第十二章 离散小波变换
离散小波变换matlab
离散小波变换matlab一、离散小波变换介绍离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）是一种基于小波分析的数学方法，它可以将信号分解成不同尺度的频带，从而实现信号的多分辨率分析。
与傅里叶变换相比，离散小波变换更加适用于非平稳信号的处理，如图像、音频等。
二、matlab中的离散小波变换函数matlab提供了多种离散小波变换函数，常用的有dwt和wavedec两个函数。
1. dwt函数dwt函数用于对一维信号进行单层离散小波变换。
其语法为：[c,l] = dwt(x, wname)其中，x为输入信号，wname为所选用的小波基名称。
c为输出系数向量，l为各层输出长度向量。
2. wavedec函数wavedec函数用于对一维信号进行多层离散小波分解。
其语法为：[c,l] = wavedec(x, n, wname)其中，x为输入信号，n为所需分解层数，wname为所选用的小波基名称。
c为输出系数向量，l为各层输出长度向量。
三、matlab中的离散小波重构函数与离散小波变换函数对应，matlab也提供了离散小波重构函数，常用的有idwt和waverec两个函数。
1. idwt函数idwt函数用于对单层离散小波变换系数进行重构。
其语法为：x = idwt(c, l, wname)其中，c为输入系数向量，l为各层输出长度向量，wname为所选用的小波基名称。
x为输出信号。
2. waverec函数waverec函数用于对多层离散小波分解系数进行重构。
其语法为：x = waverec(c, l, wname)其中，c为输入系数向量，l为各层输出长度向量，wname为所选用的小波基名称。
x为输出信号。
四、matlab中的图像处理中的应用离散小波变换在图像处理中有广泛应用。
常见的应用包括图像压缩、边缘检测、图像增强等。
1. 图像压缩利用离散小波变换可以将图像分解成不同尺度的频带，在高频子带上进行量化和编码可以实现图像压缩。
离散小波变换与框架-38页文档资料
1
2
e ijx
ˆ ( x
2 k )
2
dx
2 k 0
1
2 (k 1)
e ijy
ˆ ( y )
2
dy
2
k
2k
1
e ijx
ˆ ( x )
2
dx
2
（ 1）（ 2）：
( x k ), ( x l )
( x k ) ( x l )dx
( y j ) ( y )dy
对连续小波的离散化处理：
定义:
bj,k
k 2j
b0
对W ( f )(b, a)离散化
j, k Z,b0 0
W (
f
)(bj
,k
,
1 2j
)
f , j,k
d j,k
j
其中： j,k＝22 (2 j t kb0 )
连续小波离散化后的问题：
1.{dj,k}是否保留f的了全部信息。 2.怎样{d由 j,k}重构 f。
存在0 AB,对f L2,
A f
2 f ,j,k
2
B f
2
则称j,k满足稳定性条件。
框架的定义：
若函数 L2,生成的函数 j,k满 序足 列稳定性条 则称 {j,k}是L2上的一个框架。
A, B称为框架界。
若A＝B，则称框架为紧框架。
定理：
若j,k是L2上的一个框架，则存 函在 数序列~j,k，
一些注释：
3. 在实际中，我们很难知道T-1的表达方式。从
而求“对偶”框架通常是很困难的。解决的 办法有两种。
1) 加强框架的生成条件。（例如：正交，半正 交条件）
2) 近似。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
离散小波变换
长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。
各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。
本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。
1.1 离散小波变换DWT1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法先对一维小波变换作一简单介绍。
设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ，)2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与)}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。
记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为：∑∑+=+=-kkjk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1其中：∑=-=-+112)(p n j n k jk c n h c ，∑=-=-+112)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jkψ来确定，p 为权系数的长度。
}{0n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。
由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。
所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。
离散小波变换
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
离散小波变换公式原理
离散小波变换公式原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，简称DWT）是一种在信号与图像处理中常用的变换方法。
它是将信号或图像通过一对分析滤波器和合成滤波器进行卷积运算，得到信号或图像的低频分量和高频分量。
(1) 分解（Analysis）:将长度为N的输入信号x(n)通过低通滤波器h(n)和高通滤波器g(n)分别卷积得到低频分量和高频分量：L(k) = Sum(h(i) * x(2*k-i))H(k) = Sum(g(i) * x(2*k-i))其中，L(k)表示k时刻的低频分量，H(k)表示k时刻的高频分量。
(2) 上采样（Upsampling）和滤波（Filtering）:将得到的低频分量和高频分量分别进行上采样（插值）和卷积运算，得到长度为2N的信号：LL(k) = Sum(h(i) * L(2k-i))HL(k) = Sum(g(i) * L(2k-i))L(k)=LL(k)H(k)=HL(k)(3) 递归（Recursion）:重复以上过程，将得到的低频分量和高频分量再次进行分解，直到分解到指定的层数。
这个过程可以用一棵二叉树来表示，每个节点对应一个分解层，汇聚到根节点的路径就是一个信号或图像的分解系数序列。
一、滤波器组的选择离散小波变换通过一对滤波器组来进行分解和合成，低通滤波器h(n)用于提取信号或图像的低频成分，高通滤波器g(n)用于提取信号或图像的高频成分。
滤波器组的选择决定了小波变换的性质。
常用的小波滤波器有Daubechies小波、Haar小波、Symlets小波等。
二、多尺度分析1.小波变换具有良好的时间局部性，能够更好地捕捉信号或图像的短时特征。
2.小波变换不仅能够提取信号或图像的低频成分，还能够提取高频细节信息，可以在对信号或图像进行降噪、压缩等处理时发挥较好的作用。
3.小波变换可以进行多尺度分析，对信号或图像的不同频率特征进行精细化处理。
小波变换
1、 离散小波变换
小波变换是一种信号的时频分析方法，具有良好的时频局部分析特性。
图像经2维小波变换后，可得到一个低频子带和3个高频子带，图像的低频子带系数包含了图像的主要能量，高频子带系数对应图像的细节信息。
设原始图像为0C ，H 、G 是一维小波滤波器矩阵，r 和c 是图像的行和列，则小波变换分解算法可以描述为：
1j r c j C H H C += 式(2-3)
1v j r c j D H G C += 式(2-4)
1h j R c j D G H C += 式(2-5) 1d
j r c j D G G C += 式(2-6)
其中，0,1,......1j J =-，,,h v d 分别代表水平、垂直、和对角分量，*H 、*G 分别是H 、G 的共轭转置矩阵，相应的重构算法为：
********1111v h d j r c j r c j r c j r c j G H H C H G D G H D G G D ++++=+++ 式(2-7)
离散小波变换具有良好的时频分析特性，所以基于离散小波变换的融合算法与传统的基于金字塔变换的融合算法相比，具有更好的融合效果。
但在进行小波变换时，由于采用了行列降采样，使得图像的大小发生了变化，每层图像的大小均为其上一层图像大小的1/4，而且这种图像变换不具有平移不变性，这在图像融合处理过程中往往是不利的，尤其是在图像配准精度不高的情况下。
图像处理 第十二章 小波变换
第十二章小波变换目录11引言22连续小波变换33二进小波变换3.1 3.1Haar变换44离散小波变换4.1 4.1多分辨率分析4.2 4.2快速小波变换算法4.3 4.3离散小波变换的设计4.4 4.4二维离散小波变换4.5 4.5双正交小波变换55Gabor变换作业1.1.引言小波变换是近年来在图象处理中受到十分重视的新技术，面向图象压缩、特征检测以及纹理分析的许多新方法，如多分辨率分析、时频域分析、金字塔算法等，都最终归于小波变换（wavelet transforms）的范畴中。
线性系统理论中的傅立叶变换是以在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数的。
对于瞬态信号或高度局部化的信号（例如边缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，它们的变换系数（频谱）不是紧凑的，频谱上呈现出一幅相当混乱的构成。
这种情况下，傅立叶变换是通过复杂的安排，以抵消一些正弦波的方式构造出在大部分区间都为零的函数而实现的。
为了克服上述缺陷，使用有限宽度基函数的变换方法逐步发展起来了。
这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，它们是有限宽度的波并被称为小波（wavelet）。
基于它们的变换就是小波变换。
2.2.连续小波变换（CWT）所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。
基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：即基本小波在频域也具有好的衰减性质。
有些基本小波实际上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。
一组小波基函数是通过尺度因子和位移因子由基本小波来产生： 连续小波变换定义为：连续小波变换也称为积分小波变换。
连续小波逆变换为： 二维连续小波定义为：二维连续小波变换是：二维连续小波逆变换为：∞<ψ==⎰⎰∞∞-∞∞-ds ss C dt t 2)(0)(ψψ而且其频谱满足条件：)(1)(,a bx ax b a -=ψψdx abx x f adx x x f x f b a W b a b a f )()(1)()()(,),(,,-=>==<⎰⎰∞∞-∞∞-ψψψ2,0)(),(1)(a dadbx b a W C x f b a f ψψ⎰⎰∞∞-∞=),(1),(,,ab y a b x a y x y x b b a yx--=ψψdxdy y x y x f b b a W y x b b a y x f ),(),(),,(,,ψ⎰⎰∞∞-∞∞-=3,,0),(),,(1),(a dadb db y x b b a W C y x f y x b b a y x f y x ψψ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞=2.1 滤波器族解释这里将小波变换与一族带通线性（卷积）滤波器相联系，作为小波变换的一种解释。
离散小波转换
1. 離散小波轉換(Discrete Wavelet Transformation, DWT)與DCT相似，都 是一種將空間域影像轉換成頻率域影像 的技術。
1
2. 低頻特性：
1. 2. 3. 4.
肉眼對低頻敏感度較高 像素與像素之間的變化小 影像較平滑、細緻且清楚 低頻部分的值稍有改變，人的眼睛一看就 知道
第二階離散小波轉換的結果 (即第一階離散小波轉換的結果)
9
6. 離散小波轉換係數的掃描順序
為了達到漸進式影像的傳送的目的，以 scan order這種方式來傳送離散小波轉換 後的影像。scan order傳送方法是由低頻 先傳送，再傳送中頻，最後才是高頻；因 為低頻是影像最重要的地方，中頻及高頻 都是用來加強低頻的，所以這種傳送方式 會讓傳輸的影像由模糊到清楚。
7
LL1 LH1
HL1 HH1
LL2
HL2
LH2 HH2 LH1 第二階
LL3 LH3 HL3 HH3
HL1 HH1
第一階 HL2
影像最重 要的部分
HL1 HH2
LH2
LH1HH1ຫໍສະໝຸດ 三階Harr函數離散小波轉換結果
第三階
8
20 17 15 21
15 16 18 22
30 31 17 19
20 22 25 18
17
13
X
LL2
HL2 HL1
LH2
Y
HL1
HH1
(a)二階離散小波轉換後的結果
14
X
LL2
X
LH2
Y
Y
LH1
(b)與(a)相對應的quadtree位置
15
8. 離散小波轉換公式(Haar)：
第十二章 离散小波变换 ppt课件
12．2框架理论
框架定义
k (t), k Z 0 A B
A x(t) 2 x(t),k (t) 2 B x(t) 2 Tk [x(t)] x(t),k (t) k
称k (t), k Z构成L2 (R)空间的一个框架
框架甚至是紧框架不一定能构成空间的的一个基。这意
(t)dt
1
A
j
k WTa0j ,k0 (t)
(t) a0j ,k0
*
a0j0 ,k0
0
(t)dt
1
Aj
k WTa0j ,k0 (t)K ( j0 , k0 ; j, k)
K ( j0 , k0; j, k)
(t) (t)dt a0j ,k0
x(t) x(t),j (t) j (t)
j
当 A B 1 时，紧框架
信号分解不具惟一性
j (t) A1 j (t)
最经济重建公式x(t) A1 x(t), j (t) j (t) j
ppt课件
8
Digital Signal Processing
小波框架的频域表示
A 0 ln a0 2
1
0
ˆ ()
2
d
0 ln a0 2
B
ppt课件
10
Digital Signal Processing
对偶小波框架和信号重建
当 A B 1时
a0j ,k0 (t) a0j ,k0 (t)
x(t) j
味着任一信号按基函数 k (t), k Z 展开时，其展开系数
morlet离散小波变换
morlet离散小波变换
Morlet离散小波变换（Discrete Morlet Wavelet Transform，DMWT）是一种基于小波分析的信号处理方法，用于分析和
处理非平稳信号。
它是由小波函数Morlet小波（Morlet wavelet）构成的小波变换方法。
Morlet小波是一种连续小波，经过离散化处理后可以应用于离散信号的分析。
Morlet小波是由高斯函数和复指数函数（调制信号）相乘得到的复值函数。
它在时域上是振荡的，频域上是局部化的，能够捕捉到信号的局部特征。
Morlet小波变换通过将信号与一系列Morlet小波进行卷积来获得信号的频域表示。
Morlet离散小波变换的步骤如下：
1. 对输入信号进行小波分解，将信号分解成一组小波系数。
2. 对每个小波系数进行频域变换，得到频域表示。
3. 对频域表示进行滤波和重构，得到重构信号。
Morlet离散小波变换可以用于信号的特征提取、数据压缩、噪声去除等应用。
它在时频域上具有良好的局部化特性，能够准确地描述信号的瞬时特征和频率特征，因此被广泛应用于地震信号处理、生物医学信号处理等领域。
dwt离散小波变换
dwt离散小波变换一、什么是DWT离散小波变换？DWT（Discrete Wavelet Transform）离散小波变换是一种用于信号处理和数据压缩的数学算法。
它将信号分解成多个频带，并且每个频带都有不同的时间和频率特征。
这种变换可以用于图像处理、音频处理、视频压缩等领域。
二、DWT离散小波变换的原理DWT离散小波变换的原理基于小波分析，它将一个信号分解成多个子信号，每个子信号都代表了原始信号的不同频率范围内的信息。
这些子信号被称为小波系数，它们被表示为一个矩阵。
在DWT中，一个输入信号首先被分成两部分：低频部分和高频部分。
低频部分包含输入信号中较慢变化的部分，而高频部分则包含输入信号中较快变化的部分。
接下来，低频部分再次被划分为两个子带：低低（LL）和高低（HL）子带；而高频部分则划分为高高（HH）和低高（LH）子带。
这种划分方式可以继续递归地进行下去，直到达到所需的精度为止。
三、DWT离散小波变换的应用1. 图像处理DWT可以用于图像压缩和去噪。
在图像压缩中，DWT将图像分解成多个频带，然后根据不同的重要性对这些频带进行编码。
在去噪中，DWT可以通过滤波器来去除图像中的噪声。
2. 音频处理DWT可以用于音频压缩和降噪。
在音频压缩中，DWT将音频分解成多个子带，并根据它们的重要性选择性地保留这些子带。
在降噪中，DWT可以通过滤波器来去除音频中的杂音。
3. 视频处理DWT可以用于视频压缩和去噪。
在视频压缩中，DWT将视频分解成多个空间域和时间域上的子带，并根据它们的重要性选择性地保留这些子带。
在去噪中，DWT可以通过滤波器来去除视频中的噪声。
四、如何实现DWT离散小波变换？实现DWT离散小波变换需要以下步骤：1. 选择小波基函数：选择一种合适的小波基函数，如Haar、Daubechies、Symlets等。
2. 分解信号：将输入信号分解成多个频带，每个频带都有不同的时间和频率特征。
3. 重构信号：将分解后的信号进行重构，得到原始信号或近似信号。
离散小波变换与框架ppt
(F F )1 f , F F (F F )1 f (F F )1 f , f
利用式3-16,有:
B1 f , f , (F F )1 f , f A1 f , f
将以上两式合并,有:
B1 f 2 f ,~j 2 A1 f 2
(式3-19)
jJ
上式表明, ~j jJ 就是H空间得一个框架。
2 A
(FF) f B
Rf N 1
(将R表达式代入)
f N 1
2 (F F )( f A B
f N 1)
最后得到迭代公式
f N
f N 1
2 A B
[
jJ
f , j
f N 1, j
] j
f0
2 (FF) f A B
2 A B
jJ
f , j
j
(式3-30) (式3-31)
三、小波框架(本节定理证明参见《小波十讲》) 现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)得问题
令：c Ff ,即c j f , j ,则上式变为：
F Ff f , j j jJ
f (F F )1 f , j j f , j (F F )1 j
jJ
jJ
同理:
f f , j ~j jJ
f f ,~j j jJ
(式3-21) (式3-22)
以上两式就就是 f 得重构公式,由<f, φj >重构 f 需要求出框架
c j0 ,k0 f (t), j0 ,k0 (t) f (t) j0 ,k0 (t)dt
c j,k~j,k (t) j0,k0 (t)dt
R
c j,k
~j,k (t) j0,k0 (t)dt
离散小波变换与正交小波
例 5.3 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0
(t) 1 1 t , 0 t 2
0,
其他
从几何上看， (t) 显然是一个基本小波
易知 (t) s(t) s(t 2)
t, 0 t 1 这里 s(t) 2 t, 1 t 2
0, 其他
是个帐篷函数
s()
s(t)eitdt
1teit dt
2 (2 t)eitdt
0
1
ei
i
1 ei
(i)2
ei
i
ei2 ei
(i)2
1 ei
i
2
ˆ () sˆ() e2i sˆ() (1 e2i )(1 ei )2 i
构成了子空间 S { f (t) L2(R) | fˆ() 0, }
的一个标准正交基
令S2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m}，则 S2m
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
正交小波
且对任意
其中
cj,k
f (t) cj,k j,k (t)
j,k
正交小波级数分解
f (t), j,k (t) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
称为 f 的小波系数
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
《离散小波变换》课件
3 Symlets小波
4 Coiflets小波
对称小波基函数，适用于处理对称性较强 的信号，具有快速计算、紧凑型等特点。
小波基函数的一种变体，可以实现任意精 度的小波变换，适用于信号去噪、图像压 缩等领域。
DWT有哪些实用应用？
信号去噪
从功率谱角度出发，去除信号 中的高频成分，使信号更加纯 净，信噪比更高。
图像压缩
通过离散小波变换将图像分解 成低频和高频部分，压缩高频 部分，保留低频部分，实现图 像的无损和有损压缩。
特征提取
利用离散小波变换可以有效地 抽取信号和图像的主要特征， 包括边缘、纹理、轮廓等，为 后续的分类和识别提供基础。
DWT的优缺点和发展趋势是什么？
优点
离散小波变换具有多分辨 率分析、极致压缩、数据 局部性和算法可并行等优 点，可用于信号、图像、 视频及音频处理。
缺点
离散小波变换对于信号或 图像的边缘部分处理不够 灵敏，易受噪声干扰，且 算法具有一定的复杂性。
发展趋势
离散小波变换仍然具有许 多未被挖掘的应用和研究 方向，基于深度学习的小 波变换和基于量子计算的 小波变换也在发展中。
3
实际应用
不同样本数据的特点和形态不同，需要选择适当的小波基函
分解算法
将原始信号分解为高频和低 频两个分量，然后对低频分 量进行进一步分解，一直到 分解到最后一层。
重构算法
将分解得到的低频和高频分 量进行重构，得到逼近信号 和细节信号，并进行逆变换， 得到原始信号。
过滤器组
用于计算离散小波基函数的 滤波器和尺度参数，确定每 一级的分解和重构系数。
常见小波函数有哪些？
1 Haar小波
2 Daubechies小波
连续,离散小波变换
定义2.1 设)()(2R L t ∈ψ，若其Fourier 变换)(ˆωψ满足容许性条件 ∞<=⎰ωωωψψd C R |||)(ˆ|2 （2-1） 则称)(t ψ为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet ）。
由基本小波)(t ψ进行伸缩和平移，得到的一族函数：0,,1)(,>∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R b a a b t a t b a ψψ （2-2） 称为连续小波基函数（简称小波）， 其中，a 为尺度因子，b 为平移因子，它们均取连续变化的值。
连续小波变换：定义 2.2 任意函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简称为CWT ）为>=<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰*b a R f dt a b t a t f b a Wf ,,1)(),(ψψ （2-3） 若在小波变换中所采用的小波满足容许性条件，则逆变换存在。
其逆变换为 db ada t b a Wf C t f b a R R 2,)(),(1)(ψψ⎰⎰= 连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个函数的连续小波变换等于该函数各分量的变换之和，公式表示如下：若 )()()(21t f t f t f +=),()(b a Wf t f ↔，),()(11b a W f t f ↔，),()(22b a Wf t f ↔则),(),(),(21b a W f b a W f b a W f +=；（2）平移不变性：若),()(b a Wf t f ↔，则),()(u b a Wf u t f -↔-；（3）伸缩共变性：若),()(b a Wf t f ↔，则),()(2/1cb ca W f c ct f -↔；连续小波变换（CWT ）的系数具有很大的冗余量。
在连续变换的尺度a 和时间b 下小波基函数)(,t b a ψ具有很大的相关性，因而信号的小波变换系数),(b a Wf 的信息量是冗余的。
离散小波变换和连续小波变换的适用范围
离散小波变换和连续小波变换的适用范围
离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）的适用范围有所不同。
离散小波变换是一种在信号和图像处理中常用的技术，它主要用于分析处理数据序列，如一维、二维和多维的信号或图像。
它能够提供数据的时频特性，并具有多尺度分解的能力，因此在信号去噪、特征提取、压缩等领域都有广泛的应用。
连续小波变换则是一种更为一般的数学工具，它可以用来分析各种不同类型的信号或函数。
它适用于处理那些变化比较连续、没有明显的离散特性的数据。
连续小波变换可以用于分析如地震信号、生物医学信号等连续的、时间序列的数据。
总的来说，离散小波变换更适用于处理具有离散特性的数据，而连续小波变换则更适用于处理连续变化的数据。
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小波框架
小波框架的定义
尺度、伸缩离散化构成的函数簇
2 2 j k
0 0
a0j
, k 0
(t ), j Z , k Z
A x(t ) x(t ), a j ,k (t ) B x(t )
2
当0 A B a j , k (t ), j Z , k Z 构成小波框架
c j ,k , j ,k (t ) B c j ,k
2 j k
a0j
, k 0
(t ) 2 j , k (t ) j , k (t ), j Z , k Z
R小波 与框架 小波相 比，具 有更高 的要求
Digital Signal Processing
小波级数表达式
x(t ) d j , k j , k (t )
j k
对偶R小波
j ',k ' (t ) ( j j ') (k k ') j ,k (t ),
j , k (t ) d j , k x(t ),
j , k (t ) j , k (t ) x(t ) x(t ),
t a
Digital Signal Processing
小波函数离散化
a , (t )
j j a0 (a0 t k 0 ) a j , k (t )
0 0
a a0j
,
ka0j 0
j , k Z
离散小波变换
* WTx ( j , k ) WTx (a0j , k 0 ) x(t ) a (t )dt j , k
小波框架的性质
满足框架条件的小波函数必然是允许小波
离散小波变换不具备时移不变特性
Digital Signal Processing
离散小波的重建核方程 1 WTx (a0j0 , k0 0 ) x(t ) *j (t ) dt 0 ,k a A 0 0 0
* 1 WTa j , k (t ) j0 (t ) j0 (t )dt a0 , k 0 0 0 A j k a0 ,k0 0 1 WTa j , k (t ) a j , k (t ) *j (t )dt 0 0 0 0 a00 ,k0 0 A j k 1 WTa j , k (t ) K ( j0 , k0 ; j , k ) 0 0 A j k
2 k
0 A B
2 2
A x(t ) x(t ), k (t ) B x(t )
Tk [ x(t )] x(t ), k (t )
称k (t ), k Z 构成L2 ( R)空间的一个框架
框架甚至是紧框架不一定能构成空间的的一个基。这意 味着任一信号按基函数 k (t ), k Z 展开时，其展开系数 不一定具有唯一性
K ( j0 , k0 ; j, k ) a j , k (t ) *j
0 0 a00 ,k0 0
(t )dt a j , k (t ),
0 0
a0 0 , k0 0
j
(t )
正交小波基：
K ( j0 , k0 ; j, k ) ( j j ') (k k ')
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对偶框架
(t ) F * F (t ), k Z k k
1
2 (t ) 2 A1 x(t ) B1 x(t ) x(t ), k k 2
原函数的重建
(t ) x(t ) x(t ), j (t ) j
Digital Signal Processing
小波函数位移离散化方法
0 a a0 1 位移 的离散化间隔
0 k 0 , k Z
j a a0 1
j j 位移 的离散化间隔 a0 0 k a0 0 , k Z
j a ( ) (a0 t )在时间方向扩展a0j 倍
当
A B 时
2 j (t ) A B
(t ) 对偶框架的一阶近似 j
近似重建公式x(t )
2 x(t ), j (t ) j (t ) Rx(t ) A B j 2 B A x(t ), j (t ) j (t ), R A B j B A
j k
j , k (t ) x(t ) x(t ), j , k (t )
j k
计算小波级数的关键是寻找R小波和求解对偶小波
Digital Signal Processing
小波分类
正交小波
(t 是一个 ) R小波
( t ), j Z , k Z满足正交性条件 j ,k
t ), ~ j 2
二进小波变换在信号的奇异性检测和图像处理方面有着 广泛应用
Digital Signal Processing
二进小波变换
定义
WTx ( j, ) x(t )* k , (t ) 2 j / 2 x(t ) k , (
t
2
j ,k (t ), j ',k ' (t ) ( j j ') (k k ')
正交小波具有自对偶 小波级数系数
j , k (t ) j , k (t )
d j , k x(t ), j , k (t )
Digital Signal Processing
j
(t ) (t ) x(t ) x(t ), j j
j
Digital Signal Processing
对偶框架的计算和原函数的重建
当 A B 1 时
{ j (t ), j Z}构成正交基， 信号分解具惟一性
(t ) (t ) j j
0 0
x(t ) A1 x(t ), a j , k (t ) a j , k (t )
j k
0 0 0 0
A1 WTa j , k (t ) a j , k (t )
当
A B 时
x(t )
j
k
0
0
0
0
2 a j , k (t ) j (t ) 0 0 A B a0 , k 0
2 WTa j , k (t ) a j , k (t ) 0 0 0 0 A B j k
Digital Signal Processing
连续小波变换离散化参数和框架的关系
(t )
2 3
1/ 4 (1 t 2 )et
2
/2
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减少截断误差影响信号重建精确度 线性相位性 小波函数具有奇对称或偶对称性减少相位失真
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12．4二进小波变换
尺度和位移都离散化的离散小波变换牺牲了位移不变性
二进小波变换只对尺度进行离散化处理位移仍连续变化
a
j 0 , 0
(t ) 2 j , (t ) 2 j / 2 (
0 0
小波框架的频域表示
0 ln a0 2
A
0
ln a0 ˆ ( ) d 02 B 1 2
Digital Signal Processing
对偶小波框架和信号重建
当 A B 1时
a
j 0 , k 0
(t ) a j ,k (t )
j
)dt
二进小波变换定义成卷积形式，CWT是内积形式
定义 '(t ) (t )
WTx ( j, ) x(t )* 'k , (t ) 2 j / 2 x(t ) 'k , (
t )dt 2j 2 j / 2 sgn( j ) x(t ), 'k , (t )
k
小波级数系数
j , k (t ) d j , k x(t ),
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半正交小波
(t 是一个 ) R小波
j ,k (t ), j Z , k Z尺度和位移方向均不满足正交性条件
对偶小波与原R小波在尺度和位移方向正交
半正交小波
(t 是一个 ) R小波
j ,k (t ), j Z , k Z仅在尺度方向满足正交性条件
j , k (t ), j ', k (t ) ( j j ')
对偶小波
ˆ ( ) ˆ ( ) 2 ˆ ( 2 k )
0 0
离散小波变换中的“离散”含义是指对尺度参数和位 移参数进行离散化，并没有对分析信号和小波函数中的 时间变量进行离散化
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尺度和位移离散化的规则
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12．2框架理论
框架定义
k (t ), k Z
精确重建递推公式 x0 (t ) 2 x(t ), j (t ) j (t ) A B j 2 x(t ), j (t ) xN 1 (t ), j (t ) j (t ) A B j
xN (t ) xN 1 (t )
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