学研究
２０ ０７年 ９ 月
二、 无穷多个无穷小量之和与积仍为无穷小量的一个条件 ２ 且 如果：， 乏 都是无穷小量， ‘ ｋ＝ 协
ｙ 忽洛二一 · 二 ｘ， ‘ ， ‘
关于ｎ 一致收敛， ｙ， 都是无穷小量． 则 。。 ：
Ｖ ｌ１ ， ｏ５ ｏ ０Ｎ ． ．
ＳＰ， ７ ｅ ２ ） Ｘ （
Ｓ ＵＤＩ Ｔ ＥＳＩ Ｃ Ｌ ＧＥ ＭＡＴ Ｎ ＯＬ Ｅ ＨＥＭＡＴ ＣＳ Ｉ
高等数学研究
ch1-4无穷小量及无穷大量 共35页
南京航空航天大学 理学院 数学系
2
1. 无穷小量
（1）定义4.1(无穷小量) 若 xx0 时 , 函数 (x)0,
(或x)
则称函数 f (x) 为 xx0时的无穷小量 .
(或x)
例如 :
limsinx0, 函 数 s i n x 当 x 0 时 为 无 穷 小 ；
x0
lim( x1)0,函数 x1当 x1时为无穷小;
x1
limsinx 0 x x
, 函数
sin x
x
当 x 时为无穷小;
(1)n lim 0, n n
数 列 {( 1)n}当 n 时 为 无 穷 小 . n
2019年10月20日
南京航空航天大学 理学院 数学系
3
注意 1.无穷小是以0为极限的函数,不能与很小的数 混淆; 同时无穷小是相对于某变化过程而言!
au 1~ulna (a0,a1), (1u) 1~u (0)
esinu1~sin u~u , 1sin u1~1sin u . 2
2019年10月20日
南京航空航天大学 理学院 数学系
15
（2）无穷小的等价代换 定理4.4(无穷小量的等价代换)
设limlim,lim lim=0
特 别 地 ,若 lim 1 ,则 称 与 是 等 价 无 穷 小 ,
记作~; (3) 如果limk c（ 0 k0), 则称是关于的k阶的无穷小.
若
lim
x x0
(x
x0 )k
则称是当x
的 k阶 无 穷 小 .
c,
x
时
0
注意 若 lim 不 ,则 称 与 无 法 比 较 .
10
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x0 tan x ~ x sin x ~ x
例如,
tan x x lim lim 1 x 0 sin x x 0 x
此定理表明,求两个无 穷小之比的极限时,分子 分母都可用等价无穷小 来代替相应的部分,以简 化极限计算过程。
注意：
替换定理只能用在两个 无穷小量相乘除的情况,对 于两个无穷小量相加减的情 况不能用替换定理。 xx tan x sin x lim 3 lim 3 x 0 x 0 x x
例如
当x 1时, f ( x) x 1是无穷小， 1 1 则 是无穷大 f ( x) x 1 当x 时, f ( x) x 1是无穷大， 1 1 则 是无穷小 f ( x) x 1
例4 . 求
解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 x 2 5 x 4 2
x 3x
x2
0.5 1.5
0.1 0.3
0
0 0 0
0.25 0.01 0.0001 0.000001
1.5.2 无穷小量阶的比较 对无穷小量进行阶的比较是： 为了考察两个无穷小量趋于0的速度。
设 f (x) 、g (x) 为x→x0 时的无穷小,如 f ( x) 果
1.5 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三,无穷小与无穷大的关系
1 1 1 1 x , , , , 0 2 3 4 5
yx
2
1 1 1 1 y 2 , 2 , 2 , 2 , 2 3 4 5
0
1.5.1 无穷小 (infinitesimal)
定义1 . 如果
则称 函数f(x)是x→x0时的无穷小量。
1 y x
x 1 , 1 , 1 , 1 , 0 2 3 4 5
y 2, 3, 4, 5,
1 y x
x 1 , 1 , 1 , 1 , 0 2 3 4 5
y 2, 3, 4, 5,
无穷大量 (infinitely great) f 定义2：如果 x x0 时， (x) 可以无限制地增大，即
例如：
1 cos x lim 1 2 x 0 sin x 1 cos x ~ x 2 1
2 lim
x 0
x
2
x
0
常用等价无穷小 :
ln(1 x) ~ x e 1 ~ x 上述式子中的 x 位置上可以是 x 本身, 也可以是x 的某个函数。
x
例如,
tan 2 x lim x 0 sin 5 x
1 例如. 求 lim x sin x 0 x
2
1 sin 1 x
2
lim x 0
2 x 0
1 lim x sin 0 x 0 x arctan x lim ? x x
引例 .
x 0 时, 2 3 x , x , sin x 都是无穷小,但
2
x sin x 1 lim , 0 , lim 3 x 0 3 x x 0 3 x 3x sin x lim 2 , lim 2 x 0 x x0 x
tan 2x ~ 2x
ln( 1 x) sin 3x x 3x lim lim 2 3 2 x 0 x 0 x x
sin 5x ~ 5x 2x 2 lim x 0 5 x 5
例2. 求
解:
(1 1 lim . x 0 cos x 1
1 2 3 x )
练习：
当k=1 时,称 f (x) 与g (x)是等价无穷小。
记为 :
f ( x) ~ g ( x) ( x x0 )
x lim 0 2 x 0 6 x x0 时
3
x
3 o(
6x
2)
sin x lim 1 x 0 x
所以 , 当
x0时
sin x ~ x
tan x lim 1 x 0 x
1 1 2 2 x x0
arcsin 3 x lim x 0 5x 3x
tan x sin x tan x(1 cos x) lim lim 3 3 x 0 x 0 x x
1 2 x x 2 1 lim 3 x 0 2 x
3 lim x 0 5 x 5
tan x sin x lim 3 x 0 x lim ( tan x sin x )
2
2
1 cos x 1 lim 2 x 0 x 2
故 时 与 x
2
是同阶无穷小,
1 cos x 且有 lim x 0 1 2 x 2 1 cos x 2 lim 1 2 x 0 x 1 2 所以 1 cos x ~ x 2
替换定理:
设
且
存在 ,
f1 ( x) 则 lim g1 ( x)
(1)
x x0
lim
g ( x)
0
记为 :
称x→x0 时， f (x) 是比g (x) 高阶的无穷小；
f ( x) o( g ( x)) ( x x0 )
(2)
f ( x) lim k 0 x x0 g ( x )
称x→x0 时， f (x) 与g (x) 是同阶的无穷小。 特别地，
特别提示： (1）0是特殊的无穷小量； (2)无穷小(除0外)与无穷大是 变量,不是常量；
(3)不要把某个很小的数(除0外) 认为是无穷小量，不要把某个 很大的数认为是无穷大量。
例如对于变量
（1）当x →0时，它是无穷大量；
1 2 x
（2）当x →∞时，它是无穷小量； （3）当x → x0 ∈(－∞,0)∪(0,+∞时，
限的充分必要条件是在 x f ( x) A 为无穷小量。 即
x x0
x0 时
lim f ( x) A
x x0
lim [ f ( x) A] 0
即
x x0
lim f ( x) A
lim f ( x) A x x 0
0
定理对自变量的其它变化过程也成立.
x 0
x
3
x
3
tan x sin x lim 3 lim 3 x 0 x x 0 x x x 1 1 lim 3 lim 3 lim 2 lim 2 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x
0
sin 3x x 3x x lim lim 2 2 x 0 x 0 x x
所以 , 当
x0时
tan x ~ x
arcsin x lim 1 x 0 x
所以 , 当
x0时
arcsin x ~ x
x 2 sin 又如 1 cos x 2 lim lim 2 2 x 0 x x0 x 2
2
x x sin sin 2 2 2 lim 2 lim x 0 x 0 x x x 2 sin 1 1 2 lim x 2 0 x 2 2
2
1 x
3 sin x x cos 1 lim ( ) x 0 1 cos x x
2 1 x
3 sin x x cos 1 lim lim x 0 1 cos x x 0 x
2
1 x
3 sin x x 1 lim 2 x0 x
2
1 cos x
1 3 sin x 1 lim ( x cos ) 2 x 0 x x
1 3 sin x 1 lim ( x cos ) x 0 2 x x 1 3 sin x 1 (lim lim x cos ) x 0 2 x 0 x x
1 (3 0) 2
3 2
1 y x
1 , 1 , 1 , 1 , 0 x 2 3 4 5
y 2, 3, 4, 5,
sin 3x x sin 3x 1 lim ( 2 2 ) lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x x x x
罗必达法则
思考与练习
ln(1 x)～ x
3 2
ln(1 x)～ x
3 sin x x cos lim x 0 (1 cos x) x
x x0
1.5.3
lim f ( x)
则称 函数变量f(x)是x→x0时的无穷大量。
例如：
则称函数变量f(x) 是x→1时的无穷大量 。
在
时，
指出下列函数中的无穷大量
在
时，
指出下列函数中的无穷大量
无穷小与无穷大之间的关系： 倒数关系
定理1.7 在自变量的同一变化过程中，如果
f ( x)是无穷小, 且 f ( x) 0, 1 则 是无穷大, f ( x) 1 f ( x)是无穷大, 则 是无穷小. f ( x)
无穷小的性质：
当x→x0时,如果f(x)、g(x)均为 无穷小,则当x→x0时: (1)f(x)±g(x)为无穷小；
由此可知有限个无穷小量的和 仍是无穷小量。
(2)无穷小与无穷小的乘积是仍 是无穷小。 由此可知有限个无穷小量的乘积 仍是无穷小量。
(3)有界变量与无穷小的积是仍是 无穷小. 常数与无穷小的乘积仍是无穷小。
例如 :
x x0
lim f ( x) 0
函数
当
时为无穷小;
函数 当 时为无穷小; 函数
当 时为无穷小.
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
定理1.5 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 函数 f (x)在 x x0时以常数A为极