高考数学-函数与方程及函数应用

函数与方程及函数应用

知识梳理

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数

))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图

象与x 轴交点的横坐标。即：

方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．

3、函数零点的求法：

求函数)(x f y =的零点：

（1）（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用

函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程02

=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程02

=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程02

=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．

2．函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理

解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

三. 典型例题

考点11 函数的零点与方程的根

题型二十 函数零点所在区间的判断

例 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）

例 二次函数243y x x =-+的零点为 。

例 函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）

（A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。

变式训练

函数x x x f 2

)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）

（A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

函数x x y 26ln +-=的零点一定位于如下哪个区间 （

）

A 、()2,1

B 、()3,2

C 、()4,3

D 、()6,5

题型二十一 函数零点的个数问题

例 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．

变式训练

求x

x x f 2)(2-=零点的个数。

题型二十二 根据函数零点求参数的取值范围 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.

设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________．

变式训练

函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．

函数()lg 3f x x x =+-的零点在区间(,1)m m +()m Z ∈内，则m = ．若方程方程2570x x a --=的一个根在区间（1-，0）内，另一个在区间（1，2）内，求实数a 的取值范围 。

考点12 函数的实际应用

题型二十三 函数的实际应用

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )

与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12

]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．

(1)令t ＝x

x 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；

(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

变式训练

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且

R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10.8－130x 2 (0

108x －1 0003x 2 (x >10).

(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收

入－年总成本)

题型二十四函数的综合应用

根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产x(件)之间近似地满足关系

式

*

2

*

2

19,,

15

60

1020,

540

x x

x

p

x

x x

⎧

∈

⎪⎪-

=⎨

+

⎪∈

⎪⎩

N

N

, ≤≤

,　≤≤

(日产品废品率=

日废品量

日产量

×100％)．已知每生产一件正品可赢利2千元，

而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额）（1）将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；

（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？四. 归纳总结