高等数学竞赛60题Word版

1、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且3

10

)(1 lim e x x f x x

x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+

+→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.

分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。另外求一点的导数往往要用定义。

解 由31

])

(1[lim e x

x f x x

x =+

+→得3]

)

(1ln[lim

0=+

+→x

x x f x x ，

因为分母极限为零，从而分子极限为零，即0])

(1ln[lim 0

=++→x

x f x x ， 可以得到0)

(lim

=→x

x f x ， 同样，我们有)0(0)(lim 0

f x f x ==→， 由导数的定义得00

)

0()(lim

)0('0

=--=→x f x f f x 。

另外，注意：

()3f x x x x

+

→，得4)0("=f 。 2、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足：

),[,+∞∈∀a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。

证明：

x

x f )

(在),[+∞a 有界。 证明： 由条件知，),[+∞∈∀a x ，有|||)()(|a x K a f x f -≤-， 则|)(||||)(||)()(||)(|a f a x K a f a f x f x f +-≤+-≤，

从而

a

a f K x a f x a x K x a f x a x K x x f |)(||

)(||||)(|||||)(+≤+-=+-≤， 故

x

x f )

(在),[+∞a 有界。 3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++<=0

,;0

,)(2x c bx ax x e x f x 且f

(0)存在, 试确定常数a , b , c .

解：由条件可知函数)(x f 在0=x 处连续, 故1)0(==f c 。

由条件可知)(x f '在0=x 处连续,且⎩⎨⎧>+<='0

,2,

0 ,)(x b ax x e x f x , 故1)0(='=f b 。

因此⎩⎨⎧≥+<=',0 ,12;0 ,)(x ax x e x f x 从而⎩

⎨⎧><=''0 ,2,0 ,)(x a x e x f x ，故1)0(2=''=f a ，则21

=a 。

4、设当1->x 时, 可微函数)(x f 满足条件0d )(11)()( 0

=+-

+'⎰x

t t f x x f x f ，且

1)0(=f ，试证: 当0≥x 时, 有1)(≤≤-x f e x 成立.

证明: 设由题设知1)0(-='f , 则所给方程可变形为

⎰=-++'+x

t t f x f x x f x 0

0d )()()1()()1(.

两端对x 求导并整理得

0)()2()()1(='++''+x f x x f x ，

这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得

x

C x f x

+='-1e )(.

由1)0(-='f 得1-=c , 01e )(<+-='-x

x f x

, 可见)(x f 单减. 而1)0(=f , 所以当0≥x 时,1)(≤x f 。

对01e )(<+-='-t

t f t

在],0[x 上进行积分得 x x t x

t

e t e t t e

f x f --=-≥+-=⎰⎰0

-0d 1d 1)0()(.

5、计算三重积分

⎰⎰⎰

++=

V

dxdydz c

z b y a x I )(22

2222。 其中V 是椭球体122

2222≤++c

z b y a x 。

解： 由于

abc dx a x x a bc

dxdydz a x a

a

V

ππ154)1(2

22

22

2

=-=⎰

⎰⎰⎰

-。

同理可得

abc dxdydz b

y V

π154

2

2=⎰⎰⎰

， abc dxdydz c

z V

π154

2

2=⎰⎰⎰

。

所以 abc abc I ππ5

4

)154(

3==。

6、设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '==

求证：( 0, 1 )ξ∃∈ 使 ()2f ξ''=.

分析：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容，往往也是研究生考试和数学竞赛的命题的重点。平时练习时，采用多种方法去解决，能有效地提高解题能力。这种题目难点是构造出一个合适的函数。 证1 令2

()(),F x f x x x =-+ 则 []

()0,1(0,1),F x C D ∈ (0)(1)F F =

由洛尔定理知 (0,1), ()0F ηη'∃∈=

()()21F x f x x ''=-+, []()0,1(0,1)F x C D '∈, (1)(1)10()F f F η'''=-==

由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''∃∈==-= 证2 在1x =展开为一阶泰勒公式

2111

()(1)(1)(1)()(1), (,1)2

f x f f x f x x ξξ'''=+-+-∈ 1

(0)(1)(1)(), (0,1)2

f f f f ξξ'''=-+

∈ 因(0)(1) , (1)1,f f f '== 故 (0,1), () 2 f ξξ''∃∈= 证3 令 2

1()()()2

F x f x x =--, 用两次洛尔定理。

7、设f 在],[b a 上可微，且a 与b 同号，证明：存在),(b a ∈ξ，使 （1）)(')()]()([222ξξf a b a f b f -=-； （2）)('ln )()(ξξf a b a f b f ⎪⎭

⎫

⎝⎛=-.

证：（1）令2)(x x g =，显然g f ,在],[b a 上满足Cauchy 中值定理的条件，所以

ξ

ξ2)

(')()(2

2f a b a f b f =

--， 即 )(')()]()([222ξξf a b a f b f -=-.

（2）令||ln )(x x g =，显然g f ,在],[b a 上满足Cauchy 中值定理的条件，所以