数学建模人口预测模型
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i
(8)
• 即 (t ) 是第 t 年 i1 岁的每位妇女一生平均生 b (t ) 育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制 人口数量的主要参数. 生育模式hi (t ) 是 i 岁妇 女生育的加权因子, 若hi (t ) hi (t ) 表示 i 岁 妇女的生育率比 i 岁妇女的生育率高。制订生 育政策就是确定 (t )和hi (t ) ,通过 (t )控制生育 的多少, 通过 hi (t )可以控制生育的早晚和疏密.
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最 大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1 周岁)的人数, t 0,1,2,, i 0,1,2,, m .只考虑由 于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会 因素的影响. 记 d i (t ) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量. • 如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来 描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立 相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的, 要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也 是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描 述, 用差分方程来实现它. •
• 将(5)式代入(4)式,并记 • 则(4)式写作
bi(t ) (1 d00 (t ))( 1 d0 (t ))hi (t )ki (t )
x1 (t 1) (t ) bi(t ) xi (t )
i i1 i2
(9)
(10)
• 引入向量,矩阵记号
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),, xm (t )] 0 0 1 d (t ) 0 1 A(t ) 1 d 2 (t ) 0 0
• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间, ki (t ) 为第t 年 i 岁人口 的女性比, 则第t 年的出生人数为
f (t ) bi (t )ki (t ) xi (t )
i i1
i2
(2)
• 记 d00 (t ) 为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到 人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人 口统计和建模中一般都不能忽略),
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x(t 1) A(t ) x(t ) (t ) B(t ) x(t )
(14)
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并 且给定了总和生育率 (t ) 以后,用这个方程不难预测人 口的发展方程.
T
(11) 0 0
0 0 1 d m1 (t )
(12)
0 0 bi1 (t ) bi2 (t ) 0 0 0 0 B(t ) (13) 0 m m 0
(15)
(16)
1 m R(t ) ixi (t ) N (t ) i 0
(17)
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下: • 死亡率用下列公式外推:
i (1978 )[1 (t 1978 )103 ] i 5, i 50 i (t ) i (1978 ) 5 i 50
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t )作为控 制变量. • 在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女 性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为 •
x(t 1) Ax(t ) (t ) Bx(t )
• 注: 这里有两个明显的人口指数: • 1)人口总数N(t) m • N (t ) xi (t ) i 0 • • 2)平均年龄R(t)
i2
(7 )
• 可知 (t )表示第t 年每个育龄妇女平均生育的人 数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的 女性生育率 bi (t ) 都不变,那么 (t ) 又可表示为
(t ) bi (t ) bi 1 (t 1) bi (t i2 i1 )
1 1 2
将 b (t )分解为
i
i i1
i2
(4)
bi (t ) (t )hi (t )
时生育率的高低, 满足
i2
(5)
(6)
其中hi (t ) 是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄
h (t ) 1
i i1 i
利用(6)式对(5)式求和得到:
(t ) bi (t )
i i1
ห้องสมุดไป่ตู้
• 于是
f (t ) x0 (t ) d 00 (t ) f (t )
x0 (t ) (1 d00 (t )) f (t )
(3)
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
x1 (t 1) (1 d00 (t ))( 1 d0 (t )) bi (t )ki (t ) xi (t )
人口预测与控制
• 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. • 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁 着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋近于 零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题. 对于我国来说, 尤其为甚. 建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数 学在社会发展中的重要应用领域. 我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模 型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
• 于是
xi (t ) xi 1 (t 1) di (t ) xi (t )
bi (t )
xi 1 (t 1) (1 di (t ))xi (t ),
• •
i 0,1,2,m 1, t 0,1,2
(1)
记 bi (t ) 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
• 生育模式取 分布的离散值:
r 18 1 4 2 ( r 18 ) e , h(r ) 768 0,
(18)
r 18 r 18
(19)
• 性别比ki (t ) 取统计数据的平均值0.487,在不同的总和生 育率 下得到1980---2080年的一系列结果,计算结果表 明: • 1)若 3 (七十年代中期水平), 则2000年将达到 14.2亿, 2080年达到43.1亿,近于当前世界全人口总和. • 2)若 2.3 (约为1980年水平),则2000年将达到12.9 亿,2080年为21.2亿. • 3)若 2 (大约是保持人口长期稳定的水平), 则 2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降. • 4)若 1.5 ,则在2007年达到最大值,到2080年降至 7.8亿(1968年的水平) • 5)若 1 即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子 的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5亿.
(8)
• 即 (t ) 是第 t 年 i1 岁的每位妇女一生平均生 b (t ) 育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制 人口数量的主要参数. 生育模式hi (t ) 是 i 岁妇 女生育的加权因子, 若hi (t ) hi (t ) 表示 i 岁 妇女的生育率比 i 岁妇女的生育率高。制订生 育政策就是确定 (t )和hi (t ) ,通过 (t )控制生育 的多少, 通过 hi (t )可以控制生育的早晚和疏密.
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最 大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1 周岁)的人数, t 0,1,2,, i 0,1,2,, m .只考虑由 于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会 因素的影响. 记 d i (t ) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量. • 如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来 描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立 相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的, 要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也 是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描 述, 用差分方程来实现它. •
• 将(5)式代入(4)式,并记 • 则(4)式写作
bi(t ) (1 d00 (t ))( 1 d0 (t ))hi (t )ki (t )
x1 (t 1) (t ) bi(t ) xi (t )
i i1 i2
(9)
(10)
• 引入向量,矩阵记号
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t ),, xm (t )] 0 0 1 d (t ) 0 1 A(t ) 1 d 2 (t ) 0 0
• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间, ki (t ) 为第t 年 i 岁人口 的女性比, 则第t 年的出生人数为
f (t ) bi (t )ki (t ) xi (t )
i i1
i2
(2)
• 记 d00 (t ) 为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到 人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人 口统计和建模中一般都不能忽略),
• 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作
x(t 1) A(t ) x(t ) (t ) B(t ) x(t )
(14)
• 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并 且给定了总和生育率 (t ) 以后,用这个方程不难预测人 口的发展方程.
T
(11) 0 0
0 0 1 d m1 (t )
(12)
0 0 bi1 (t ) bi2 (t ) 0 0 0 0 B(t ) (13) 0 m m 0
(15)
(16)
1 m R(t ) ixi (t ) N (t ) i 0
(17)
• 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下: • 死亡率用下列公式外推:
i (1978 )[1 (t 1978 )103 ] i 5, i 50 i (t ) i (1978 ) 5 i 50
在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将 (t )作为控 制变量. • 在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女 性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为 •
x(t 1) Ax(t ) (t ) Bx(t )
• 注: 这里有两个明显的人口指数: • 1)人口总数N(t) m • N (t ) xi (t ) i 0 • • 2)平均年龄R(t)
i2
(7 )
• 可知 (t )表示第t 年每个育龄妇女平均生育的人 数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的 女性生育率 bi (t ) 都不变,那么 (t ) 又可表示为
(t ) bi (t ) bi 1 (t 1) bi (t i2 i1 )
1 1 2
将 b (t )分解为
i
i i1
i2
(4)
bi (t ) (t )hi (t )
时生育率的高低, 满足
i2
(5)
(6)
其中hi (t ) 是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄
h (t ) 1
i i1 i
利用(6)式对(5)式求和得到:
(t ) bi (t )
i i1
ห้องสมุดไป่ตู้
• 于是
f (t ) x0 (t ) d 00 (t ) f (t )
x0 (t ) (1 d00 (t )) f (t )
(3)
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
x1 (t 1) (1 d00 (t ))( 1 d0 (t )) bi (t )ki (t ) xi (t )
人口预测与控制
• 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. • 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁 着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋近于 零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题. 对于我国来说, 尤其为甚. 建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数 学在社会发展中的重要应用领域. 我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模 型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总
• 于是
xi (t ) xi 1 (t 1) di (t ) xi (t )
bi (t )
xi 1 (t 1) (1 di (t ))xi (t ),
• •
i 0,1,2,m 1, t 0,1,2
(1)
记 bi (t ) 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性平均生
• 生育模式取 分布的离散值:
r 18 1 4 2 ( r 18 ) e , h(r ) 768 0,
(18)
r 18 r 18
(19)
• 性别比ki (t ) 取统计数据的平均值0.487,在不同的总和生 育率 下得到1980---2080年的一系列结果,计算结果表 明: • 1)若 3 (七十年代中期水平), 则2000年将达到 14.2亿, 2080年达到43.1亿,近于当前世界全人口总和. • 2)若 2.3 (约为1980年水平),则2000年将达到12.9 亿,2080年为21.2亿. • 3)若 2 (大约是保持人口长期稳定的水平), 则 2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降. • 4)若 1.5 ,则在2007年达到最大值,到2080年降至 7.8亿(1968年的水平) • 5)若 1 即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子 的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5亿.