直线与圆锥曲线中等难度大题

函数f m在0,1上单调递增，在1,5上单调递减。当m=1时f m
有最大值32，故当直线l的方程为y x 1时，SAMN的最大面积为8 2
3.已知圆N： x 42 y2 5,抛物线C : y mx2 m 0的焦点为F，
NF 17.
1 求抛物线C的方程； 2过点P 1，2的直线l交抛物线C于A, B两点，过点A, B分别作
b2即b2
=
39 2
时取等号
2.在平面直角坐标系xoy中，动点P到两点 - 3,0 ， 3,0
的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线l过E 1，0且
与曲线C交于A, B两点。第一问考查圆锥曲线定义；第二问考查面积最值
求曲线C的方程； AOB的面积是否存在最大值，若存在，求出AOB面积
3
,则 |
y2
y1
|
4 m2 3 m2 4
因为SAOB
1 2
OE
y1 y2
2 m2 3 m2 4
2 m2 3
1 m2 3
设g(t) t 1,t m2 3,t 3,则g(t)在区间[ 3, )上为增函数． t
所以g (t )
43 3
,所以SAOB
3 当且仅当m 2
0时取等号,即(SAOB )max
3
.
求椭圆C的方程；
2在x正半轴上是否存在一点P，过该点的直线l 不与x轴重合
与椭圆C交于两点M , N,使得
1 PM
2
1 PN
为定值？若存在，求出
2
P点坐标和定值；若不存在，说明理由。
提示： x2 4
y2 3
1
1 PM
2
1 PN
2
=
m2
18t 2 72 96 24t 2 m2 1 3t 2 12 2
求椭圆M的轨迹方程；
证明：直线AB的斜率为定值。
解 x2 y2 1
4
设A x1, y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 , D x4 , y4 ,
AP
PC
,
则
x0 y0
x1 y1
x3 y3
x0 y0
,
x3
y3
1 x0
2.已知椭圆C：x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的左右焦点分别为F1，F2，
焦距为4，点M是椭圆上一点，满足F1MF2
60，且SF1MF2
4 3. 3
1 求椭圆C的方程；
2过点P 0, 2分别作直线PA, PB交椭圆C与A, B两点，设直线PA, PB
的斜率分别为k1, k2 ,且k1+k2 =4，求证：直线AB过定点。
144b2 13 4 3b2 9 0，得b2 39,
x1,2 12b
486 12b2 6b 26
117 3b2 , 13
点O到直线l的距离d b , BD 5
5 x1 x2
5 2 117 3b2 13
SOBD
3b2 39 b2 13
33 2
当且仅当b2
39
设P为椭圆C上一点，若过点M 2, 0的直线l与椭圆C相
交于不同的两点S和T,满足OS OT tOP O为坐标原点，
求实数t的取值范围。
（二）点差法典型习题
作业：1.已知椭圆E：ax22
y2 b2
1a
b
0的右焦点
为F 3, 0过F的直线交E于A、B两点，若A、B的中
点为1，-1，求E的方程
的轨迹方程：y2 4x
2由题意可设l的方程为y
x
m,
其中0
m
5.由方程组
y y
xm 2 4x
,消去y,
得
x2 2m 4 x m2 0, 2m 42 4m2 161 m 0成立。
设M x1, y1 , N x2 , y2 则x1 x2 4 2m, x1x2 m2,
在第一象限内曲线C上是否存在一点M 使MA与MB 的斜率互为相反数？若存在，求出M点的坐标； 若不存在，说明理由。
解1 x2 y2 1
43
2
2.已知椭圆ｘ ａ２ ２＋ｙ ｂ２ ２＝１ａ＞ｂ＞０的右焦点为Ｆ２１，０，
点Ｈ１，３ ２ 在椭圆上。
求此椭圆方程； 点Ｍｘ０，ｙ０ 在圆ｘ２＋ｙ２＝ｂ２上，Ｍ在第一象限，过Ｍ
1d 2
PQ
4 4k2 3 . 4k2 1
设
4k 2
1
t
t
0,
SOPQ
4t t2
4
t
4 4
.
t
因为t 4 4，当且仅当t 2，即k= 7 时等号成立，且满足 0,
t
2
所以，当OPQ的面积最大时l的方程为y 7 2. 2
配练：已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1 : x 2 y 3 5 0相切，
作圆ｘ２＋ｙ２＝ｂ２的切线交椭圆于Ｐ，Ｑ两点，问Ｆ２Ｐ＋Ｆ２Ｑ ＋ＰＱ 是否为定值？如果是，求出定值，如不是说明理由。
Y
P
M
O F2 Q
X
谢谢观看！ 2020
kx 2代入
x2 4
y2
1得
1+4k 2 x2 16kx 12 0.
当=16
4k 2 3
0,即k 2
3 4
时，x1,2
8k
2 4k 2 4k 2 1
3
.
从而 PQ
k 2 1 x1 x2 4
k 2 1 4k 2 3 4k 2 1
又点O到直线PQ的距离d
k
2
2
1
,
所以SOPQ
当 18t2 72
96 24t 2即t 2 = 4 时 7
1 PM
2
1 为定值 7 。
PN 2
9
定点P为
2
7 7
,
0
3.已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，
离心率为
3 2
.点P
x0
,
y0
为椭圆M内一定点
不在坐标轴上，过
点P的两条直线分别于椭圆交于A,C和B,D,且AB CD.
MN
1 k 2 x1 x2 4 2 2m, 又
点A到直线l的距离为d 5 m . 2
SAMN 25 m 1 m 2 m3 9m2 15m 25. 令f m m3 9m2 15m 25,0 m 5,
f 'm 3m2 18m 15 3m 1m 5,0 m 5
key : 1 x2 y2 12m 2k m 2 0, y m 2 x m
84
y m x 1 2x,过定点-1，-2
2.已知椭圆C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0, 椭圆的左右焦点分别为F1、F2，
其中右焦点与抛物线y2 4x的焦点重合，Q为椭圆上任意一点，且
F1QF2的最大值为
的最大值；若不存在，说明理由。
解故曲线由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以( 3，0),( 3，0)为焦点，
长半轴长为2的椭圆.故曲线C的方程为 x2 y2 1. 4
解故曲线由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以( 3，0), ( 3，0)为焦点，
长半轴长为2的椭圆.故曲线C的方程为 x2 y2 1. 4
key : 2 182 3
定点、定值问题
1.已知椭圆C：x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的一个焦点是 1, 0 ，两个焦点
与短轴的一个端点构成等边三角形.
1 求椭圆C的方程；
2过点Q 4,0且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设
点A关于x轴的对称点为A1. ①求证：直线A1B 过x轴上一定点，并求出此点坐标； ②求OA1B面积的取值范围。
1 y0
x1 y1
,
C在椭圆上， x32 4
y32 =1
即 1 x0
4 2
2
x1
+
1 y0
2
2
y1
=1
得
1+
2
x0 2 4
y0 2
-
1 2
1+
x0
x1 +4y0
y1
x12 4
y12
2
又A在椭圆上， x12 4
y12 =1
得
1+
2
x0 2 4
y0 2
-
1 2
1+
设点A为圆上一动点，AM x轴于点M ,且动点N满足ON 3 OA 3
1
3 3
OM，设动点N的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程；
直线l于l1垂直且于曲线C交于B, D两点，求OBD面积的最大值
x2 y2 1
93
设l：y 2x b于曲线C联立得，
13x2 12bx 3b2 9 0
抛物线C的两条切线l1,l2,设l1,l2交于点Q, 若点Q在圆N上，求l的 方程及点Q的坐标。
FP A
B Q
4.已知椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两焦点与短轴的
一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x y 1 0
与以椭圆C的焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径圆
相切。
1 求椭圆C的方程；
圆锥Baidu Nhomakorabea线大题基本题型
联立及判别式法 点差法 其他
1.求直线方程 2.定点、定值问题 3.最值范围问题
(一)联立及判别式法
1.2014高考已知点Ａ０，－２，椭圆Ｅ：ａｘ２２＋ｙｂ２２＝１ａ＞ｂ＞０
的离心率为 ３，Ｆ是椭圆的焦点，直线ＡＦ的斜率为２ ３，Ｏ为
２
３
坐标原点。
求Ｅ的方程；
设过Ａ的直线l与Ｅ交于Ｐ，Ｑ两点，当ＯＰＱ
存在AOB面积的最大值
因为直线l过点E(1, 0)，可设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍）．
x2
则
4
y2
1，整理得(m2
4) y2
2my
3
0
x my 1
(2m)2 12(m2 4) 0.设A(x1，y1)，B(x2，y2 ).
解得y1
m
2 m2
m2 3 4
,
y2
m
2 m2
m2 4
x0
x1 +4y0
y1
2 -1
同理得
1+
2
x0 2 4
y0 2
1 2
1+
x0 x2
+4y0
y2
2 -1
两式相减可得k x0 为定值 4 y0
2.点P在圆x2 y2 2上移动，PQ x轴于Q， 动点M 满足QP= 2QM .
求动点M的轨迹C的方程; 若动直线x 2y m 0与曲线C交于A, B两点，
3 2
配练：在平面直角坐标系xoy中，一动圆经过点（1,0） 且与直线x=-1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E。
1 求曲线E的方程； 2已知点A5，0，倾斜角为 的直线l与线段OA相交
4
不经过点O或点A且与曲线E交于M , N两点求AMN
面积的最大值，及此时直线l的方程。
配练答案：1由题意可知圆心到1, 0的距离等于到直线x 1的距离，由抛物线的定义可知，圆心
的面积最大时，求l的方程
解 设Ｆｃ,0 ,由条件知，2 2 2 , 得c 3.
c3
又 c 3 , 所以a 2, b2 a2 c2 1. a2
故E的方程为 x2 y2 1. 4
当l x轴时不合题意，故设l : y kx 2,
P x1,
y1 , Q x2 ,
y2 , 将y
2.已知直线l和双曲线 x2 y2 1相交于A, B两点， 94
线段AB的中点为M，设直线l的斜率为k1 k1 0,
设直线OM的斜率为k2，则k1k2 =
4 9
1. x2 y2 1 18 9
3.过定点M 3,2的直线l与曲线C : y2 6x交于A, B两点，若点M是
线段AB的中点，求线段AB的长。