理论力学---第十二章动量矩定理
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MO ( F ) MO (T ) M O (mg ) mglsin
, 运动分析： v l
方向 OM
l ml2 M O (mv ) ml
由动量矩定理： d M O ( mv ) M O ( F ) 即：
dt d ) mglsin (ml 2 dt
J z mi R R mi
2 2
mi
J z mR 2
5
（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量
z 设圆板的半径为R ,质量为m 。将圆板 分为无数个同心的圆环，任一圆环的半径 为ri,宽度为dri，则圆环的质量为mi :
mi 2ri dr i s
m 其中: s R 2
dt
d M O (mv ) dt
v mv r F
v mv 0,
r F M O ( F ) ,
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质
点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
21
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d M x ( mv ) M x ( F ), dt d M y (mv ) M y ( F ), dt d M z ( mv ) M z ( F ) dt
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
12
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩：
质系对轴z 动量矩： Lz mz (mi vi )LO z
刚体动量矩计算： 1．平动刚体
LO mO (mi vi ) ri mi vi
LO (ri mi vi ) ( mi ri vi ) ( mi ri vC ) ( mi ri )vC rC mvC LO mO (mvC )
1 J z mR 2 2
z 仅与几何形状有关，与密度无关。对 对于均质刚体，
于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 I z 和 z ，以供参考。
ω C vC
Lx mx (mvC ) J C mvc R J C
注意正负的规定
17
x
ω C h
v
x 圆盘：
Lx mx (mvC ) J C mvh J C
18
[例1]
滑轮A：m1，R1，R1=2R2，
滑轮B：m2，R2， ；物体C：m3
求系统对O轴的动量矩。 解： L L L L O OA OB OC
(i )
26
dLO (e) M O ( Fi ) dt
质点系对固定点的动量矩定理: 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的 主矩）。 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
(e) dLx M x ( Fi ) dt dLy (e) M y ( Fi ) dt (e) dLz M z ( Fi ) dt
7
3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
J z J zC md
2
刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心且与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积。 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 [例:] z zC x
O
J ZC
l/2
l
l 2 J Z m( ) 2 1 2 8 ml 12
Lz mz (mvC )
O C
vi vC
rC 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对 13 该点（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体
Lz mz (mi vi ) ri mi vi mi ri 2 J z
其中J z mi ri
2
z
为刚体对z轴的转动惯量
3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
10
§12-1
质点和质点系的动量矩
一．质点的动量矩 质点对于点O 的动量矩 ：质点的动量相对于点O 的矩 质点的质量为m ,速度为v，质点相对点O的矢径为r，则 z [Mo(mv)]x m mvxy a b x A γ O y
单位面积的质量
4 2
O
dri R
R J z 2r s dr r 2 s 4
R 0
1 2 J z mR 2
6
2. 惯性半径（回转半径） 对均质物体，记
J z m z
Iz m
2
1 2 J z ml 3
J z mR 2
其中： z
z 称为刚体对 z 轴的回转半径。
1 l 1 [ ml 2 m( R ) 2 ] 2mR 2 12 2 2 1 2 ml 2mR 2 mlR 3
l R
O
1 2 LO ( ml 2mR 2 mlR ) 3
ω
16
3．平面运动刚体
Lz mz (mvC ) J C
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的 动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该 轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
22
2．质点动量矩守恒定律 若 M O (F ) 0 则 M O ( mv ) 常矢量 若 M z (F ) 0 则 M z ( mv ) 常量
称为质点动量矩守恒定律。
23
[例2] 单摆，已知m，l，t =0时 = 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
19
§12-2
动量矩定理
1．质点的动量矩定理 设质点对定点O 的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为 MO(F )，如图。 d d M O (mv ) (r mv ) dt dt
dr d (mv ) mv r dt dt dv v mv r m dt dv m F ,
微段dx，其质量为ρl dx ：
3 l l J z 0 x 2 ρ l dx l 3
m l l
1 2 J z ml 3
z O x l
4
x dx
（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 z R O 设圆环半径为R ,质量为m ， 每一微段的质量为mi , 到z轴的 距离均为R :
,
g sin 0 l
24
2 微幅摆动时，sin , 并令 n l ，则 2 0 n
g
解微分方程：
Asin nt Bcos nt
代入初始条件 (t 0, 0 , 0 0)
g 0 cos t 则运动方程为： l
A=0， B=0
摆动周期：T 2
g l
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用： （1）在质点受有心力的作用时。 （2）质点绕某心（轴）转动的问题。 25
3．质点系的动量矩定理 设质点系有n个质点，作用于每个质点的力分为 内力 Fi ( i ) 和外力 Fi ( e ) ，由质点动量矩定理：
M O (mv ) r mv
质点动量对轴 z 的动量矩：
B
mv
Mo(mv)
M z (mv ) M O (mvxy )
M O (mv ) 2OAB
M z (mv ) 2Oab
正负号规定与力对轴矩的规定相同
从轴的正向看：顺时针为负
逆时针为正 质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
J OA1 ( J OB 2 m2 v2 R2 ) m3v3 R2
m1 2 m2 2 R1 1 ( R2 2 m2 v2 R2 ) m3v3 R2 2 2
∵ ∴
v3 v2 R22 1 R11 2
3 LO (2m1 m2 m3 ) R2v3 2
2
J zC mi ri mi ( xi yi )
J z ' mi ri ' mi ( xi ' yi ' )
2 2 2
2
2
mi yi myC 0
J z ' J zC md 2
9
4．计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 [例13-9] 钟摆： 均质直杆质量m1,长为 l ；均 质圆盘质量m2 ,半径为 R 。 求对水平轴 O的转动惯量JO 。 解： J O J O杆 J O盘 1m1l 2 1 m2 R 2 m2 (l R) 2
xi xi ' ,
yi ' yi d
2
J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
mi m ,
证明：设质量为m的刚体， 质心为C， O ' z '//Cz
mi yi yC 0 m
定轴转动刚体对转轴的动量 矩:等于刚体对该轴转动惯量与角
速度的乘积。
ω O
ri mi ω
14
mivi
LO J O
[例 ]
ω l vC O ω
1 2 LO m l 3 l l l 1 2 LO m vC m m l 2 2 2 4
15
[例 ]
已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m， 求物体对于O轴的转动惯量和动量矩。 解： J O J O杆 J O盘
( e)
28
[例3] 已知:
PA PB ; P ; r 。求角加速度 。
α
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =r
α
M O PA r PB r ( PA PB )r PA PB LO vr vr J O g g
1P 2 r2 P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2g g 2
27
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。 4．质点系动量矩守恒定律 （1）当 M O 0 时， LO 常矢量。 （2）当 M z ( e ) 0 时， Lz 常量。
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
共有n个方程，相加后得：
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
M O ( Fi ) 0, d d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) LO dt dt dt d (e) LO M O ( Fi ) dt
1
第十二章
§12–1
动量矩定理
质点和质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程 习题课
2
§12-4 刚体对轴的转Βιβλιοθήκη Baidu惯量
一．定义：
z
J z mi ri
2
JZ 称为刚体对z轴的转动惯量
若刚体的质量是连续分布，则 ri mi vi
J z m r dm
2
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性 大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态 改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· m2 。
ω
3
1、简单形状物体的转动惯量计算 （１）均质细直杆对z轴的转动惯量
设杆长为l ,质量为m ，单位长度的质量为ρl，取杆上一
, 运动分析： v l
方向 OM
l ml2 M O (mv ) ml
由动量矩定理： d M O ( mv ) M O ( F ) 即：
dt d ) mglsin (ml 2 dt
J z mi R R mi
2 2
mi
J z mR 2
5
（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量
z 设圆板的半径为R ,质量为m 。将圆板 分为无数个同心的圆环，任一圆环的半径 为ri,宽度为dri，则圆环的质量为mi :
mi 2ri dr i s
m 其中: s R 2
dt
d M O (mv ) dt
v mv r F
v mv 0,
r F M O ( F ) ,
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质
点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
21
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d M x ( mv ) M x ( F ), dt d M y (mv ) M y ( F ), dt d M z ( mv ) M z ( F ) dt
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
12
二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩：
质系对轴z 动量矩： Lz mz (mi vi )LO z
刚体动量矩计算： 1．平动刚体
LO mO (mi vi ) ri mi vi
LO (ri mi vi ) ( mi ri vi ) ( mi ri vC ) ( mi ri )vC rC mvC LO mO (mvC )
1 J z mR 2 2
z 仅与几何形状有关，与密度无关。对 对于均质刚体，
于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 I z 和 z ，以供参考。
ω C vC
Lx mx (mvC ) J C mvc R J C
注意正负的规定
17
x
ω C h
v
x 圆盘：
Lx mx (mvC ) J C mvh J C
18
[例1]
滑轮A：m1，R1，R1=2R2，
滑轮B：m2，R2， ；物体C：m3
求系统对O轴的动量矩。 解： L L L L O OA OB OC
(i )
26
dLO (e) M O ( Fi ) dt
质点系对固定点的动量矩定理: 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的 主矩）。 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
(e) dLx M x ( Fi ) dt dLy (e) M y ( Fi ) dt (e) dLz M z ( Fi ) dt
7
3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
J z J zC md
2
刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心且与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积。 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 [例:] z zC x
O
J ZC
l/2
l
l 2 J Z m( ) 2 1 2 8 ml 12
Lz mz (mvC )
O C
vi vC
rC 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对 13 该点（轴）的动量矩。
2．定轴转动刚体
Lz mz (mi vi ) ri mi vi mi ri 2 J z
其中J z mi ri
2
z
为刚体对z轴的转动惯量
3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
10
§12-1
质点和质点系的动量矩
一．质点的动量矩 质点对于点O 的动量矩 ：质点的动量相对于点O 的矩 质点的质量为m ,速度为v，质点相对点O的矢径为r，则 z [Mo(mv)]x m mvxy a b x A γ O y
单位面积的质量
4 2
O
dri R
R J z 2r s dr r 2 s 4
R 0
1 2 J z mR 2
6
2. 惯性半径（回转半径） 对均质物体，记
J z m z
Iz m
2
1 2 J z ml 3
J z mR 2
其中： z
z 称为刚体对 z 轴的回转半径。
1 l 1 [ ml 2 m( R ) 2 ] 2mR 2 12 2 2 1 2 ml 2mR 2 mlR 3
l R
O
1 2 LO ( ml 2mR 2 mlR ) 3
ω
16
3．平面运动刚体
Lz mz (mvC ) J C
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的 动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该 轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
22
2．质点动量矩守恒定律 若 M O (F ) 0 则 M O ( mv ) 常矢量 若 M z (F ) 0 则 M z ( mv ) 常量
称为质点动量矩守恒定律。
23
[例2] 单摆，已知m，l，t =0时 = 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
19
§12-2
动量矩定理
1．质点的动量矩定理 设质点对定点O 的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为 MO(F )，如图。 d d M O (mv ) (r mv ) dt dt
dr d (mv ) mv r dt dt dv v mv r m dt dv m F ,
微段dx，其质量为ρl dx ：
3 l l J z 0 x 2 ρ l dx l 3
m l l
1 2 J z ml 3
z O x l
4
x dx
（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 z R O 设圆环半径为R ,质量为m ， 每一微段的质量为mi , 到z轴的 距离均为R :
,
g sin 0 l
24
2 微幅摆动时，sin , 并令 n l ，则 2 0 n
g
解微分方程：
Asin nt Bcos nt
代入初始条件 (t 0, 0 , 0 0)
g 0 cos t 则运动方程为： l
A=0， B=0
摆动周期：T 2
g l
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正） 质点动量矩定理的应用： （1）在质点受有心力的作用时。 （2）质点绕某心（轴）转动的问题。 25
3．质点系的动量矩定理 设质点系有n个质点，作用于每个质点的力分为 内力 Fi ( i ) 和外力 Fi ( e ) ，由质点动量矩定理：
M O (mv ) r mv
质点动量对轴 z 的动量矩：
B
mv
Mo(mv)
M z (mv ) M O (mvxy )
M O (mv ) 2OAB
M z (mv ) 2Oab
正负号规定与力对轴矩的规定相同
从轴的正向看：顺时针为负
逆时针为正 质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
J OA1 ( J OB 2 m2 v2 R2 ) m3v3 R2
m1 2 m2 2 R1 1 ( R2 2 m2 v2 R2 ) m3v3 R2 2 2
∵ ∴
v3 v2 R22 1 R11 2
3 LO (2m1 m2 m3 ) R2v3 2
2
J zC mi ri mi ( xi yi )
J z ' mi ri ' mi ( xi ' yi ' )
2 2 2
2
2
mi yi myC 0
J z ' J zC md 2
9
4．计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 [例13-9] 钟摆： 均质直杆质量m1,长为 l ；均 质圆盘质量m2 ,半径为 R 。 求对水平轴 O的转动惯量JO 。 解： J O J O杆 J O盘 1m1l 2 1 m2 R 2 m2 (l R) 2
xi xi ' ,
yi ' yi d
2
J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
mi m ,
证明：设质量为m的刚体， 质心为C， O ' z '//Cz
mi yi yC 0 m
定轴转动刚体对转轴的动量 矩:等于刚体对该轴转动惯量与角
速度的乘积。
ω O
ri mi ω
14
mivi
LO J O
[例 ]
ω l vC O ω
1 2 LO m l 3 l l l 1 2 LO m vC m m l 2 2 2 4
15
[例 ]
已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m， 求物体对于O轴的转动惯量和动量矩。 解： J O J O杆 J O盘
( e)
28
[例3] 已知:
PA PB ; P ; r 。求角加速度 。
α
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =r
α
M O PA r PB r ( PA PB )r PA PB LO vr vr J O g g
1P 2 r2 P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2g g 2
27
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。 4．质点系动量矩守恒定律 （1）当 M O 0 时， LO 常矢量。 （2）当 M z ( e ) 0 时， Lz 常量。
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
共有n个方程，相加后得：
d (i ) (e) M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt
M O ( Fi ) 0, d d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) LO dt dt dt d (e) LO M O ( Fi ) dt
1
第十二章
§12–1
动量矩定理
质点和质点系的动量矩
§12–2
§12–3 §12–4 §12–5 §12–6
动量矩定理
刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程 习题课
2
§12-4 刚体对轴的转Βιβλιοθήκη Baidu惯量
一．定义：
z
J z mi ri
2
JZ 称为刚体对z轴的转动惯量
若刚体的质量是连续分布，则 ri mi vi
J z m r dm
2
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性 大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态 改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· m2 。
ω
3
1、简单形状物体的转动惯量计算 （１）均质细直杆对z轴的转动惯量
设杆长为l ,质量为m ，单位长度的质量为ρl，取杆上一