1.3晶格振动解析
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0 1 2 3 4
n：1，2，3，4……N； aq：相邻原子的位相差； naq：第n个原子振动的位相差。
此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
如果第n个和n第个原子的位相之差：
(qna-qna)=2s(s整数)，
即
qn-qn=2s/a时，
原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各 个原子间的振动相互间存在着固定的位相关系 。 结果：在晶格中存在着角频率为的平面波-----格波。
---q的关系为周期函数。
根据函数的周期性，|qa/2|/2 即 |q| /a
在此范围以外的一切q值，只是重复此范 围的q值所得频率。该范围的长度正好是 倒格矢的长度(|-/a |+|/a|= 2/a) 。
q的正负号说明：
正的q对应在某方向前进的波，负的q对应 于相反方向进行的波。
色散关系：频率和波矢的关系。
（1）色散关系的数学表达式
将间谐振动方程：xn=Ae i(t-naq)代入
牛顿方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
得： 或
2={1-cos(qa)}2ks/m =2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|
上式为一维简单晶格中格波的色散关系（ ---q 的关系)，也为频谱关系。
3. 原子振动方程
4. 色散关系
条件：
每个原子都具有相同的质量m；
晶格常数（平衡时原子间距）为a；
热运动使原子离开平衡位置x。
n-2
n-1
n
n+1
n+2
n+3
xn-2
xn-1
xn
xn+1
xn+2
xn+3
一维原子链的振动
xn表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n个 原子相对第n+1个原子间的位移是： a+ xn– xn+1- a= xn – xn+1 同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是： xn – xn-1
（2）频谱图
色散关系为周期函数； 当q=0时，=0 当sin(qa/2)=1时，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2 max max
-2/a
-/a
0
/a
2/a
一维不喇菲格子振动的频谱
有：
(q)= (q+2 /a) q= /a=2 /
说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊区边长.
s
s+1
s+2
s+3
s+4
K或q
1.3.1 一维原子链的的振动 1.3.2 晶体振动的量子化 1.3.3 确定晶格振动谱的实验
1.3.1 一维原子链的振动
一、一维单原子晶格的线性振动 二、一维双原子晶格的线性振动 三、声学波和光学波 四、周期性边界条件
一、一维单原子晶格的线性振动
1. 原子间的作用力服从虎克定律 2. 原子间的运动规律服从牛顿定律
° ° n-2 ° ° n-1 ° ° ° n ° n+1 ° ° n+2
2/q=
° ° ° ° °
格波
格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的
波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的 形式在晶体中传播形成的波。
格波的特点： 晶格中原子的振动；
相邻原子间存在固定的位相。
4. 色散关系（晶格的振动谱）
则第n个原子所受原子的总力为：
F= Fn，n+1 +Fn，,n-1
得：
F=ks(xn+1+xn-1-2xn)
2. 原子间的作用力服从牛顿定律
第n个原子运动方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
3. 原子振动方程
晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）： xn=Aexpi(t-naq)、xn=Ae i(t-naq) 、xn=Acos(t-naq) A：振幅； ：角频率；
二 、一维双原子晶格的线性振动
1. 色散关系（晶格振动谱） 2n-2 2n-1
M m
° ° °
• • •
a
2a 双原子（ Mm）一维晶格 md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n) Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)
结论
如果q -q´ =2s/a （为任意整数）这两种
波矢对同一种原子所引起的振动完全相同。
对应某一确定振动状态，可以有无限多个
波矢q，它们之间都相差2/a的整数倍。
为ห้องสมุดไป่ตู้保证xn的单值性，把q值限制在(-/a,
/a), 其中a是该格子的晶胞常数，该范围正 好在第一布里渊区。
例如：波矢q´ =/2a原子的振动同样可以当作波矢 q =5/2a的原子的振动（ q -q´ =2/a）。
1.3 晶格振动
振动方向 波的传播方向 纵波
振动方向 横波 晶体中的弹性波
波传播方向
晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如， 固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格 的振动有关。
设：原胞中只含有一个原子， 整个原子平 面作同位相运动。
可以有三种振动波，一个纵向振动波，两 个横向振动波.
K或q
a
s-1
•
•
• •
•
绿线： q´ =/2a，=4a 两相邻原子振动的位相 差是/2。
红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相 差是2+ /2。
格波与一般连续介质波的比较
相同： 振动方程形式类似
区别：
[1] 连续介质波中x表示空间任意一点，而格波只 取呈周期性排列的格点的位置； [2] 一个格波解表示所有原子同时做频率为的振 动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为aq. [3] 二者的重要区别在于波矢的涵义（ 原子以q 与 q´振动一样 ，同一振动状态对应多个波矢，或多 个波矢为同一振动状态） 。
设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反 的弹性力； 两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。
1. 原子间的作用力服从虎克定律
第n个原子受第n+1个原子的作用力 ： Fn，n+1= -ks(xn- xn+1)
第n个原子受第n-1个原子的作用力：
Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1)
由布里渊区边界
得： / 2 = a
满足形成驻波的条件
q= ±/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条 件，反射波与入射波叠加形成驻波。
入射波
反射波
(3) 分析讨论
一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aei{t-qna} 将波矢 ： 得 q=2s/a+q´（为任意整数）代入 xn=Aei{t- (2s/a+q´ )na} = Aei 2sn ei(t- q´ na) ei 2sn=1 xn=Aei{t-q´na}= xn´
n：1，2，3，4……N； aq：相邻原子的位相差； naq：第n个原子振动的位相差。
此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
如果第n个和n第个原子的位相之差：
(qna-qna)=2s(s整数)，
即
qn-qn=2s/a时，
原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各 个原子间的振动相互间存在着固定的位相关系 。 结果：在晶格中存在着角频率为的平面波-----格波。
---q的关系为周期函数。
根据函数的周期性，|qa/2|/2 即 |q| /a
在此范围以外的一切q值，只是重复此范 围的q值所得频率。该范围的长度正好是 倒格矢的长度(|-/a |+|/a|= 2/a) 。
q的正负号说明：
正的q对应在某方向前进的波，负的q对应 于相反方向进行的波。
色散关系：频率和波矢的关系。
（1）色散关系的数学表达式
将间谐振动方程：xn=Ae i(t-naq)代入
牛顿方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
得： 或
2={1-cos(qa)}2ks/m =2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|
上式为一维简单晶格中格波的色散关系（ ---q 的关系)，也为频谱关系。
3. 原子振动方程
4. 色散关系
条件：
每个原子都具有相同的质量m；
晶格常数（平衡时原子间距）为a；
热运动使原子离开平衡位置x。
n-2
n-1
n
n+1
n+2
n+3
xn-2
xn-1
xn
xn+1
xn+2
xn+3
一维原子链的振动
xn表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n个 原子相对第n+1个原子间的位移是： a+ xn– xn+1- a= xn – xn+1 同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是： xn – xn-1
（2）频谱图
色散关系为周期函数； 当q=0时，=0 当sin(qa/2)=1时，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2 max max
-2/a
-/a
0
/a
2/a
一维不喇菲格子振动的频谱
有：
(q)= (q+2 /a) q= /a=2 /
说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊区边长.
s
s+1
s+2
s+3
s+4
K或q
1.3.1 一维原子链的的振动 1.3.2 晶体振动的量子化 1.3.3 确定晶格振动谱的实验
1.3.1 一维原子链的振动
一、一维单原子晶格的线性振动 二、一维双原子晶格的线性振动 三、声学波和光学波 四、周期性边界条件
一、一维单原子晶格的线性振动
1. 原子间的作用力服从虎克定律 2. 原子间的运动规律服从牛顿定律
° ° n-2 ° ° n-1 ° ° ° n ° n+1 ° ° n+2
2/q=
° ° ° ° °
格波
格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的
波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的 形式在晶体中传播形成的波。
格波的特点： 晶格中原子的振动；
相邻原子间存在固定的位相。
4. 色散关系（晶格的振动谱）
则第n个原子所受原子的总力为：
F= Fn，n+1 +Fn，,n-1
得：
F=ks(xn+1+xn-1-2xn)
2. 原子间的作用力服从牛顿定律
第n个原子运动方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
3. 原子振动方程
晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）： xn=Aexpi(t-naq)、xn=Ae i(t-naq) 、xn=Acos(t-naq) A：振幅； ：角频率；
二 、一维双原子晶格的线性振动
1. 色散关系（晶格振动谱） 2n-2 2n-1
M m
° ° °
• • •
a
2a 双原子（ Mm）一维晶格 md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n) Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)
结论
如果q -q´ =2s/a （为任意整数）这两种
波矢对同一种原子所引起的振动完全相同。
对应某一确定振动状态，可以有无限多个
波矢q，它们之间都相差2/a的整数倍。
为ห้องสมุดไป่ตู้保证xn的单值性，把q值限制在(-/a,
/a), 其中a是该格子的晶胞常数，该范围正 好在第一布里渊区。
例如：波矢q´ =/2a原子的振动同样可以当作波矢 q =5/2a的原子的振动（ q -q´ =2/a）。
1.3 晶格振动
振动方向 波的传播方向 纵波
振动方向 横波 晶体中的弹性波
波传播方向
晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如， 固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格 的振动有关。
设：原胞中只含有一个原子， 整个原子平 面作同位相运动。
可以有三种振动波，一个纵向振动波，两 个横向振动波.
K或q
a
s-1
•
•
• •
•
绿线： q´ =/2a，=4a 两相邻原子振动的位相 差是/2。
红线： q =5/2a, =4a/5 两相邻原子振动的位相 差是2+ /2。
格波与一般连续介质波的比较
相同： 振动方程形式类似
区别：
[1] 连续介质波中x表示空间任意一点，而格波只 取呈周期性排列的格点的位置； [2] 一个格波解表示所有原子同时做频率为的振 动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为aq. [3] 二者的重要区别在于波矢的涵义（ 原子以q 与 q´振动一样 ，同一振动状态对应多个波矢，或多 个波矢为同一振动状态） 。
设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反 的弹性力； 两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。
1. 原子间的作用力服从虎克定律
第n个原子受第n+1个原子的作用力 ： Fn，n+1= -ks(xn- xn+1)
第n个原子受第n-1个原子的作用力：
Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1)
由布里渊区边界
得： / 2 = a
满足形成驻波的条件
q= ±/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条 件，反射波与入射波叠加形成驻波。
入射波
反射波
(3) 分析讨论
一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aei{t-qna} 将波矢 ： 得 q=2s/a+q´（为任意整数）代入 xn=Aei{t- (2s/a+q´ )na} = Aei 2sn ei(t- q´ na) ei 2sn=1 xn=Aei{t-q´na}= xn´