多属性决策

《运筹学Ⅱ》课程教案第1次
多属性决策
1.1 多属性决策基本概念与数据整理技术 1.1.1 多属性决策问题及其解的形式
设有一组可能的方案12.....M A A A ，需要考察的属性记为12,....n C C C ，各属性的重要程度即权值用12,....n ωωω表示，0j ω≥，j ∀，且符合归一化条件12....1n ωωω+++=。

将决策后果即方案的属性值记为,ij x 1,2,.....i m =，1,2,.....j n =。

旨在找出其中的最优方案，记为max A 。

上述多属性决策间题可以写成表1-1的决策矩阵
在多属性决策问题中，由于属性指标之间的相互矛盾与制衡，因而不存在通常意义下的最优解。

取而代之的是有效解（也称非劣解）、满意解、优先解、理想解、负理想解和折衷解，它们被分别定义如下：
有效解（Efficient Solution ）：不被任何其它可行解所支配的可行解被称为有效解。

这里，所谓支配应理解为在所有属性上得到的结果都不比对方差，而且至少在一个属性上得到的结果比对方好。

满意解（Satisficing Solution ）在所有属性上都能满足决策者要求的可行解披称为满意解。

显然，满意解可以不是有效解。

优先解（Preferred Solution ）：最能满足决策者指定条件的有效懈被称为优先解 理想解（Ideal Solution ）：由各属性在现有方案中可能具有的最好结果组合而成的解被称为理想解。

一般来说，理想解是不存在的。

否则，理想解必是最优解，决策分析便不复存在。

其数学表示式为
1(....,....,)J n A c c c ++++
=
其中，max (),1,2.....j j ij i
c U x j n +
==
这里的()j ij U x 表示第i 个方案在第j j 个属性上基于ij x 的效用函数值。

理想解的概念在多属性决策的理论和实践中都有着重要的意义，关于多属性决策的折衷模型及算法便是以它为基础建立起来的。

反理想解（Anti-ideal Solution ）：由各属性在现有方案中可能具有的最坏结果组合而成的解被称为反理想解。

一般来说，反理想解也是不存在的。

否则，它必可作为劣解而被淘汰。

其数学裹示式为
1(....,....,)J n A c c c ----
=
式中 min (),1,2.....j j ij i
c U x j n -
==
与理想解一样，反理想解也是折衷算法的参照基准之一。

折衷解（Compromise Solution ）：距离理想解最近或距离反理想解最远或以某种方式将二者结合在一起的可行解被称为折衷解。

在一般情形下，这3种折衷解给出的结果并不总是一致的，决策者应具体情况具体考虑。

1.1.2属性指标的量化与转换
在对决策问题的属性值进行综合运算之前，首先要解决下面的两个问题。

1语言类属性指标的量化
在多属性决策问题中，方案的属性值通常有定量和定性两种不同的表示形式。

为了便于对属性值进行必要的数学处理，普遍采用MacCrimimon 提出的双向比例标尺（Bipolar Scaling ）将定性指标转换为定量指标。

其标尺形式见10-1
2属性值的规范化处理
由于不同属性的量纲通常是不同的，而且是同一量纲的属性值在大小上也相差悬殊，因而不同属性之间便少有或没有可比性。

所谓属性值的规范化处理就是要消除量纲的影响，并将所有数值的大小全部统一到单位区间内，这样才有比较的基础。

虽然不是所有的多属性决策方法都要求属性值规范化，但对于一大类基数型决策方法来说．如常见的极大－极大型决策。

极大极小型决策、赫威斯型决策和简单加权型决策等，这一步骤却是必烦的。

在多属性决策分析中，最常用的数据规范化方法主要有以下两种。

1） 向量法。

该方法的数值转换公式为：
其特点是同一属性的所有数值都具有相同的矢量单元，但不同属性的测量尺度并不相等。

2）比例法。

该方法对干不同类型的属性值采用不同的转换方式。

对于收益类属性值， 其转换公式为
而对于成本性属性值，其转换公式为：
其中，max 12max ,,....j j j mj x x x x =，min
12min ,....,j
j j mj x x x x = 属住值经过规范化处理之后的决策矩阵称为规范矩阵。

1.1.3属性权值的比较与分配
在多属性决策问题中，相对于决策者来说，不同属性的重要程度往往是不一样的。

因此，在进行多属性决策分析之前，应首先确定每一属性的权值。

常用的权值确定方洼主要有两类：第一类是基于决策者自身认识和经验的主观比较法，第二类是基于属性值特征的客观分析法。

前者适用于决策矩阵未知的情况；后者适用于决策矩阵已知的情况。

现就这两类方法中最具代表性的判断矩阵法和墒法分别介绍如下。

1） 判断矩阵法
最低 1
很低
3 低
5 平均
7 高
9 很高
10 最高
最高 0 很高 1 高 3 平均 5 低 7 很低 9 最低 10
这一方法要求决策者将属性两两之间作成对的比较，给出每对同性的权重比
i
j ωω，
,1,2,....i j n =比值的确定方式参见表1-2
依据上述比较结果可构造权重比炬阵
显然．在矩阵R 中1ii r =，1
ij ji
r r =，0ij r ≥。

如果决策者对权重比的估计是一致的，
则还应有ij ik kj r r r =⨯。

R 被称为判断矩阵，而满足一致性要求的判断矩阵被称为相容矩阵。

理论上，相容矩阵的任意一列都可以视为属性的权向量。

但实际上，由决策者给出的判断矩阵R 很难满足一致性的要求。

为此．需采用某种特定方法在R 的基础上对权向量进行估汁。

常用的估计方法有算术平均法，几何平均法、特征向量法和最小二乘法4种
（1） 算术平均法。

由于判断矩阵R 中的每一列都近似地反映了权值的分配精形，故可采
用全部列向量的算术乎均值来估汁权向量。

即
（2） 几何平均法：
与算术平均法类似，几何平均法是采用判断矩阵R 中全部列向量的
几何平均值作为权向量的估什。

即
（3） 特征向量法
将权重向量右乘权重矩阵，则有：
或者：
()0R nI w -=
如果判断矩阵见是相容矩阵，由矩阵理论可知，n 是R 的唯一非零的也是最大的特征根，记为，而w 是n 所对应的特征向量。

如果判断矩阵不完全具有相容性，则上面的等式并不成立．但矩阵R 元素的微小变动则意味着根的微小变动．故可先求解R 最大特怔根，即求解以下用行列式形式表示的方程组的最大解且；
11121212221
2
0n n m m mn
r r r r r r r r r λλ--=
将求出的最大特征根max λ带入其次线性方程组
max ()0R I w λ-=
从而解出max λ对应的特征向量
12(,,)T n w ωωω=
如果判断矩阵R 是相容矩阵，将特征向量w 作归一化处理后即可作为属性的权向量。

但一般来说，R 未必是相容矩阵，为了度量判断矩阵R 的相容性，Saaty 定义了下面的不相容指标：
当()0.1C R ≤时，认为判断矩阵R 的相容性良好，可采用特征向量W 作为权向量，否则，需要对判断矩阵R 重新调整。

由于特怔根对应的特怔向量一般不是惟一的，为了确切起见，可采用归一化的特征向量作为权向量。

即
12111,,
n n n n
i i i i i i w ωωωωωω===⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑∑ （4）最小二乘法。

由于判断矩阵R 的相容性很难保证；故一般情形下。

但可i ij r j ωω≠ 以根据最小二乘法原理选择一组权值{}12,,
n ωωω，使其误差的平方和最小。

即
2
11
1
min Z=(). 1
0 1,2,
n n
ij j
i j n
i i i r i s t i n
ωωωω===-=>=∑∑∑
例题1
已知判断矩阵R 为：
113123132131R ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
解：
如果采用算术平均法，因为1
1
1n ij
i n j kj
k r n r ω===∑∑，其中，分母部分为列向量的和，所以，
其权值分配为：
1
11133132(,,)11312313113123131133131
22
ω=++++++++++++++++ 从以上分析可以看出，其权值为：每行数据除以列的和，然后取平均值。

第一行的平均值为1ω，第二行的平均值为2ω
如果采用几何平均法，由于1
11
1
1
()
()
n
n
ij j i n
n
n
kj
k j r r
ω====
∏∑∏，所以，其权值的计算方式为：
采用特征向量法，计算过程如下： 首先求得相应矩阵的特征值：
1131211312313313021312131E λλλλ-⎡⎤
⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，解得最大特征根为： 3.0536λ= 3.05363
()0.02680.131
C R -=
=≤≤-相容性好，。