高考数学 定积分与微积分基本定理

第17讲 定积分与微积分基本定理

1．定积分的定义及相关概念

一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

∑i ＝1

n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1

n

b －a

n

f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a

b f (x )d x .

在⎠⎛a

b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间__[a ，b ]__叫做积分区间，

函数f (x )叫做被积函数，x 叫做__积分变量__，__f (x )d x __叫做被积式．

2．定积分的几何意义

3．微积分的性质

(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝__k ⎠⎛a

b f (x )d x __(k 为常数)；

(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝__⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a

b

f 2(x )d x __；

(3)__⎠⎛a b f (x )d x __＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c

b f (x )d x (其中a <

c

4．微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a

b f (x )d x ＝__F (b )

－F (a )__，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．

5．定积分与曲边梯形面积的关系

设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛a

b f (x )d x ；

(2)S ＝__－⎠⎛a

b f (x )d x __；

(3)S ＝__⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c

b f (x )d x __；

(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a

b [f (x )－g (x )]d x .

6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s ＝__⎠⎛a

b v (t )d t __；

(2)W ＝__⎠⎛a

b F (s )d s __.

7．奇偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠

⎛a 0f (x )d x ；

(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－a

a f (x )d x ＝0.

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a

b f (t )d t .( √ )

(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( × )

(3)若⎠⎛a

b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下

方．( × )

解析 (1)正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字

母表示无关．

(2)错误．不一定是，要结合具体图形来定．

(3)错误．也有可能是在x 轴上方部分的面积小于在x 轴下方部分的面积． 2．若s 1＝⎠⎛1

2x 2d x ，s 2＝⎠⎛1

21

x d x ，s 3＝⎠

⎛1

2e x d x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( B )

A ．s 1

B ．s 2

C ．s 2

D ．s 3

解析 因为s 1＝13x 3|21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x |21＝e 2

－e>3， 所以s 2

3．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D ) A ．22 B ．42 C ．2

D ．4

解析 由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝4x ，y ＝x 3

，得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)， 所以S ＝⎠

⎛0

2(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－1

4x 42

0＝4，故选

D ．

4.已知t >1，若⎠⎛1

t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__2__.,

解析 ⎠

⎛1

t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )|t 1＝t 2＋t －2

从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.

5．汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a ＝2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__25__m.,

解析 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛0

5(10－2t )d t

＝(10t －t 2)|50＝25(m)．

,

,

一 定积分的计算,

计算定积分的步骤

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．