最经典总结-对数与对数函数

[答案] ∪(10，＋∞)
考向四 由对数的单调性求参数或自变量的取值范围
4．(2018·中山模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为______．
[解析]当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，解之得1<a< .
与一般函数的求解定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致.
【针对补偿】
7．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷)设a＝log54，b＝log 3，c＝(log0.23)2，则a，b，c的大小关系为()
A．a＞b＞cB．b＞c＞a
C．a＞c＞bD．b＞a＞c
[解析]∵a＝log54∈(0,1)，b＝log 3＞1，c＝(log0.23)2＝(log53)2＜log53＜log54，∴b＞a＞c.故选D.
[答案]A
◆牛刀小试·成功靠岸◆
课堂达标(八)
[A基础巩固练]
1．(2018·武汉调研)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()
[解析]若函数y＝a|x|(a＞0，
且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的图象如图所示．故选B.
[答案]A
6．(2018·成都一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a＜b)，则()
A．a＋b＞0B．a＋b＞1
C．2a＋b＞0D．2a＋b＞1
[解析]作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，
由f(a)＝f(b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0.所以0＝ab＋a＋b＜ ＋a＋b，
(2)对公式要熟记，防止混用．
(3)对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0＜a＜1和a＞1分类讨论，否则易出错．
2．对数函数图象的两个基本点
(1)当a＞1时，对数函数的图象“上升”；
当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)， ，函数图象只在第一、四象限．
(4)(2017·课标Ⅰ)设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则()
A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z
[解析](1) ＝
＝2－log23，
又log2 ＝－log23，两者相加即为B.
(2)原式＝lg 5＋lg 2＋ －2＝1＋ －2＝－ .
(3)∵2x＝12，∴x＝log212，
当0<a<1时，f(x)在x∈[1,2]上是增函数，
由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，
且8－2a>0，所以a>4，且0<a<1，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是 .
[答案]
方法感悟
应用对数函数性质的常见题型与求解策略：
题型
求解策略
比较对数值的大小
(1)能化为同底数的对数值可直接利用其单调性进行判断．
【针对补偿】
5．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是
()
A．0＜a－1＜b＜1
B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1
D．0＜a－1＜b－1＜1
[解析]由函数图象可知，f(x)在R上递增，故a＞1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1＜logab＜0，解得 ＜b＜1.综上有0＜ ＜b＜1.
2．将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
【针对补偿】
1．( ＋ )2log( － ) ＝()
A．1B.
C. D.
[解析]原式＝( ＋ )log( － )5
[解析]由 得 故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.
[答案]C
考向二 比较大小
2．(2017·天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．b＜a＜cD．b＜c＜a
A. B.
C．(1， )D．( ，2)
[解析]法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在 上的图象，可知，f ＜g ，
即2＜loga ，则a＞ ，所以a的取值范围为 .
法二：∵0＜x≤ ，∴1＜4x≤2，∴logax＞4x＞1，
∴0＜a＜1，排除选项C，D；取a＝ ，x＝ ，
即(a＋b)(a＋b＋4)＞0，
显然－1＜a＜0，b＞0，
∴a＋b＋4＞0.∴a＋b＞0.故选A.
[答案]A
题型三 对数函数的性质及应用(高频考点题，多角突破)
考向一 求函数的定义域
1．函数f(x)＝ ＋lg 的定义域为()
A．(2,3)B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a＞0且a≠1,M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga ＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝ logaM(m，n∈R，且m≠0).
(2)对数的性质
①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．
＝( ＋ )log( ＋ ) ＝ .
[答案]D
2. ＝________.
[解析]原式＝
＝
＝－ .
[答案]－
3．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝________.
[解析]∵14b＝5，∴log145＝b，又log147＝a，
∴log3528＝ ＝ ＝ .
[答案]
4．设2a＝5b＝m，且 ＋ ＝2，则m＝________.
第5讲 对数与对数函数
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2， 的对数函数的图象．
3.体会对数函数是一类重要的函数模型．
A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1
[解析]由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c＜1.
[答案]D
(2)(2018·合肥月考)当0＜x≤ 时，4x＜logax，则a的取值范围是()
[解析]因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x＞0时，f(x)＞0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8＜2，又4＜5.1＜8，则2＜log25.1＜3，所以即0＜20.8＜log25.1＜3，g(20.8)＜g(log25.1)＜g(3)，所以b＜a＜c，故选C.
[答案]C
考向三 简单的对数不等式的解法
3．若f(x)＝lgx，g(x)＝f(|x|)，则g(lgx)＞g(1)时，x的取值范围是______．
[解析]当g(lgx)＞g(1)时，f(|lgx|)＞f(1)，由f(x)为增函数得|lgx|＞1，从而lgx＞1或lgx＜－1，解得0＜x＜ 或x＞10.
[答案]D
8．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为()
A．[1,2)B．[1,2]
C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)
[解析]令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有 即 解得1≤a＜2，即a∈[1,2)．
4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
高考多用于对数函数性质的考查，多以选择、填空题形式出现，低、中、高档题目都有，占5分左右.
[知识梳理]
1．对数的概念
如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
[解析]∵2a＝5b＝m＞0，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝ .
[答案]
题型二 对数函数的图象及应用(重点保分题，共同探讨)
(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()
(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033B．1053
C．1073D．1093
[解析]设 ＝x＝ ，两边取对数，lgx＝lg ＝lg 3361－lg 1080＝361×lg 3－80＝93.28，所以x＝1093.28，即 最接近1093，故选D.
[答案]D
3．(2018·成都模拟)函数y＝ 的定义域为________.
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝ ，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
(4)当x＞1时，y＞0
[答案]B
2．已知a＝2log34.1，b＝2log32.7，c＝ log30.1，则()
A．a>b>cB．b>a>c
C．a>c>bD．c>a>b
[解析]由log0.5(4x－3)≥0且4x－3＞0，得 ＜x≤1.
[答案]
题型一 对数的基本运(基础保分题，自主练透)
(1) ＋log2 ＝()
A．2B．2－2log23
C．－2D．2log23－2
(2) lg 25＋lg 2－lg －log29×log32的值是______．
(3)已知2x＝12，log2 ＝y，则x＋y的值为______．
∴x＋y＝log212＋log2 ＝log24＝2.
(4)令2x＝3y＝5z＝k(k＞1)，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k
∴ ＝ · ＝ ＞1，则2x＞3y，
＝ · ＝ ＜1，
则2x＜5z，故选D.
[答案](1)B(2)－ (3)2(4)D
方法感悟
对数运算的一般思路
1．首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
则有4 ＝2，log ＝1，显然4x＜logax不成立，排除选项A.
[答案]B
方法感悟
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
[知识自测]
1．(log29)·(log34)等于()
A. B.
C．2D．4
[解析]法一：原式＝ · ＝ ＝4.
法二：原式＝2log23· ＝2×2＝4.
[答案]D
2．(2017·北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是()
(2)既不同底数，又不同真数的对数值，先引入中间量(如－1,0,1等)，再利用对数函数的性质进行比较．
(3)底数不同，真数相同的对数值，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行．
解简单的对数不等式
先利用对数的运算性质化为同底的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解
求解对数型函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质
当0＜x＜1时，y＜0
(5)当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
(6)是(0，＋∞)上的增函数
(7)是(0，＋Βιβλιοθήκη Baidu)上的减函数
4．反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[知识感悟]
1．辨明三个易误点
(1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1.