多元函数的概念极限与连续性

§5.1 多元函数的概念、极限与连续性

一、多元函数的概念

1. 二元函数的定义及其几何意义

设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。

二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1

的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，

半径为1的闭圆。

2. 三元函数与n 元函数。

()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点

集则称()u f x y z =，，为三元函数

()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

【例1】 求函数arcsin 3

x z =

解 要求13

x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤，

综合上述要求得定义域300x y -≤≤⎧⎨≤⎩或030

x y ≤≤⎧⎨≥⎩

【例2】

求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。

解 要求2240x y --≥和2210y x -+>

即 2222212x y y x

⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩ 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部

（包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点）

【例3】 设()22

f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。 解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122

x u v y u v =

+=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184

f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()22

35f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。 解

()22223525x xy y x xy y xy +++=++++

()25x y xy =+++

∴ ()25f x y x y =++，

二、 二元函数的极限

设()f x y ，在点()00x y ，的去心邻域内有定义；如果对任意0ε>，存在0δ>，只要

0δ<，就有()f x y A ε-<，

则记以()00lim x x y y f x y A →→=，或()()

()00lim x y x y f x y A →=，，， 称当()x y ，趋于()00x y ，时，()f x y ，的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在.

值得注意：这里()x y ，趋于()00x y ，是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00x y ，，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单地讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

【例1】 讨论21lim 1x x y x y a xy +→∞→⎛⎫+ ⎪⎝⎭

（0a ≠常数）。 解 原式()2

1lim 1x xy x y xy x y a xy +→∞→⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

而 11lim 1lim 1xy t

x t y a t xy e xy t →∞→∞→⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭令 又 ()211lim lim 1x x y a y a x y xy x y a y x →∞→∞→→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴原式1a e = 【例2】 讨论242

00

lim x y x y x y →→+ 解 沿y lx =，原式3

422

0lim 0x lx x l x →==+ 但沿2

y lx =，原式442420lim 1x lx l x l x l →==++ 可见原式的极限不存在。

【例3】 讨论32

242

00

lim x y x y x y →→+ 解

()()

2422220x y x y x y +≥-≥，

∴ 332212224221022

x y x y y x y x y ≤≤=+ 而 120000

1lim 0lim002x x y y y →→→→==； 用夹逼定理可知 原式0=

三、二元函数的连续性

1.二元函数连续的概念

若()()00

00lim x x y y f x y f x y →→=，，则称()f x y ，在点()00x y ，处连续。 若()f x y ，在区域D 内每一点皆连续，则称()f x y ，在D 内连续。

2.闭区域上连续函数的性质。

定理1（有界性定理）设()f x y ，在闭区域D 上连续，则()f x y ，在D 上一定有界。 定理2（最大值最小值定理）设()f x y ，在闭区域D 上连续，则()f x y ，在D 上一定有最大值和最小值。

()()max x y D f x y M ∈=，，（最大值）()()min x y D

f x y m ∈=，，（最小值）。 定理3 （介值定理）设()f x y ，在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值，若m c M ≤≤，则存在()00x y D ∈，，使得()00f x y C =，。

注：①证明(,)f x y 在点000(,)M x y 不连续的方法之一是：证明点(,)x y 沿某曲线趋于0M 时(,)f x y 的极限不存在或部位00(,)f x y ；

②证明00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →不存在的重要方法是证明点(,)x y 沿两条不同曲线趋于

000(,)M x y 时(,)f x y 的极限不相等或沿某条曲线趋于000(,)M x y 时(,)f x y 的极限不存在。