利用旋转解决几何问题精品课件

例 3 如图 3，将边长为 2 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一
个绕点 B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为 4 3
多少 解：连结BH。
由旋转可知，Rt△BA' H RtBCH
又因为 SBCH
14 23
3
所以 1 BC HC 2 3
2
3
又BC=2，所以HC 2 3 3
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11、人总是珍惜为得到。20.9.3019:53: 1119:5 3Sep-2 030-Se p-20
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12、人乱于心，不宽余请。19:53:1119:53:1119:53Wednesday, September 30, 2020
1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，M、N 是斜边 AB 上的 点，且∠MCN=45°，AM=3，BN=5，则 MN= 34 ．
分析：基于在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC 及 AM、BN、MN 共线特点的考虑，选择旋转法 解答，目的就是设法将这三条线段以等线段替换的方式集中在一个三角形中．将△ACM 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△BCQ，连结 QN
图形的旋转
基础回顾
旋转具有以下特征：
（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应角、对应线段相等； （4）图形的形状和大小都不变。
旋转的思想：旋转是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而 将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的 解决，它是一种要的解题方法。
而PA、PD、PC三条线段较为分散，故可考虑旋转法，目的就是将三条 线段以等线段替换方式集中在一个三角形中．
将△APD绕点C顺时针旋转90°得到△CDE，连结PE
CE2+PE2=9k2，CP2=9k2，即CE2+PE2= CP2
如图 6，正方形 ABCD 的边长为 1，AB、AD 上各存一点 P、Q，
则以线段 OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是
多少？
A
O
B
C
图2
分析：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。
提示：△BOM是等边三角形
（二）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时 针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个 ΔP' CP为等腰直角三角形。
提示：△ BNQ为Rt△ 提示：△MCN≌△QCN
推论：在解题过程中，会发现图形中的线段AM、BN、MN组成一个直角三角形， 即有结论：MN2=AM2+BN2．
类比练习：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D 是 BC 上的
任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．
A
B
D
C
提示：将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE，连结 ED．
P
B
C
分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中， 为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC。
提示1：△BPH是等边三角形 提示2：△HCP是Rt△ 提示3：∠HPC=30° ？！ 提示4： △BCP是Rt△
2 如图 2，O 是等边三角形 ABC 内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，
由勾股定理得
3 ，则这个旋转的角度为
BH 2 22 ( 2 3 )2 4 4 16
3
33
BH 4 3 3
在Rt△BCH中， HC 2 3 ，BH 4 3
3
3
所以∠HBC=30°
所以∠ A'BC=60°，∠ ABA'
=30°， 所以这个旋转角为30°
Hale Waihona Puke 4.如图 4，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与 CBP' 重合， 若 PB=3，求 PP' 的长。
简析：线段 PA，PB，PC 比较分散 可以利用旋转将它们集中到 一个三角形中，为此可将△ACP 绕 A 点逆时针旋转 60°可得△ABPˊ
提示：△APPˊ 为正三角形 提示：△PBPˊ 为直角三角形
1.如图 1 所示，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，
A
PA=2，PB= 2 3 ，PC=4，求△ABC 的边长。
例2．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3 ，PB=1，PC=2。求∠ BPC的度数。
1350
分析：将ΔACP绕C点逆时针旋转90度，AC与 BC重合，得ΔCBPˊ
提示1： ΔCBPˊ为等腰直角三角形 提示2： ΔBPPˊ为直角三角形 ( ⊙o⊙?)
32
图4
提示：将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与重合，实际上就是把△ABP顺时 针方向旋转90°可得△BCP`，即<PBP`=90°。
如图 5, P 是正方形 ABCD 内一点，且满足 PA：PD：PC=1：2：3， 则∠APD= 135°.
分析：设PA=k，则PD=2k，PC=3k(k>0)
图5
若△APQ 的周长为 2，求∠PCQ 的度数。
D C
Q A
PB
图6
把△CDQ绕点C旋转90°到△CBF的位置，CQ=CF。
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。20.9.3020.9.30Wednesday, September 30, 2020
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。19:53:1119:53:1119:539/30/2020 7:53:11 PM
一、旋转在解三角形中的应用
（一）正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB 与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于 图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
例 1. 如图：（1-1）：设 P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4， PC=5，∠APB 的度数是___1_5_0_0__.
提示：△BED 为Rt △ △AED 为Rt △
( ⊙o⊙?)
二、旋转在正方形中的运用
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转 900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段 集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。