2018年福建省泉州市南安一中高二上学期数学期中试卷和解析(文科)

2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（5分）在等比数列{a n}中，若a6=6，a9=9，则a3为（）
A．2 B．C．D．4
2．（5分）不等式x2﹣4x﹣5＜0 的解集为（）
A．{x|﹣1＜x＜5}B．{x|﹣5＜x＜1}C．{x|x＞5或x＜﹣1}D．{x|x＞1或x ＜﹣5}
3．（5分）F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）
A．B．
C．D．
4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=6，则S9的值为（）A．27 B．36 C．45 D．54
5．（5分）“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的（）
A．必要且不充分条件B．充分且不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）
A．20（1+）m B．20（1+）m C．20（1+）m D．20（1﹣）m 7．（5分）已知实数x，y，满足约束条件，则（x+1）2+y2的最小值为（）
A．3 B．1 C．2 D．
8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3+2a n（n∈N*），则这个数列一定是（）
A．等比数列B．等差数列
C．从第二项起是等比数列D．从第二项起是等差数列
9．（5分）P为椭圆上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，若线段PM上存在点Q满足，则点Q的轨迹方程为（）
A．+y2=1B．
C．D．
10．（5分）已知△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
11．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）
A．钱 B．1钱 C．钱 D．钱
12．（5分）椭圆上到直线2x﹣y﹣4=0距离最近的点的坐标是（）A．B．C．D．
二、填空题：每小题5分，共20分，请将答案填在横线上.
13．（5分）数列的前n项和为S n，则S99等于．
14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为．15．（5分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁
的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为．16．（5分）给出下列四个命题：
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么；②已知a、b、m都是正数，并且a＜b，则；③若a、b∈R，则a2+b2+5≥2（2a﹣b）；④函数f（x）=2﹣3x﹣的最大值是2﹣4．其中正确命题的序号是把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{a n}中，a2=5，a5=11，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和．
18．（12分）已知椭圆C：，直线l：y=x+m，
（Ⅰ）m为何值时，直线l与椭圆C相交；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．19．（12分）如图，在，点D在边AB上AD=DC，DE⊥AC，E为垂足．
（1）若△BCD的面积为，求CD的长；
（2）若，求角A的大小．
20．（12分）已知函数f（x）=a1x+a2x2+…+a n x n（n为正偶数），其中{a n}构成等差数列，又f（1）=n2，f（﹣1）=n，
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．
21．（12分）设△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+c=b （1）求角A大小；
（2）若a=1，求周长P的取值范围．
22．（12分）已知点是离心率为的椭圆C：上
的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（5分）在等比数列{a n}中，若a6=6，a9=9，则a3为（）
A．2 B．C．D．4
【解答】解：在等比数列{a n}中，由a6=6，a9=9，
得．
故选：D．
2．（5分）不等式x2﹣4x﹣5＜0 的解集为（）
A．{x|﹣1＜x＜5}B．{x|﹣5＜x＜1}C．{x|x＞5或x＜﹣1}D．{x|x＞1或x ＜﹣5}
【解答】解：不等式x2﹣4x﹣5＜0化为（x﹣5）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜5．∴不等式x2﹣4x﹣5＜0的解集为{x|﹣1＜x＜5}．
故选：A．
3．（5分）F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由椭圆的定义，4a=16，a=4，又e==，∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，
则椭圆的方程是
故选：D．
4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=6，则S9的值为（）A．27 B．36 C．45 D．54
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=6，
∴S9=（a1+a9）=×2a5=9a5=54．
故选：D．
5．（5分）“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1表示椭圆”的（）
A．必要且不充分条件B．充分且不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由方程mx2+ny2=1得，所以要使方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，
则，即m＞0，n＞0且m≠n．
所以，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
故选：A．
6．（5分）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）
A．20（1+）m B．20（1+）m C．20（1+）m D．20（1﹣）m 【解答】解：如图所示，设观测点为C，CP=20为点C与塔AB的距离，
∠ACP=30°，∠BCP=45°．
则AB=AP+CP=PC•tan30°+CP•tan45°
=20×+20×1=20（1+），
即塔AB的高度是20（1+）m，
故选：A．
7．（5分）已知实数x，y，满足约束条件，则（x+1）2+y2的最小值为（）A．3 B．1 C．2 D．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
（x+1）2+y2=（）2，其几何意义为可行域内动点（x，y）到定点A （﹣1，0）的距离的平方，
由图可知，最小值为A到直线x+y=1的距离的平方，等于（）2=2．
故选：C．
8．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3+2a n（n∈N*），则这个数列一定是（）
A．等比数列B．等差数列
C．从第二项起是等比数列D．从第二项起是等差数列
【解答】解：由题意得：a1=S1=3+2a1，求得a1=﹣3，
a1+a2=3+2a2，可得a2=﹣6，
S n=3+2a n（n∈N*），…①
=3+2a n﹣1，…②
所以当n＞1时，S n
﹣1
①﹣②得，a n=2a n﹣2a n﹣1，整理可得a n=2a n﹣1，
即=2，则数列{a n}是以2为公比的等比数列，
故选：A．
9．（5分）P为椭圆上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，若线段PM上存在点Q满足，则点Q的轨迹方程为（）
A．+y2=1B．
C．D．
【解答】解：设点P坐标（x0，y0），线段PM上存在点Q满足，
∴Q为PM的中点，
设Q的坐标（x，y），
因为P为椭圆上的动点，
∴+=1 ①，
则由中点公式知，，即，
代入①化简得：+y2=1．
故选：A．
10．（5分）已知△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：在△ABC中，若sinA＞，则．满足A＞，即充分性成立，
若A=＞，但sinA＞不成立，即必要性不成立．
故，“sinA＞”是“A＞”的充分不必要条件，
故选：A．
11．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等．”，则其中分得钱数最多的是（）
A．钱 B．1钱 C．钱 D．钱
【解答】解：依题意设5人所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，
则a﹣2d=a﹣2×（﹣）=a=．
故选：D．
12．（5分）椭圆上到直线2x﹣y﹣4=0距离最近的点的坐标是（）A．B．C．D．
【解答】解：设与直线2x﹣y=4平行且与椭圆上相切的直线l的方程为：2x﹣y=t，
由，化为6x2﹣4tx+t2﹣2=0．（*）
∴△=﹣8t2﹣48=0，化为t2=6，解得t=±．
∵直线2x﹣y﹣4=0在椭圆的下方，故直线2x﹣y=t系中靠近2x﹣y﹣4=0的直线t＞0，
取t=，代入（*）可得：6x2﹣4x+4=0，解得x=，y=﹣
故选：A．
二、填空题：每小题5分，共20分，请将答案填在横线上.
13．（5分）数列的前n项和为S n，则S99等于．
【解答】解：由=，
可得S 99=+…+=1﹣=．
故答案为：．
14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为
．
【解答】解：由三角形面积公式可知AB•ACsin60°=，
∴AB=2，
由余弦定理可知：
BC==．
故答案为：．
15．（5分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．
【解答】解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，
当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．
故答案为：1760．
16．（5分）给出下列四个命题：
①若a＞b＞0，c＞d＞0，那么；②已知a、b、m都是正数，并且a＜b，
则；③若a、b∈R，则a2+b2+5≥2（2a﹣b）；④函数f（x）=2﹣3x﹣的最大值是2﹣4．其中正确命题的序号是②③把你认为正确命题的序号都填上）
【解答】解：a＞b＞0，c＞d＞0，
∴且0＜b＜a
所以0＜⇒，故①不正确；
对于②，
∵b＞0，m＞0，b+m＞0，b﹣a＞0
∴，故，②正确；
对于③，∵（a2+b2+5）﹣2（2a﹣b）=（a﹣2）2+（b﹣1）2≥0，
∴对任意a、b∈R，都有a2+b2+5≥2（2a﹣b），故③正确；
对于④，∵f（x）=2﹣3x﹣=2﹣（3x+），
且|3x+|≥2=4，得3x+≤﹣4或3x+≥4，
∴f（x）=2﹣3x﹣的值域为（﹣∞，2﹣4]∪[2+4，+∞），
所以函数没有最大值，故④不正确．
故答案为：②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{a n}中，a2=5，a5=11，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和．
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=5，a5=11，
∴a1+d=5，a1+4d=11，
联立解得a1=3，d=2，
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
（Ⅱ）=22n+1=2×4n．
∴数列{b n}的前n项和=2（4+42+…+4n）=2×=．
18．（12分）已知椭圆C：，直线l：y=x+m，
（Ⅰ）m为何值时，直线l与椭圆C相交；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）联立方程组，消去y，整理得3x2+2mx+2m2﹣1=0，
∵直线l与椭圆C相交，
∴△≥0，即（2m）2﹣4×3（2m2﹣1）≥0，
解得﹣≤m≤
故m的取值范围为[﹣，]
（Ⅱ）设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），
∵OA⊥OB，
∴•=0，
∴x1x2+y1y2=0，
由（Ⅰ）可得x1x2=，x1+x2=﹣，
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=m2﹣，
∴+m2﹣=0，
解得m=±，经检验，均符合题意，
故直线方程为y=x+或y=x﹣．
19．（12分）如图，在，点D在边AB上AD=DC，DE⊥AC，E为垂足．
（1）若△BCD的面积为，求CD的长；
（2）若，求角A的大小．
【解答】解：（1）由已知在，
得，
又，
∴．
在△BCD中，由余弦定理得：，
∴．
（2）在△CDE中，
∵AD=DC，
∴A=∠DCE，
∴，
在△BCD中，
又∠BDC=2A，
得，
，
∴，
解得：，
所以．
20．（12分）已知函数f（x）=a1x+a2x2+…+a n x n（n为正偶数），其中{a n}构成等差数列，又f（1）=n2，f（﹣1）=n，
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．
【解答】解：（Ⅰ）设数列的公差为d，
因为f（1）=a1+a2+a3+…+a n=n2，则a1+d=n2，即2a1+（n﹣1）d=2n．
又f（﹣1）=﹣a1+a2﹣a3+…﹣a n
+a n=n，即×d=n，d=2．
﹣1
解得a 1=1．
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
证明：（Ⅱ）f（）=（）+3（）2+5（）3+…+（2n﹣1）（）n，①
两边都乘以，可得f（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n﹣1）（）n+1，②
①﹣②，得f（）=+2（）2+2（）3+…+2（）n﹣（2n﹣1）（）n+1，
即f（）=++（）2+…+（）n﹣1﹣（2n﹣1）（）n+1
∴f（）=1+1+++…+﹣（2n﹣1）
=1+﹣（2n﹣1）=1+2﹣﹣（2n﹣1）=3﹣（2n+3）（）n；
则f（）=3﹣（2n+3）（）n；
又由（2n+3）（）n＞0，
易得3﹣（2n+3）（）n＜3，
则f（）＜3．
21．（12分）设△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+c=b （1）求角A大小；
（2）若a=1，求周长P的取值范围．
【解答】解：（1）由及正弦定理知，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴=sinAcosC+cosAsinC
即，
∴，
∵A∈（0，π），
∴
（2）解法一：由余弦定理得，
∴b+c≤2，
又b+c＞2=1，
∴1＜b+c≤2即周长P=b+c+1∈（2，3]，
解法二：由正弦定理得，
∴，
所以周长
，
∵，
∴
从而周长P=b+c+1∈（2，3]
22．（12分）已知点是离心率为的椭圆C：上
的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2
∴a=2，，
∴椭圆方程为．…（5分）
（Ⅱ）设直线BD的方程为
由，消去y可得
∴，，
由△=﹣8b2+64＞0，可得
∴，
设d为点A到直线BD：的距离，∴
∴，
当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．…（12分）
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【模型三】
双垂型：图形特征：
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

C
D
B。