第十二章 离散小波变换

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精确重建递推公式 x0 (t ) 2 x(t ), j (t ) j (t ) A B j 2 x(t ), j (t ) xN 1 (t ), j (t ) j (t ) A B j
xN (t ) xN 1 (t )
Digital Signal Processing
c j ,k , j ,k (t ) B c j ,k
2 j k

a0j
, k 0
(t ) 2 j , k (t ) j , k (t ), j Z , k Z

R小波 与框架 小波相 比,具 有更高 的要求
Digital Signal Processing
j
)dt
二进小波变换定义成卷积形式,CWT是内积形式
定义 '(t ) (t )
WTx ( j, ) x(t )* 'k , (t ) 2 j / 2 x(t ) 'k , (
t )dt 2j 2 j / 2 sgn( j ) x(t ), 'k , (t )
K ( j0 , k0 ; j, k ) a j , k (t ) *j
0 0 a00 ,k0 0
(t )dt a j , k (t ),
0 0
a0 0 , k0 0
j
(t )
正交小波基:
K ( j0 , k0 ; j, k ) ( j j ') (k k ')
t ), ~ j 2
二进小波变换在信号的奇异性检测和图像处理方面有着 广泛应用
Digital Signal Processing
二进小波变换
定义
WTx ( j, ) x(t )* k , (t ) 2 j / 2 x(t ) k , (
t
2
0 0

小波框架的频域表示
0 ln a0 2
A

0
ln a0 ˆ ( ) d 02 B 1 2
Digital Signal Processing
对偶小波框架和信号重建
当 A B 1时
a
j 0 , k 0
(t ) a j ,k (t )
j k
j , k (t ) x(t ) x(t ), j , k (t )
j k
计算小波级数的关键是寻找R小波和求解对偶小波
Digital Signal Processing
小波分类
正交小波
(t 是一个 ) R小波
( t ), j Z , k Z满足正交性条件 j ,k
x(t ) x(t ), j (t ) j (t )
j
当 A B 1 时,紧框架
信号分解不具惟一性
(t ) A1 (t ) j j
最经济重建公式x(t ) A1 x(t ), j (t ) j (t )
j
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
12.3小波级数
小波级数
定义
离散化尺度的幂级数基底和位移离散化参数 a0 2, 0 1 的离散小波变换
R小波 和 Riesz基

j ,k
(t ), j Z , k Z
2
c l
j ,k
2
(Z )
2
A c j ,k

2 1 0 2 a {..., a0 a0 , a0 , a1 0 ,, a0 ...}
幂级数基底a0的取值反映了尺度离散化程度
a0越接近1,离散化程度越低,越大于1,离散化程度越高
离散化程度高,从离散小波变换结果恢复(重建)分析信号 的难度就越大,对母小波的要求越高 尺度参数离散化的常用幂级数基底a0=2
k
小波级数系数
j , k (t ) d j , k x(t ),
Digital Signal Processing
半正交小波
(t 是一个 ) R小波
j ,k (t ), j Z , k Z尺度和位移方向均不满足正交性条件
对偶小波与原R小波在尺度和位移方向正交
2 k
0 A B
2 2
A x(t ) x(t ), k (t ) B x(t )
Tk [ x(t )] x(t ), k (t )
称k (t ), k Z 构成L2 ( R)空间的一个框架
框架甚至是紧框架不一定能构成空间的的一个基。这意 味着任一信号按基函数 k (t ), k Z 展开时,其展开系数 不一定具有唯一性
0 0

离散小波变换中的“离散”含义是指对尺度参数和位 移参数进行离散化,并没有对分析信号和小波函数中的 时间变量进行离散化
Digital Signal Processing
尺度和位移离散化的规则
Digital Signal Processing
12.2框架理论
框架定义
k (t ), k Z
j
(t ) (t ) x(t ) x(t ), j j
j
Digital Signal Processing
对偶框架的计算和原函数的重建
当 A B 1 时
{ j (t ), j Z}构成正交基, 信号分解具惟一性
(t ) (t ) j j
j ',k ' (t ) ( j j ') (k k ') j ,k (t ),
小波级数系数
j , k (t ) d j , k x(t ),
Digital Signal Processing
小波函数的重要特性
正交性
适合重建精确度和数据压缩
紧支撑性
2 WTa j , k (t ) a j , k (t ) 0 0 0 0 A B j k
Digital Signal Processing
连续小波变换离散化参数和框架的关系
(t )
2 3
1/ 4 (1 t 2 )et
2
/2
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
小波函数位移离散化方法
0 a a0 1 位移 的离散化间隔
0 k 0 , k Z
j a a0 1
j j 位移 的离散化间隔 a0 0 k a0 0 , k Z
j a ( ) (a0 t )在时间方向扩展a0j 倍
Digital Signal Processing
第十二章
离散小波变换
Digital Signal Processing
12.1尺度和位移的离散化方法
小波函数尺度离散化方法
a, (t )
1 a a a0j , a0 1, j Z
(
t ), a 0, ~ a
0 0
x(t ) x(t ), a j , k (t ) a j , k (t ) WTa j , k (t ) a j , k (t )
j k
0 0 0 0
j
k
0
0
0
0
当 A B 1时,紧框架
a
j 0 , k 0
(t ) A1 a j ,k (t )
0 0
x(t ) A1 x(t ), a j , k (t ) a j , k (t )
j k
0 0 0 0
A1 WTa j , k (t ) a j , k (t )

A B 时
x(t )
j
k
Baidu Nhomakorabea
0
0
0
0
2 a j , k (t ) j (t ) 0 0 A B a0 , k 0

j ,k (t ), j ',k ' (t ) ( j j ') (k k ')
正交小波具有自对偶 小波级数系数
j , k (t ) j , k (t )
d j , k x(t ), j , k (t )
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
对偶框架
(t ) F * F (t ), k Z k k
1
2 (t ) 2 A1 x(t ) B1 x(t ) x(t ), k k 2
原函数的重建
(t ) x(t ) x(t ), j (t ) j
半正交小波
(t 是一个 ) R小波
j ,k (t ), j Z , k Z仅在尺度方向满足正交性条件
j , k (t ), j ', k (t ) ( j j ')
对偶小波
ˆ ( ) ˆ ( ) 2 ˆ ( 2 k )
小波框架的性质
满足框架条件的小波函数必然是允许小波
离散小波变换不具备时移不变特性
Digital Signal Processing
离散小波的重建核方程 1 WTx (a0j0 , k0 0 ) x(t ) *j (t ) dt 0 ,k a A 0 0 0
* 1 WTa j , k (t ) j0 (t ) j0 (t )dt a0 , k 0 0 0 A j k a0 ,k0 0 1 WTa j , k (t ) a j , k (t ) *j (t )dt 0 0 0 0 a00 ,k0 0 A j k 1 WTa j , k (t ) K ( j0 , k0 ; j , k ) 0 0 A j k
t a
Digital Signal Processing
小波函数离散化
a , (t )
j j a0 (a0 t k 0 ) a j , k (t )
0 0
a a0j
,
ka0j 0
j , k Z
离散小波变换
* WTx ( j , k ) WTx (a0j , k 0 ) x(t ) a (t )dt j , k
小波框架
小波框架的定义
尺度、伸缩离散化构成的函数簇
2 2 j k
0 0

a0j
, k 0
(t ), j Z , k Z

A x(t ) x(t ), a j ,k (t ) B x(t )
2
当0 A B a j , k (t ), j Z , k Z 构成小波框架
减少截断误差影响信号重建精确度 线性相位性 小波函数具有奇对称或偶对称性减少相位失真
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12.4二进小波变换
尺度和位移都离散化的离散小波变换牺牲了位移不变性
二进小波变换只对尺度进行离散化处理位移仍连续变化
a
j 0 , 0
(t ) 2 j , (t ) 2 j / 2 (

A B 时
2 j (t ) A B
(t ) 对偶框架的一阶近似 j
近似重建公式x(t )
2 x(t ), j (t ) j (t ) Rx(t ) A B j 2 B A x(t ), j (t ) j (t ), R A B j B A
小波级数表达式
x(t ) d j , k j , k (t )
j k
对偶R小波
j ',k ' (t ) ( j j ') (k k ') j ,k (t ),
j , k (t ) d j , k x(t ),
j , k (t ) j , k (t ) x(t ) x(t ),
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