菲涅耳衍射

2015/11/21
衍射区域的划分
光阑

近 场 区
远 场 区
几何投影区
菲涅耳衍射区
夫朗和费衍射区
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4.泰伯效应(1836) 1830年泰伯发现：用单色平面波垂直照射一个周期性物体, 在物体后面周期性距离上出现物体的像的现象. 一维周期性物体的复振幅透过率：

—菲涅耳衍射公式 该式与用惠更斯—菲涅尔—基尔霍夫标量理论导出的菲涅耳 衍射公式完全一样。
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由二项式近似可知，菲涅耳衍射成立的条件为
2 z 1 2 2 2 2 2 f x f y 1 8
因而
2 z 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 2 2 8 z z
r z 2 x y y0 2 z 1 2 z 2 z
----菲涅尔衍射近似条件 由上述近似条件，得到菲涅尔衍射公式：
U x, y
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1
k 2 k 2 2 2 U x, y exp jkz exp[ j ( x y )]F{U x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} j z 2z 2z
幅度变换 二次相位因子 二次相位因子
1
观察平面上频率取值与坐标的关系：
x y fx , f y z z
zT 2d 2 / ---泰伯距离
泰伯效应：不用透镜对周期性物体实现成像的现象。
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Z=m2d2/
m 为整数
泰伯正像
透明周期物
Z=d2/
Z=d2/
Z=d2/
Z=d2/
泰伯效应示意图
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G f x G0 f x H f x
n n 2 c ( f ) exp( jkz ) exp[ j z ( ) ] n x d d n


当传输距离z满足条件：
z 2md 2

m
2d 2

m=0, 1, 2
x0
P0 ( x0 , y0 ,0)
n 2 则： exp[ j z ( ) ] 1 d
菲涅耳衍射：可看作是输入受二次相位因子调制的傅立叶变换
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2.用角谱衍射理论推导菲涅耳公式 两个平行平面之间角谱传播规律为
A( cos cos cos cos , , z ) A( , ,) exp jkz cos cos
已知两个平行平面之间角谱传播规律为
A( cos cos cos cos cos cos , , z ) A( , , 0) H ( , )






在单位振幅单色平面波照射下，输入物光场的空间频谱为：
n n G0 f x F{1 g0 x0 } F{ cn exp( j 2 x0 ) } cn F{exp( j 2 x0 ) } d d n n n cn ( f x ) d n
已知菲涅耳衍射传递函数：
x0
H f x exp( jkz)exp( j zf x 2 )
y0
P0 ( x0 , y0 ,0)
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因此，观察平面上场分布的频谱：
G f x G0 f x H f x

n c ( f ) exp( jkz ) exp( j zf x 2 ) n x d n
x0


y0
P0 ( x0 , y0 ,0)
A(
cos cos cos cos , ,0) H ( , )
---传递函数 假定孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度，并且只 对轴附近的一个小区域内进行观察，则有
2 2 z x0max y0max
及
2 2 z xmax ymax
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菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
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菲涅 耳衍 射和 夫琅 和费 衍射 图样
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1.菲涅尔衍射公式 已知： U P
j r 1
jkr U P K e ds 0
在傍轴近似下，K ( ) 1 并利用二项式近似
n g0 x0 cn exp( j 2 x0 ) d n (n=0, 1,.....)

x0
P0 ( x0 , y0 ,0)
y0
d——周期 讨论z处的光场，这是一个菲涅耳衍射问题。 讨论菲涅耳衍射问题的两种思路：1、空间域内衍射积分公式 2、频率域——角谱理论
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1 j z

k ( x 2 y 2 )] 2z
k 2 2 U 0 x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]exp[ j 2 ( f x x0 f y y0 )]dx0dy0 2 z
k 2 k 2 2 2 exp jkz exp[ j ( x y )]F{U x0 , y0 exp[ j ( x0 y0 )]} j z 2z 2z
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因而 f x cos x x0 1,
z
H(
f y cos
y y0 1, z
cos cos , ) exp jkz 1 cos 2 cos 2




二项式展开
用二项式展开，只保留一次项，略去高次项，则




exp j x y jz z


因此有 得:
h( x x0 , y y0 )

1 j z
exp( jkz ) exp{ j
k [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ]} 2z
U ( x, y, z ) U ( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0dy0

1 j z
exp jkz exp[ j
k ( x 2 y 2 )] 2z k 2 2 2 ( x0 y0 )]exp[ j ( xx0 yy0 )]dx0dy0 2z z



U 0 x0 , y0 exp[ j
exp jkz exp[ j






2 2 exp( jkz ) exp[ j z ( f f x y )]exp{ j 2 [ f x ( x x0 ) f y ( y y0 )]}df x df y
利用高斯函数的傅里叶变换和傅里叶变换的相似性定理有
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exp j z f f exp j f x x f y y df x df y x y
1 1 1 2 f x2 2 f y2 1 2 ( f x2 f y2 ) 1 (cos 2 cos 2 ) 2 2 H( cos cos kz , ) exp( jkz ) exp[ j (cos 2 cos 2 )] 2
则：
U x, y

U x , y h x x , x y ds
0 0 0 0

菲涅耳光衍射的物理意义：受入射光波加权的用二次曲面代 替球面的惠更斯子波的叠加结果
可见，菲涅耳近似下光传播过程具有空间平移不变性。
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exp jkz 2 2 k dx0dy0 U x, y U x , y exp j x x y y 0 0 0 0 j z 2z
即：
H ( f x , f y ) exp( jkz)exp[ j z( f x 2 f y 2 )]
---传递函数
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A( f x , f y , z) A( f x , f y ,0) H ( f x , f y )
对上式作傅里叶反变换有
U ( x, y, z) F 1{A( f x , f y , z)} F 1{A( f x , f y ,0)} F 1{H ( f x , f y ,)}

exp( jkz) 2 2 U ( x , y ,0) exp{ j [( x x ) ( y y ) ]}dx0dy0 0 0 0 0 j z z

展开此式
exp( jkz) k U ( x, y) exp[ j ( x y ) U ( x , y ) jz z exp[ j k ( x y )]exp[ j ( xx yy )]dx dy z z
§ 2-4 菲涅耳衍射理论
– 4.1、菲涅耳衍射公式 – 4.2、用角谱理论推导菲涅尔衍射公式 – 4.3、菲涅尔衍射举例 – 4.4、夫琅和费衍射公式
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两种类型的衍射 1. 菲涅耳衍射： 光源或接收屏之一距离衍射屏为有限远时的衍射； 衍射屏上入射光或衍射光的相位为坐标的较复杂函数。 2. 夫琅和费衍射： 光源和接收屏均距离衍射屏为无限远时的衍射； 即入射光为平行光，衍射光也为平行光。
n
c ( f
n

n n 2 ) exp( jkz ) exp[ j z ( ) ] x d d
当传输距离z满足条件：
z md 2

m
d2

m=0, 2, 4
n 2 exp[ j z ( ) ] 1 则： d
z md 2

m
d2

m= 1, 3
U ( x0 , y0 ,0) h( x0 , y0 ,0)
U ( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0dy0

因为 h( x x0 , y y0 ) H ( f x , f y ) exp{ j 2 [ f x ( x x0 ) f y ( y y0 )]}df xdf y
3
2
2 2 2 2 2 2 ( x x0 ) ( y y0 ) ( L0 L1 ) 所以观察距离满足 z max 4 4
这种近似称为菲涅耳近似或近轴近似
2 2 L0 ( x0 y0 ) max ----孔径的最大尺寸
L1 ( x 2 y 2 ) max ----观察区的最大区域
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y0
则：
G fx
n c ( f ) exp( jkz ) n x d n

做逆傅里叶变换： 强度为：
g x0 g0 x0 exp( jkz)
I g x0 g0 x0
2 2
可见在 zT 2d 2 / 的整数倍距离上，可以观察到物体的像。
2 2 k exp jkz U x0 , y0 exp j x x0 y y0 dx0dy0 j z 2z
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令：
h x x0 , y y0
exp jkz 2 2 k exp j x x0 y y0 j z 2z