与圆有关的定点定值最值与范围问题(1)

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揭秘3年高考
当点 P 为圆 C 与 x 轴的右交点(3,0)时，PPAB＝|t－8 3|. 依题意，|t＋2 3|＝|t－8 3|，解得 t＝－5(舍去)或 t＝－95.
下面证明点 B－95，0对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数． 设 P(x，y)，则 y2＝9－x2，
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(2)由平面几何可知，当 PC 最小时线段 PC 与⊙C 交于 M，此时 PM 的值最小． 因为 PC＝ a2＋b－12＝ 4b＋1＋b－12＝
b2＋2b＋2＝ b＋12＋1，且 b＝14a2－14≥－14， 所以当 b＝－14时，PCmin＝54，此时 PMmin＝PCmin－1＝14.
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
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法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
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4．(2012·盐城模拟)与直线x＝3相切，且与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝ 1相内切的半径最小的圆的方程为________． 解析 要使圆的半径最小，则所求圆的圆心为12，－1，此时 r ＝3－2－2＝52，故所求圆的方程为x－122＋(y＋1)2＝245.
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
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考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
由直线 l 与圆 O 相切，得 a|a2＋b| b2＝ 2，
即a12＋b12＝12.
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所以 DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)a12＋b12 ＝22＋ab22＋ba22≥22＋2 ba22·ab22＝8， 当且仅当 a＝b＝2 时等号成立， 此时直线 l 的方程为 x＋y－2＝0. (3)设 M(x1，y1)，P(x2，y2)，则 N(x1，－y1)，x21＋y21＝2，x22＋y22 ＝2.直线 MP 与 x 轴交点为x1yy22－ －xy12y1，0， 即 m＝x1yy22－ －xy12y1.
解析 即求两圆公共弦为直径的圆的方程．两圆的公共弦所
在直线的方程 l：x－2y＋4＝0.圆 C1 的半径 r1＝5 2，圆心 (1，－5)到 l 的距离．d＝|1＋105＋4|＝3 5，则公共弦长为 l ＝2 r21－d2＝2 50－45＝2 5，连心线的方程 l1：2x＋y＋3 ＝0，与 l 的交点为(－2,1)． 答案 (x＋2)2＋(y－1)2＝5
答案 x－122＋(y＋1)2＝245
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
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解 (1)过 P 作 PH⊥l 于 H， 则由题意可得 PQ＝ PC2－1，PH＝|b＋1|. 因为 PQ＝PH，所以 a2＋b－12－1＝|b＋1|， 即 a2＋(b－1)2－1＝(b＋1)2， 整理，得 a，b 满足的关系式是 a2＝4b＋1.
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直线 NP 与 x 轴交点为x1yy22＋ ＋xy12y1，0，
即 n＝x1yy22＋ ＋xy12y1.
所以
mn
＝
x1y2－x2y1 y2－y1
·
x1y2－x2y1 y2＋y1
＝
x21y22－x22y12 y22－y21
＝
2－y21yy2222－ －y221－y22y21＝2yy2222－－yy2121＝2，
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
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3.
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2半径r1、r1，d＝O1O2)
相离
外切
相交 内切 内含
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3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a， b∈R)对称，则ab的取值范围是________． 解析 由题意知，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标 为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得 2a＋2b＝2，即 a＋b＝
1≥2 ab，所以 ab≤14. 答案 －∞，14
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2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
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(1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P，则|AP|＝23 2， 又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，
得|MP|＝ 12－89＝13， 又∵|MQ|＝||MMAP||2，∴|MQ|＝3. 设 Q(x,0)，而点 M(0,2)， 由 x2＋22＝3，得 x＝± 5， 则 Q 点的坐标为( 5，0)或(－ 5，0)． 从而直线 MQ 的方程为 2x＋ 5y－2 5＝0 或 2x－ 5y＋2 5＝0.
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(2)证明 设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上，此圆的方程为 x(x－q)＋y(y－2)＝0， 而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为 qx－2y＋3＝ 0，所以直线 AB 恒过定点0，32.
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图形
几何 量 观点 化
方程 观点
d＞ _r_1_＋__r2_
Δ_＜__0
d＝ _r_1＋__r_2_
Δ_＝__0
|r1－r2| ＜d＜r1
＋r2 Δ_＞__0
d＝ _|r_1－__r_2_|
Δ_＝__0
d＜ _|r_1_－__r_2|
Δ_＜__0
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【助学·微博】 一个考情分析
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【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
故 mn＝2 为定值．
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考向三 与圆有关的最值与范围问题
【例3】 (2012·扬州中学质检(三))已知⊙C：x2＋ (y－1)2＝1和直线l：y＝－1，由⊙C外一点P(a， b)向⊙C引切线PQ，切点为Q，且满足PQ等于P 到直线l的距离． (1)求实数a，b满足的关系式； (2)设M为⊙C上一点，求线段PM长的最小值； (3)当P在x轴上时，在l上求一点R，使得|CR－PR|最大．
答案 4
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考向一 与圆有关的定点问题
【例 1】 已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q 是 x 轴上的动点，QA， QB 分别切⊙M 于 A，B 两点． (1)若|AB|＝43 2，求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程； (2)求证：直线 AB 恒过定点．
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
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考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
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解 (1)因为 O 到直线 x－y＋1＝0 的距离为 1 ， 2
所以圆 O 的半径 r＝

1
2＋
62＝
2 2
2，
故圆 O 的方程为 x2＋y2＝2.
(2)设直线 l 的方程为xa＋by＝1(a>0，b>0)， 即 bx＋ay－ab＝0.
所以53λ42λ＋2－t＝t2－0，9＝0. 解得λt＝＝－35，95
或λt＝＝－1，5 (舍去)．
故存在点 B－95，0对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为常数35.
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[方法总结] 解与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或 证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．这里 是采用的另外一种方法，即先设出定值，再通过比较系数 法求得．
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(3)因为 a2＝4b＋1，令 b＝0，得 a＝±1. 由题意知 P1(1,0)，P2(－1,0)．由平面几何可知，当 R 为直 线 CP 与直线 l 的交点时，|CR－PR|取最大值． 因为直线 CP1 方程为 y＝－x＋1，直线 CP2 方程为 y＝x＋ 1.所以由yy＝ ＝－ －x1＋ ，1， 解得yx＝＝－2，1. 由yy＝ ＝－x＋11，， 解得xy＝＝－－12.，
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解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
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[方法总结] 与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动 直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直 线或动圆的方程．
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【训练1】 已知圆x2＋y2＝1与x轴交于A、B两 点，P是该圆上任意一点，AP、PB的延长线 分别交直线l：x＝2于M、N两点． (1)求MN的最小值； (2)求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求 出该定点的坐标． (1)解 设 M(2，t1)，N(2，t2)，则由 A(－1,0)，B(1,0)，且 AM⊥