《抽样技术》习题答案

第2章

2.3 解：首先估计该市居民日用电量的95%的置信区间。根据中心极限定理可知，在大

_

y E y y -=

近似服从标准正态分布， _

Y 的195%α-=的置信区

间为y z y z y y α

α⎡⎡-+=-+⎣

⎣。

而()2

1f V y S n

-=

中总体的方差2S 是未知的，用样本方差2s 来代替，置信区间为,y y ⎡⎤-+⎢⎥⎣

⎦

由题意知道，_

29.5,206y s ==，而且样本量为300,50000n N ==，代入可以求得

_

21130050000()2060.6825300

f v y s n --=

=⨯=。将它们代入上面的式子可得该市居民日用电量的95%置信区间为7.8808,11.1192⎡⎤⎣⎦。

下一步计算样本量。绝对误差限d 和相对误差限r 的关系为_

d rY =。

根据置信区间的求解方法可知

_

___

11P y Y r Y P αα⎫

⎪⎧⎫-≤≥-⇒≤≥-⎨⎬⎩⎭

根据正态分布的分位数可以知道

21P Z αα⎫⎪⎪

≤≥-⎬⎪⎪⎭

，所以()2_r Y V y z α⎛⎫

⎪= ⎪⎝⎭

。也就是2

_2

_2

22

/221111r Y r Y S n N z S n N z αα⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎛⎫

⎪⎛⎫⎝⎭

⎪⎢⎥-=⇒=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭

⎝⎭

⎢⎥⎣⎦

。

把_

29.5,206,10%,50000y s r N ====代入上式可得，861.75862n =≈。所以样本量至少为862。

2.4 解：总体中参加培训班的比例为P ，那么这次简单随机抽样得到的P 的估计值p 的方差()()111f N V p P P n N -=

--，

在大样本的条件下近

似服从标准正态分布。在本题中，样本量足够大，从而可得P 的195%α-

=的置信区间为

p z p z αα⎡-+⎣。

而这里的()

V p 是未知的，我们使用它的估计值

()()()^

5119.652101

f

V p v p p p n --==

-=⨯-。所以总体比例P 的195%α-=

的置信区间可以写为

p z p z α

α⎡-+⎣

，将0.35,200,10000p n N ===代入可得置

信区间为0.2844,0.4156⎡⎤⎣⎦。

2.5 解：利用得到的样本，计算得到样本均值为2890/20144.5y ==，从而估计小

区的平均文化支出为144.5元。总体均值_

Y 的195%α-=的置信区间

为

2y z y z αα⎡-+⎣，用()21f v y s n

-=来估计样本均值的方差()V y 。 计算得到2

826.0256s =，则()2110.1826.025637.17220

f v y s n --==⨯=，

1.9611.95

z

α

==，代入数值后计算可得总体均值的95%的置信区间为[]

132.55,156.45。

2.6解：根据样本信息估计可得每个乡的平均产量为1 120吨，该地区今年的粮食总产

量Y的估计值为

_

^

5

3503501120 3.9210

Y y

==⨯=⨯（吨）。

总体总值估计值的方差为

()

2

^

2

1

N f

V Y S

n

-

⎛⎫=

⎪

⎝⎭

，总体总值的195%

α

-=

的置信区间

为

^^

Y z Y z

αα

⎡

-+

⎢

⎢⎣

，把

^

52

3.9210,25600,50,350,

Y S n N

=⨯=== , 1.96

n

f z

Nα

==代入，可得粮食总产量的195%

α

-=的置信区间为377629,406371

⎡⎤

⎣⎦。

2.7解：首先计算简单随机抽样条件下所需要的样本量，把

2

1000,2,195%,68

N d S

α

==-==带入公式

2

022

/2

1

1

d

n

N z S

α

⎛⎫

=+

⎪

⎝⎭

，最后可得0

61.362

n=≈。

如果考虑到有效回答率的问题，在有效回答率为70%时，样本量应该最终确定为0

70%88.5789

n n

==≈。

2.8解：去年的化肥总产量和今年的总产量之间存在较强的相关性，而且这种相关关系较为稳定，所以引入去年的化肥产量作为辅助变量。于是我们采用比率估计量的形式来估计今年的化肥总产量。去年化肥总产量为2135

X=。利用去年的化肥总产量，今年的化肥总产量的估计值为

_

^^

_

2426.14

R

y

Y R X X

x

===吨。

2.9解：本题中，简单估计量的方差的估计值为()2

1f

v y s

n

-

==37.17。

利用比率估计量进行估计时，我们引入了家庭的总支出作为辅助变量，记为X。文化支出属于总支出的一部分，这个主要变量与辅助变量之间存在较强的相关关系，而且它们之间的关系是比较稳定的，且全部家庭的总支出是已知的量。

文化支出的比率估计量为

_

____

^

_

R

y

y R X X

x

==，通过计算得到2890/20144.5

y==，而

_

1580

x=，则

_

^

_

144.5

0.0915

1580

y

R

x

===，文化支出的比率估计量的值为

_

146.3

R

y=（元）。