2015年陕西省中考数学总复习教学案：专题一 规律探索型问题

, 专题突破
专题一 规律探索型问题
规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、
图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型．
1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．
2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．
3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的
算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．
4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．
解题方法
规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．
数字猜想型问题
【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__336__分． 【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
1．(2014.兰州)为了求1＋2＋22＋23＋...＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋ (2100)
则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23
＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是__32015－12
__．
数式规律型问题
【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是__165__．
【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形．
2．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a 3
＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1
(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为__－1__．(结果用数字表示)
图形规律型问题
【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名称 基本图的个数 特征点的个数
图①
1 7 图②
2 12 图③
3 17 图④
4 22 … … …
__5n ＋2__(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，
2)，则x 1＝__x 1＝3__；图的对称中心的横坐标为__20133__．
【点评】本题考查图形的应用与作图，是规律探究题，难度中等，注意观察图形及表格，
总结规律．
3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正
三角形的个数有__485__．
数形结合猜想型问题
【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2
的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53
，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为__10070__．
【点评】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意数形结合得出B 点横坐
标变化规律是解题关键．
4．在由m ×n(m ×n ＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的
小正方形个数f，
(1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
m n m＋n f
1 2 3 2
1 3 4 3
2 3 5 4
2 5 7 6
3 4 7 6
猜想：当m
f与m，n的关系式是__f＝m＋n－1__．(不需要证明)
(2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．
解：(2)当m，n不互质时，上述结论不成立，如图
试题(1)(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是____．
(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．
(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，
第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．
审题视角探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度．但只要了解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的．规范答题
解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可．
仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：
第1个图有：1＋3个；
第2个图有：4＋4个；
第3个图有：9＋5个；
……
故第n个图有：[n2＋(n＋2)]个．
(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．
第①个图有2个相同的小正方形：2＝1×2；
第②个图有6个相同的小正方形：6＝2×3；
第③个图有12个相同的小正方形：12＝3×4；
第④个图有20个相同的小正方形：20＝4×5；……
按此规律，第个图有n(n＋1)个相同的小正方形．
(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
观察分析可得：第1个图有1个圆；
第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；
第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2×6；……
故第9个图由1＋6＋2×6＋3×6＋…＋8×6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)×6＝217(个)圆组成．
答题思路
第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；
第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项；
第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分(如分子、分母，整数、分数等)构成何种数列；
第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和．能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
试题探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板上每边的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有二种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值有1，2，2，5，22五种，比n＝2时增加了三种，即S ＝2＋3＝5.
(1)观察下图，并填写下表：
(2)写出(用式子或语言表述均可)
(3)对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．
错解 (1)4；2＋3＋4＋5；
(2)设(n －1)×(n －1)和n ×n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3＋…＋n ；
(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n.
剖析 (1)填对了；(2)题目要求理解错了，命题要求写出两个钉子板上的两个S 值之间关系，而不是每个钉子板上的S 值与每边上的钉子数n 的关系，显然，S n 比S n －1的值大n ；
(3)写对了，但应化成不含省略号的代数式．
正解 (1)4；2＋3＋4＋5；
(2)设(n －1)×(n －1)和n ×n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3…＋n ，∴S n －S n －1＝n.即在(n －1)×(n －1)和n ×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数前者比后者少n 种；
(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)－1＝n （n ＋1）2－1＝n 2＋n －22
.。